高考数学 第十一章 第三节 利用空间向量求空间角课件 理 苏教版.ppt

第三节利用空间向量求空间角 1 异面直线所成角的求法设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 2 直线和平面所成角的求法如图所示 设直线l的方向向量为e 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 两向量e与n的夹角为 则有sin cos 3 二面角的求法 1 如图a ab cd是二面角 l 的两个半平面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 2 如图b c n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos 或 cos n1 n2 cos n1 n2 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 2 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角 3 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 4 两异面直线夹角的范围是 0 直线与平面所成角的范围是 0 二面角的范围是 0 解析 1 错误 两直线的方向向量所成的角应是两直线所成的角或其补角 2 错误 若直线的方向向量和平面的法向量所成的角为 直线与平面所成的角为 则sin cos 3 错误 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角 4 正确 由异面直线所成的角 线面角及二面角的定义可知 两异面直线夹角的范围是 0 直线与平面所成角的范围是 0 二面角的范围是 0 答案 1 2 3 4 考向1异面直线所成角的求法 典例1 如图 在四面体abcd中 平面abc 平面acd ab bc ad cd cad 30 若二面角c ab d为60 求异面直线ad与cb所成角的余弦值 思路点拨 结合题设条件建立空间直角坐标系 利用所成的角求解 规范解答 如图 过f作fm ac 交ab于m 已知ad cd 平面abc 平面acd 易知fc fd fm两两垂直 以f为原点 为正交基底 建立空间直角坐标系f xyz 设ad 2 由cd ad cad 30 易知点a c d的坐标分别为a 0 0 c 0 0 d 0 0 1 则显然向量k 0 0 1 是平面abc的一个法向量 已知二面角c ab d为60 故可取平面abd的单位法向量t l m n 使得 t k 60 从而n 由t 有m n 0 从而m 由l2 m2 n2 1 得l 设点b的坐标为 x y 0 由可取l 有解之得或 舍去 易知l 与坐标系的建立方式不合 舍去 因此点b的坐标为所以从而又异面直线的夹角 0 故异面直线ad与cb所成角的余弦值为 拓展提升 1 异面直线所成角的求法利用空间向量求异面直线所成的角可利用直线的方向向量 转化成向量所成的角 2 合理建立空间直角坐标系 1 使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系 建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同 2 一般来说 如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时 就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系 如果不存在这样的三条直线 则应尽可能找两条垂直相交的直线 以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系 即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点 3 建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系 在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系 在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系 变式训练 长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 1 e为cc1的中点 求异面直线bc1与ae所成角的余弦值 解析 由题意建立空间直角坐标系如图 则a 1 0 0 e 0 2 1 b 1 2 0 c1 0 2 2 所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为 考向2直线与平面所成角的求法 典例2 2012 大纲版全国卷 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd为菱形 pa 底面abcd ac pa 2 e是pc上的一点 