刚体转动及角动量守恒.ppt

5 1刚体的平动和定轴转动 5 3转动定律的应用 5 4刚体定轴转动的角动量守恒定律 5 2刚体定轴转动定律 5 5刚体定轴转动的功和能 实践与应用 1 平动 若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同 或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 什么是刚体 在外力作用下 形状和大小都不发生变化的物体 任意两质点间距离保持不变的特殊质点组 一刚体的平动和定轴转动 2 转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 转动又分定轴转动和非定轴转动 一刚体的平动和定轴转动 定轴转动参量 转动方程微积分示例 线量与角量的关系 刚体转动定律引言 若刚体作定轴转动 服从怎样的运动定律 合外力矩 叉乘右螺旋 1外力矩与合外力矩 方向 刚体的角动量 定轴转动刚体的角动量 定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 3刚体的定轴转动定律 首先 刚体作为质点系 必然遵守质点系角动量定理 因为 那么 相当于 常用在某转轴上的分量式 4转动惯量及其计算 对质量连续分布的刚体用积分求 J 如对体分布情形 J 的单位为 m 2 转动惯量的性质分析 对分离和连续刚体 转动惯量都符合标量叠加原则 转动惯量的计算举例 1 可视为分立质点结构的刚体 转轴 O 若连接两小球 视为质点 的轻细硬杆的质量可以忽略 则 匀直细杆对中垂轴的 J m O J m L 3 m L 1 r 3 匀直细杆对端垂轴的 J L 0 m L r 3 L 0 考虑 圆盘算例 O m 3 2 m R 2 r 球体算例 其它典型 转动定律例题一 由转动定律 而 于是 利用 有 利用初始条件 t 0 0 0 0 0 刚体定轴转动定律的应用 积分 在 角时角速度 解 分析受力 图示 质点A 质点B 例2如图 斜面倾角为 质量均为m的两物体A B 经细绳联接 绕过一定滑轮 定滑轮 视为圆盘 半径为R 质量为m 求 物体运动中定滑轮两侧绳中张力及B下落加速度a 不计摩擦 滑轮 刚体 联系量 联立 aA aB a g 2a gsin T1 mg 2ma T2 mg ma 为什么此时T1 T2 转动定律例题二 以后各例同 如果考虑有转动摩擦力矩Mr 则转动式为 T2 T1 R Mr Ib 再联立求解 转动定律例题三 思考 电风扇在开启电源后 经过时间达到了额定转速 此时相应的角速度为 关闭电源后 经过时间风扇停转 已知风扇转子的转动惯量为J 假定摩擦阻力矩和电磁力矩均为常量 试推算电机的电磁力矩 解 设M为电磁力矩 Mf为阻力矩 根据刚体定轴转动定律 开启电源 积分得 关闭电源 积分得 解 1 2 得 所以电机的电磁力矩为 课前问题八 1刚体的定轴转动定律及在Z轴上的分量式的表达式 2分立及连续质点结构的刚体的转动惯量表达式 刚体的角动量定理 w b M L J J t d d d t d d J w 合外力矩 角动量的时间变化率 微分形式 积分形式 L 1 1 2 d 2 1 2 L L L L 冲量矩 角动量的增量 刚体系统的角动量定理 刚体的角动量守恒定律 回转仪定向原理 受合外力矩为零 回转体质量呈轴对称分布 轴摩擦及空气阻力很小 角动量守恒 回转仪的这种高速自转时保持转轴方向不变的特性 可用作定向装置 回转仪的定向作用不受地磁及周围磁场的影响 因此广泛应用于飞机自动驾驶及导弹 火箭 舰船的导航 被中香炉 惯性导航仪 陀螺 角动量守恒定律在技术中的应用 球形外壳和位于中心的半球形炉体之间有两层或三层同心圆环 香熏球 卧褥香炉 熏球 西汉末丁缓的 被中香炉 是世界上已知最早的常平架 其构造精巧 无论球体香炉如何滚动 其中心的半球形炉体都能始终保持水平 镂空球内有两个环互相垂直而可灵活转动 炉体可绕三个互相垂直的轴转动 其原理与陀螺仪的万向架相同 在欧洲 最先提出类似设计的 是文艺复兴时期的大画家 科学家达芬奇 1452 1519 已较我国晚了1000多年 但遗憾的是 这项杰出的创造 在我国仅应用于生活用具 16世纪 意大利人希 卡丹诺制造出陀螺平衡仪并应用于航海上 使它产生了巨大的作用 花样滑冰中常见的例子 花样滑冰 共轴系统的角动量守恒 