高考数学 第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算课件 理 新人教A版.ppt

第十节变化率与导数 导数的计算 1 函数y f x 从x1到x2的平均变化率函数y f x 从x1到x2的平均变化率为 若 x x2 x1 y f x2 f x1 则平均变化率可表示为 2 函数y f x 在x x0处的导数 1 定义称函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 为y f x 在x x0处的导数 记作f x0 或即 2 几何意义函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点 x0 f x0 处的 切线的斜率 3 函数y f x 的导函数称函数f x 为函数y f x 的导函数 导函数有时也记作y 4 基本初等函数的导数公式 0 x 1 cosx sinx axlna ex 5 导数四则运算法则 1 f x g x 2 f x g x 3 g x 0 6 复合函数的导数若y f u u g x 则y x f x g x f x g x f x g x y u u x 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 与 f x0 表示的意义相同 2 求f x0 时 可先求f x0 再求f x0 3 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 4 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 5 若f x a3 2ax x2 则f x 3a2 2x 解析 1 错误 f x0 与 f x0 是不一样的 f x0 代表函数f x 在x x0处的导数值 不一定为0 而 f x0 是函数值f x0 的导数 而函数值f x0 是一个常量 其导数一定为0 即 f x0 0 2 错误 应先求f x 再求f x0 3 正确 如y 1是曲线y sinx的切线 但其交点个数有无数个 4 错误 如y 0与抛物线y2 x只有一个公共点 但是y 0不是抛物线y2 x的切线 5 错误 求导是对自变量求导 要分清表达式中的自变量 在这里自变量是x而不是a 故f x 2x 2a 答案 1 2 3 4 5 1 下列函数求导运算正确的个数为 3x 3xlog3e log2x a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选a 由求导公式可判断 为一常数 所以 0 求导运算正确的只有 故选a 2 函数f x x 2a x a 2的导数为 a 2 x2 a2 b 2 x2 a2 c 3 x2 a2 d 3 x2 a2 解析 选c f x x a 2 x 2a 2 x a 3 x2 a2 3 一质点沿直线运动 如果由始点起经过t秒后的位移为那么速率为零的时刻是 a 0秒 b 1秒末 c 2秒末 d 1秒末和2秒末 解析 选d s t2 3t 2 令s 0 则t 1或t 2 4 曲线f x xlnx在点x 1处的切线方程为 a y 2x 2 b y 2x 2 c y x 1 d y x 1 解析 选c f x lnx 1 f 1 1 f 1 0 切线方程为y 1 x 1 即y x 1 故选c 5 若函数y 2x 1 4 则函数在点 0 1 处的切线的斜率是 解析 y 4 2x 1 3 2x 1 8 2x 1 3 故y x 0 8 即所求切线的斜率是8 答案 8 考向1导数的概念及应用 典例1 1 若函数y f x 在区间 a b 内可导 且x0 a b 则的值为 a f x0 b 2f x0 c 2f x0 d 0 2 利用定义求函数的导数 思路点拨 1 根据导数的定义 将极限符号内的表达式表示成平均变化率的形式再求解 2 先求再求出当 x 0时的极限值 规范解答 1 选b x x0 h x0 h 2h y f x0 h f x0 h 所以 故选b 2 互动探究 在本例题 1 中 若且x0 e 其他条件不变 求的值 解析 f x x2 2 故 拓展提升 定义法求函数的导数的三个步骤一差 求函数的改变量 y f x x f x 二比 求平均变化率三极限 取极限 得导数 变式备选 1 如图 函数f x 的图象是折线段abc 其中a b c的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 则f f 0 用数字作答 解析 f 0 4 