第七节　离散型随机变量及其分布列.doc

第七节离散型随机变量及其分布列【最新考纲】1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1；x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)Pi，则表Xx1x2xixnPP1P2PiPn称为离散型随机变量X的概率分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质：pi0(i1，2，n)；p1p2pn1.3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1pp，其中pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称随机变量X服从超几何分布X01mP1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布()答案：(1)(2)(3)(4)2袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A至少取到1个白球B至多取到1个白球C取到白球的个数 D取到的球的个数解析：选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.答案：C3设随机变量X的分布列如下：X12345Pp则p为()A.B.C.D.解析：由分布列的性质，p1p1.答案：C4设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0 B.C.D.解析：由已知得X的所有可能取值为0，1，且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X0)1，得P(X0).答案：C5从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为_解析：依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2.则p(x0)0.1，p(x1)0.6，p(x2)0.3故X的分布列为X012P0.10.60.3答案：X012P0.10.60.3两条性质要充分重视分布列的两条重要性质1pi0(i1，2，n)2p1p2pn1.两点注意1求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率2注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误三种方法1根据统计数表求离散型随机变量的分布列2由古典概型求离散型随机变量的分布列3由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列一、选择题1某射手射击所得环数X的分布列为()X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A0.28B0.88C0.79 D0.51解析：P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.答案：C2袋中装有10个红球、5个黑球，每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是()AX4 BX5CX6 DX5解析：事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X6.答案：C3在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)解析：X服从超几何分布P(Xk)，故k4.答案：C4随机变量的所有可能的取值为1，2，3，10，且P(k)ak(k1，2，10)，则a值为()A.B.C110 D55解析：随机变量的所有可能的取值为1，2，3，10，且P(k)ak(k1，2，10)，a2a3a10a1，55a1，a.答案：B5设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012PaF(x)P(Xx)，则当x的取值范围是1，2)时，F(x)等于()A.B.C.D.解析：a1，a，x1，2)，F(x)P(Xx).答案：D二、填空题6设随机变量X等可能取值1，2，3，n，如果P(X4)0.3，那么n_解析：由于随机变量X等可能取1，2，3，n.所以取到每个数的概率均为.P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，n10.答案：107抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X4)_解析：相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X2对应(1，1)；X3对应(1，2)，(2，1)；X4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)所以P(X4)P(X2)P(X3)P(X4).答案：8在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的分布列为_解析：的所有可能值为0，1，2.P(0)，P(1)，P(2).的分布列为012P答案：012P三、解答题9(2015重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X012P故E(X)012(个)10一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A).所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以随机变量X的分布列是X1234P故X的数学期望E(X)1234.11.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列的数学期望解：(1)设“选出的3名同学