守恒例题一 求 两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度 wAB 例2 有一子弹 质量为m 以水平速度v射入杆的下端而不复出 求杆和子弹开始一起运动时的角速度 解 碰撞时间很短 考虑 杆和子弹组成的系统动量守恒 系统对轴O轴角动量守恒 请考虑如果子弹穿出或反弹的情形 例3 大圆盘质量为M 半径为R 人质量为m 二者最初都相对地面静止 当人沿盘边缘行走一周时 求盘对地面转过的角度 解 以盘 人为系统 对竖直轴的外力矩 0 系统对轴的角动量守恒 令 与 分别表示人和盘对地面发生的角位移 则 人在盘上走一周时 这是一道角动量守恒 相对运动的题型 请大家注意方法 并与动量守恒 相对运动题型的比较 例4质量很小长度为l的均匀细杆 可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 当细杆静止于水平位置时 有一只小虫以速率垂直落在距点O为l 4处 并背离点O向杆的端点A爬行 设小虫与细杆的质量均为m 问 小虫落在杆上后瞬间的角速度 欲使细杆以恒定的角速度转动 小虫应以多大速率向细杆端点爬行 解 1 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞 碰撞前后系统角动量守恒 2 由角动量定理 即 3 考虑到 转动动能 1转动动能 力矩的功 2力矩的功和功率 M 作的总功为 A 力矩的瞬时功率 刚体的动能定理 3刚体转动的动能定理 回忆质点的动能定理 刚体转动的动能定理 由力矩的元功 转动定律 d A b J J J 则 A q 0 q w J w 2 0 2 J w J w 合外力矩的功 转动动能的增量 刚体转动的动能定理 称为 动能定理例题二 外力矩作的总功 A 0 从水平摆至垂直 由 A w 2 J 0 w 2 J 得 w 2 A J 代入得 w L 2 本题 动能定理例题一 外力矩的功 转动动能增量 J R COS g 动能定理例题三 含平动的转动问题 例1一长为l 质量为的竿可绕支点O自由转动 一质量为 速率为的子弹射入竿内距支点为处 使竿的偏转角为30 子弹初速率为多少 解把子弹和竿看作一个系统 子弹射入竿的过程系统角动量守恒 射入竿后 子弹 杆和地球为系统 机械能守恒 例2一长为L 质量为m的匀质杆竖直立在地面 下端点由一水平轴O固定 在微扰动作用下以O为轴倒下 求 杆与竖直方向成 角时 对轴的角速度 解 1 利用刚体的定轴转动定律先求在任意角 时杆对O点的力矩 重力矩 质量元 质量元对轴的力矩为 M是变力矩 由刚体定轴转动瞬时作用定律 变角加速度 进而可由 积分求出 2 又解 由转动动能定理解先求在任意角 时杆对点O的力矩 重力矩 由转动动能定理 刚体的重力势能与它的质量集中在质心时的势能相同 3 再解 用机械能守恒来解 请比较这三种解法 要求掌握这三种方法 显然最后一种用能量守恒是最简单的 刚体定轴转动定律 刚体的转动惯量 角动量定理 角动量守恒定律 刚体转动的功和能 刚体定轴转动小结 质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比 一 质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比 二 公式对比 质点直线运动或刚体平动 刚体的定轴转动 速度 角速度 加速度 角加速度 位移 角位移 v r x 1 t x r 1 t q q q w a b v 匀速直线运动 s s v t 匀角速定轴转动 q w t 匀变速直线运动 匀变角速定轴转动 q 2 v 2 a s w 2 2 2 b q v v 0 w b t 说明 1 粘接在一起的两个圆盘 或圆柱 形状的刚体 可把它们看成一个刚体 不要分开考虑 2 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等 3 两个圆盘的角速度和角加速度不相等 2 用一根绳连接两个或多个刚体时 要把刚体分开考虑 例1 如图 质量为M半径为R的转台初始角速度为 0 有一质量为m的人站在转台的中心 若他相对于转台以恒定的速度u沿半径向边缘走去 求人走了t时间后 转台转过的角度 竖直轴所受摩擦阻力矩不计 解 人与转台系统对轴角动量守恒 设t时刻人走到距转台中心r