f f 0 f 4 2 由导数定义当0 x 2时 f x 4 2x f x 2 f 1 2 答案 2 2 2 求函数在x 1处的导数 解析 考向2导数的运算 典例2 求下列函数的导数 1 y 2x2 1 3x 1 2 3 y 4 y 3 2x 5 5 y 思路点拨 1 可以先展开解析式 然后再求导或利用乘积的求导法则进行求导 也可以直接利用乘积的求导法则进行求导 2 将利用三角公式化简后 再求导 3 将根式化成幂的形式 再求导 4 y 3 2x 5是由y 5与 3 2x复合而成 5 是由y sinu 复合而成 规范解答 1 方法一 可以先展开解析式 然后再求导 y 2x2 1 3x 1 6x3 2x2 3x 1 y 6x3 2x2 3x 1 6x3 2x2 3x 1 18x2 4x 3 方法二 可以利用乘积的求导法则进行求导 y 2x2 1 3x 1 2x2 1 3x 1 4x 3x 1 3 2x2 1 12x2 4x 6x2 3 18x2 4x 3 2 先使用三角公式进行化简得 3 y 4 设 3 2x 则y 3 2x 5是由y 5与 3 2x复合而成 所以y y x 5 3 2x 5 4 2 10 4 10 3 2x 4 5 设y sinu 则yx yu ux cosu 2 拓展提升 导数计算的原则和方法 1 原则 先化简解析式 再求导 2 方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式 再求导 分式形式 观察函数的结构特征 先化为整式函数或较为简单的分式函数 再求导 对数形式 先化为和 差的形式 再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式 再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式 再求导 复合函数 由外向内 层层求导 变式训练 求下列函数的导数 1 y 3xex 2x e 2 3 4 解析 1 y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xln3 ex 3xex 2xln2 3e xln3e 2xln2 2 3 先化简 4 设u 1 3x 则y u 4 则yx yu ux 4u 5 3 考向3导数几何意义的应用 典例3 1 2013 广州模拟 若曲线y x2 ax b在点p 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则 a a 1 b 1 b a 1 b 1 c a 1 b 1 d a 1 b 1 2 2012 广东高考 曲线y x3 x 3在点 1 3 处的切线方程为 3 已知曲线c y x3 3x2 2x 直线l y kx 且l与c切于点p x0 y0 x0 0 求直线l的方程及切点坐标 思路点拨 1 先由切线斜率求出a 再由点 0 b 在切线上求出b 2 因为点 1 3 为切点 故可由导数的几何意义求出斜率后 再用点斜式写出切线方程 3 因为直线l过原点 故可根据导数的几何意义及斜率公式以及点p既在曲线上又在切线上 构造一个关于x0 y0的方程组求解 规范解答 1 选a y 2x a 因为切线x y 1 0的斜率为1 所以2 0 a 1 即a 1 又 0 b 在直线x y 1 0上 因此0 b 1 0 即b 1 2 y 3x2 1 当x 1时 y 2 此时斜率k 2 故所求切线方程为y 3 2 x 1 即2x y 1 0 答案 2x y 1 0 3 由直线l过原点 知又点p x0 y0 在曲线c上 因为y 3x2 6x 2 故又 由 得所以其中x0 0 解得所以所以所以直线l的方程为切点坐标为 互动探究 在本例题 2 中若曲线y x3 x 3 在点 1 3 处 改为 过点 1 3 其他条件不变 求此时的切线方程 解析 当点 1 3 是切点时 由本例 2 知 切线方程为2x y 1 0 当点 1 3 不是切点时 设切点为又y 3x2 1 故斜率所求切线方程为 将点 1 3 代入解得或x0 1 舍 故切点为此时切线方程为即x 4y 13 0 综上所述 切线方程为2x y 1 0或x 4y 13 0 拓展提升 1 求曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线方程的步骤 1 求出函数y f x 在点x x0处的导数 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处切线的斜率 2 如果已知切点坐标和切线的斜率 切线方程为y