pe 2ec 1 证明 pc 平面bed 2 设二面角a pb c为90 求pd与平面pbc所成的角的大小 思路点拨 可建立空间直角坐标系 利用向量解决 规范解答 1 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 设c 0 0 d b 0 其中b 0 则p 0 0 2 于是 从而故pc be pc de 又be de e 所以pc 平面bed 2 设m x y z 为平面pab的法向量 则即2z 0且 令x b 则m设n p q r 为平面pbc的法向量 则即令p 1 则因为平面pab 平面pbc 故m n 0 即故b 于是n 1 1 直线pd与平面pbc所成的角与互余 pd与平面pbc所成的角为30 拓展提升 利用向量求线面角的方法 1 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 变式训练 如图 已知四棱锥p abcd的底面为等腰梯形 ab cd ac bd 垂足为h ph是四棱锥的高 e为ad的中点 1 证明 pe bc 2 若 apb adb 60 求直线pa与平面peh所成角的正弦值 解析 以h为原点 为正交基底 建立空间直角坐标系h xyz 如图 设a 1 0 0 则b 0 1 0 1 设c m 0 0 p 0 0 n m0 则d 0 m 0 可得因为所以pe bc 2 由已知条件可得故设n x y z 为平面peh的一个法向量 则即 因此可以取由可得所以直线pa与平面peh所成角的正弦值为 考向3二面角的求法 典例3 2012 新课标全国卷 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc aa1 d是棱aa1的中点 dc1 bd 1 证明 dc1 bc 2 求二面角a1 bd c1的大小 思路点拨 1 可证明dc1 平面bcd 2 可以ca cb cc1为坐标轴建立空间直角坐标系求解 规范解答 1 由题设知 三棱柱的侧面为矩形 由于d为aa1的中点 故dc dc1 又ac aa1 可得所以dc1 dc 而dc1 bd dc bd d 所以dc1 平面bcd 又bc 平面bcd 故dc1 bc 2 由 1 知bc dc1 且bc cc1 则bc 平面acc1a1 所以ca cb cc1两两互相垂直 以为正交基底 建立如图所示的空间直角坐标系c xyz 设ac 1 由题意知a1 1 0 2 b 0 1 0 d 1 0 1 c1 0 0 2 则设n x y z 是平面a1b1bd的一个法向量 则即 可取n 1 1 0 同理 设m是平面c1bd的一个法向量 则可取m 1 2 1 从而cos n m 故二面角a1 bd c1的大小为30 拓展提升 求二面角大小的常用方法 1 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角的大小 2 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 变式训练 2012 江西高考 在三棱柱abc a1b1c1中 已知ab ac aa1 bc 4 点a1在底面abc的投影是线段bc的中点o 1 证明在侧棱aa1上存在一点e 使得oe 平面bb1c1c 并求出ae的长 2 求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值 解析 1 连接ao 在 aoa1中 作oe aa1于点e 因为aa1 bb1 得oe bb1 因为a1o 平面abc 所以a1o bc 因为ab ac ob oc 得ao bc 所以bc 平面aa1o 所以bc oe 所以oe 平面bb1c1c 又得 2 如图 以o为原点 为正交基底建立空间直角坐标系 则a 1 0 0 b 0 2 0 c 0 2 0 a1 0 0 2 由得点e的坐标是由 1 得平面bb1c1c的一个法向量是设平面a1b1c的法向量为n x y z 由得令y 1 得x 2 z 1 即n 2 1 1 所以即平面bb1c1c与平面a1b1c的夹角的余弦值是 1 2012 陕西高考改编 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱abc a1b1c1 ca cc1 2cb 求直线bc1与直线ab1夹角的余弦值 解析 设ca 2 则c 0 0 0 a 2 0 0 b 0 0 1 c1 0 2 0 b1 0 2 1 可得向量由向量的夹角公式得 2 2013 扬州模拟 如图所示 abcd a1b1c1d1是长方体 已知ab 3 ad 4 aa1 2 m是棱a1d1的中点 求直线am与平面bb1d1d所成角的余弦值 解析 以d为坐标原点 为正交基底建立d xyz坐标系 如图所示 则设平面bdd1b1的一个法向量为n x y z 由可得n的一个值为n 3 4 0 设直线am与平面bb1d1d所成的角是 则故直线am与平面bb1d1d所成角的余弦值是 3 2013 徐州模拟 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 