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几何中的最短路线问题 一 两点之间 线段最短 如图 一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶 M N分别表示位于公路AB两侧的村庄 当汽车行驶到什么位置时 到村庄M N的距离之和最短 析 连接MN 线段MN与直线AB的交点P4即为所求 二 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中 垂线段最短 一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶 M N分别表示位于公路AB两侧的村庄 当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近 行驶到什么位置时距村庄N最近 析 分别过M N两点向直线AB做垂线段 垂足分别是P1 P2 P1 P2即为所求 三 两点之间 线段最短与轴对称相结合一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶 若村庄M N在公路AB的同侧 当汽车行驶到什么位置时 到村庄M N的距离之和最短 析 过N点 做直线AB的对称点N 连接MN 线段MN 与直线AB的交点P5 P5即为所求 如图 A为马厩 B为帐篷 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再到河边饮马 然后回到帐篷 请你帮他确定这一天的最短路线 析 过A点做关于草地MN对称点A 过B点做关于河L对称点B 连接A B 与草地MN交于P1 与河L交于P2 顺次连接A P1 P2 B 即为所求 四 两点之间 线段最短与勾股定理相结合 1 台阶问题如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽和高分别等于5cm 3cm和1cm A和B是这个台阶的两个相对的端点 A点上有一只蚂蚁 想到B点去吃可口的食物 请你想一想 这只蚂蚁从A点出发 沿着台阶面爬到B点 最短线路是多少 析 展开图如图所示 AB cm 2 圆柱问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m 高为6m 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物 它爬行的最短路线长为多少 析 展开图如图所示 AB m 变式2 桌上有一个圆柱形玻璃杯 无盖 高为12厘米 底面周长18厘米 在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖 一只小虫从桌上爬至杯子外壁 当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时 突然发现了蜜糖 问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置 析 展开图如图所示 做A点关于杯口的对称点A 则BA 厘米 3 正方体问题如图 边长为1的正方体中 一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 A 3 B C 2 D 1 析 展开图如图所示 AB 4 长方体问题如图 一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处 三条棱长如图所示 问怎样走路线最短 最短路线长为多少 析 展开图如图所示 路线1即为所求
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