y0 f x0 x x0 如果切线平行于y轴 切线方程为x x0 2 求曲线y f x 过点p x0 y0 的切线方程的步骤 1 设切点a xa f xa 求切线的斜率k f xa 写出切线方程 2 把p x0 y0 的坐标代入切线方程 建立关于xa的方程 解得xa的值 进而写出切线方程 提醒 求切线方程时 一定要分清所给点是不是切点 变式备选 1 若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直 则切线l的方程为 a 4x y 3 0 b x 4y 5 0 c 4x y 3 0 d x 4y 3 0 解析 选a 与直线x 4y 8 0垂直的直线l为4x y m 0 即y x4在某一点的导数为4 而y 4x3 即4x3 4 解得x 1 所以y x4在点 1 1 处导数为4 此点的切线方程为4x y 3 0 故选a 2 已知函数f x 的图象在点m 1 f 1 处的切线方程是2x 3y 1 0 则f 1 f 1 解析 依题意得2 1 3f 1 1 0 即f 1 1 由切线的斜率则则答案 创新体验 导数中的新定义问题 典例 2012 浙江高考 定义曲线c上的点到直线l的距离的最小值称为曲线c到直线l的距离 已知曲线c1 y x2 a到直线l y x的距离等于曲线c2 x2 y 4 2 2到直线l y x的距离 则实数a 思路点拨 规范解答 曲线c2 x2 y 4 2 2到直线l y x的距离为设曲线c1 y x2 a上的点 x0 y0 到直线l y x的距离最短 则过点 x0 y0 的切线平行于直线y x 对应函数的导数为y 2x 由2x0 1得所以c1 y x2 a上的点 x0 y0 为由题意知解得或当时 直线l与曲线c1相交 不合题意 故舍去 答案 思考点评 1 方法感悟 本题充分体现了等价转化的思想在解题中的应用 即利用定义将曲线c2 x2 y 4 2 2到直线l y x的距离转化为圆心到直线的距离减去半径 曲线c1 y x2 a到直线l y x的距离转化为曲线c1上与l平行的切线与l的距离 再利用导数研究曲线c1的切线问题 最终根据两距离相等构造方程求出a的值 这种 等价转化 的思想是解决数学问题的重要思想 2 技巧提升 对待新定义问题 应该首先仔细审题 把新定义的规定理解透彻 提取定义中等量关系和数量关系或定义中的关键词语 如本题定义中的关键词为 最小值 然后结合所学知识进行分析求解 1 2013 梅州联考 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 2xf 1 x2 则f 1 a 1 b 2 c 1 d 2 解析 选b f x 2f 1 2x 令x 1 得f 1 2f 1 2 f 1 2 2 2012 辽宁高考 已知p q为抛物线x2 2y上两点 点p q的横坐标分别为4 2 过p q分别作抛物线的切线 两切线交于点a 则点a的纵坐标为 a 1 b 3 c 4 d 8 解析 选c 因为点p q的横坐标分别为4 2 代入抛物线方程得p q的纵坐标分别为8 2 由x2 2y 则所以y x 所以过点p q的抛物线的切线的斜率分别为4 2 所以过点p q的抛物线的切线方程分别为y 4x 8 y 2x 2 联立方程组解得x 1 y 4 故点a的纵坐标为 4 3 2013 深圳模拟 已知f x lnx x 0 f x 的导数是f x 若则a b c的大小关系是 a c b a b a b c c b c a d b a c 解析 选b 因为所以a f 7 ln7 因为7 e2 所以ln7 2 故a b c 4 2012 新课标全国卷 曲线y x 3lnx 1 在点 1 1 处的切线方程为 解析 函数的导数为所以在点 1 1 处的切线的斜率为k 4 所以切线方程为y 1 4 x 1 即y 4x 3 答案 y 4x 3 5 2013 揭阳模拟 在平面直角坐标系xoy中 点p在曲线c y x3 10 x 3上 且在第二象限内 已知曲线c在点p处的切线的斜率为2 则点p的坐标为 解析 y 3x2 10 2 x 2 又点p在第二象限内 x 2 点p的坐标为 2 15 答案 2 15 1 已知直线m x 2y 3 0 函数y 3x cosx的图象与直线l相切于p点 若l m 则p点的坐标可能是 a b c d 解析 选c 设点p x0 y0 因为l m 所以kl 2 又y 3 sinx 故3 sinx0 2 即sinx0 1 验证选项知c成立 2 设曲线y xn 1 n n 在点 1 1 处的切线与x轴的交点的横坐标为xn 则x1 x2 xn的值为 解析 选b 对y