e为棱ab的中点 点p在平面a1b1c1d1上 d1p 平面pce 试求 1 线段d1p的长 2 直线de与平面pce所成角的正弦值 解析 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则d1 0 0 2 e 2 1 0 c 0 2 0 设p x y 2 则因为d1p 平面pce 所以d1p ep d1p ec 所以 故解得 舍去 或即所以所以 2 由 1 知 平面pec 设de与平面pec所成角为 与所成角为 则所以直线de与平面pce所成角的正弦值为 4 2013 南京模拟 如图 pa 平面abcd ad bc abc 90 ab bc pa 1 ad 3 e是pb的中点 1 求证 ae 平面pbc 2 求二面角b pc d的余弦值 解析 1 根据题意 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 3 0 p 0 0 1 e 0 因为所以所以 因为bc bp 平面pbc 且bc bp b 所以ae 平面pbc 2 设平面pcd的法向量为n x y z 则因为所以 x 2y 0 3y z 0 令x 2 则y 1 z 3 所以n 2 1 3 是平面pcd的一个法向量 因为ae 平面pbc 所以是平面pbc的法向量 所以由此可知 与n的夹角的余弦值为根据图形可知 二面角b pc d的余弦值为 5 2013 淮安模拟 在如图所示的多面体abcde中 ab 平面acd de 平面acd ac ad cd de 2 ab 1 g为ad的中点 1 请在线段ce上找到点f的位置 使得恰有直线bf 平面acd 并证明这一事实 2 求平面bce与平面acd所成锐二面角的大小 3 求点g到平面bce的距离 解析 以d点为原点建立如图所示的空间直角坐标系 使得x轴和z轴的正半轴分别经过点a和点e 则各点的坐标为d 0 0 0 a 2 0 0 e 0 0 2 b 2 0 1 c 1 0 1 点f应是线段ce的中点 下面证明 设f是线段ce的中点 则点f的坐标为显然与平面xdy平行 bf 平面acd 2 取平面acd的一个法向量为 0 0 1 设平面bce的法向量为n x y z 则由 不妨设则即n 1 2 设所求角为 则满足 3 由已知g点坐标为 1 0 0 由 2 知平面bce的一个法向量为n 所求距离 变式备选 如图 在四棱锥s abcd中 平面sad 平面abcd 底面abcd为矩形 ad a ab a sa sd a 1 求证 cd sa 2 求二面角c sa d的大小 解析 取bc的中点e ad的中点p 连接pe ps 在 sad中 sa sd a p为ad的中点 所以sp ad 又因为平面sad 平面abcd 且平面sad 平面abcd ad 所以sp 平面abcd 显然有pe ad 如图 以p为坐标原点 为正交基底 建立空间直角坐标系p xyz 则 1 易知因为所以cd sa 2 又设n x y z 为平面csa的一个法向量 则有即 取n显然 ep 平面sad 所以为平面sad的一个法向量 所以m 0 1 0 为平面sad的一个法向量 所以cos n m 所以二面角c sa d的大小为 6 如图 三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都是2 又aa1 平面abc d e分别是ac cc1的中点 1 求证 ae 平面a1bd 2 求二面角d ba1 a的余弦值 思路点拨 由aa1 平面abc可知 平面abc 平面acc1a1 故可考虑建立空间直角坐标系解决问题 解析 1 以d为原点 建立空间直角坐标系如图 则a 1 0 0 c 1 0 0 e 1 1 0 a1 1 2 0 c1 1 2 0 b 0 0 b1 0 2 ae a1d ae bd 又a1d与bd相交于d ae 平面a1bd 2 设平面da1b的一个法向量为n1 x1 y1 z1 由 取n1 2 1 0 设平面aa1b的一个法向量为n2 x2 y2 z2 易得 则由 取故二面角d ba1 a的余弦值为 7 能力挑战题 已知正方形abcd的边长为2 ac bd o 将正方形abcd沿对角线bd折起 使ac a 得到三棱锥a bcd 如图所示 1 当a 2时 求证 ao 平面bcd 2 当二面角a bd c的大小为120 时 求二面角a bc d的正切值 解析 1 根据题意 在 aoc中 ac a 2 ao co 所以ac2 ao2 co2 所以ao co 又ao bd bd co o 所以ao 平面bcd 2 由 1 知 co od 以o为原点 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 则有o 0 0 0 d 0 0 c 0 0 b 0 0 设a x0 0 z0 x0 0 则 x0 0 z0 0 0 平面abd的一个法向量为n z0 0 x0 平面bcd的一个法向量为m 0 0 1 且二面角a bd c的大小为120 所以 cos m n cos120 得 因为 oa 所以解得所以平面abc的一个法