ut处 转台的角速度为 刚体定轴转动趣题 例2一杂技演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端A 并把跷板另一端的演员N弹了起来 设跷板是匀质的 长度为l 质量为 跷板可绕中部支撑点C在竖直平面内转动 演员的质量均为m 假定演员M落在跷板上 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 问演员N可弹起多高 解 1 碰撞前M落在A点的速度 2 碰撞后的瞬间 M N具有相同的线速度 3 把M N和跷板作为一个系统 角动量守恒 解得 演员N以u起跳 达到的高度 例3一轻绳跨过两个质量为m 半径为r的均匀圆盘状定滑轮 绳的两端分别挂质量为2m和m的重物 如图 绳与滑轮间无相对滑动 滑轮轴光滑 两个定滑轮的转动惯量均为mr2 2 将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放 求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力 力矩的功算例 2 p r 各微环带摩擦元力矩的积分 环带面积 环带质量 p R 2 m 环带受摩擦力 g 环带受摩擦力矩 刚体力学练习 刚体力学练习 习题一如图 一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联 绳子质量可以忽略 它与定滑轮之间无滑动 假设定滑轮的质量为M 半径为R 其转动惯量为 滑轮轴光滑 试求该物体由静止开始下落的过程中 下落速度与时间的关系 解 根据牛顿第二定律和刚体定轴转动定律 对m 1 对M 2 又 3 联立 1 2 3 解得 常矢量 与时间无关 由初始条件 得 习题三如图所示 A B两圆盘可分别绕 轴无摩擦地转动 重物C系在绳上 绳不伸长 且与圆盘边缘之间无相对滑动 已知A B的半径分别为 A B C的质量分别为 m 求 重物C由静止下降h时的速度v 解一 应用机械能守恒定律 不打滑 有 考虑到 得 解二 应用牛顿第二定律和转动定律 A 1 B 2 C 3 不打滑 有 4 联立 1 2 3 4 解得 习题四一质量为m的子弹丸 穿过如图所示的摆锤后 速率由v减少到 若摆锤的质量为M 摆杆的质量也为M 均匀细杆 长度为l 如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动 弹丸的速度的最小值应为多少 解 取摆锤 地球和子弹为系统 子弹穿过摆锤过程中 系统对转轴的角动量守恒 即 得摆锤开始转动的角速度为 摆锤开始转动后机械能守恒 设摆锤在垂直位置为势能零点 到达最高点时有 则得 即 习题五空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动 转动惯量为 环的半径为R 初始时环的角速度为 质量为m的小球静止在环内最高处A点 由于某种干扰 小球沿环向下滑动 问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时 环的角速度及小球相对于环的速度各为多大 设环的内壁和小球都是光滑的 小球可视为质点 环截面半径 解 在小球下滑过程中 系统角动量守恒和机械能守恒 对B点 解得 因为 对C点 所以得环的角速度仍为 小球相对环的速度即为小球相对地的速度 习题六试证 1 半径和质量都相同的实心圆柱体 圆筒和实心球 沿同一斜面 同一高度从静止纯滚动地滚下时 它们到达底部的次序是 实心球最先 圆柱体次之 圆筒最后 2 不同质量 不同半径的均匀实心圆柱体在斜面上滚下时质心具有同一加速度 证一 机械能守恒 考虑到纯滚动 质心速度 所以得 因为 所以 证二 由上述结论 因为 所以得 即 因而有 与m R无关 得证 习题七设某机器上的飞轮的转动惯量为J 其在制动力矩的作用下 角速度由减小到 问此过程所需的时间和制动力矩所作的功各为多少 解 由转动定律 移项后两边积分 得 再由转动动能定理得 习题八两均匀圆柱分别绕它们本身的轴转动 二轴互相平行 一圆柱的半径为 质量为 另一圆柱的半径为 质量为 开始它们沿同一转向分别以及的角速度转动 然后平移二轴使它们在共同切点接触 当最后达到稳定状态时 求每个圆柱的角速度 解一 接触时产生摩擦力 由转动定理得 考虑到 两圆柱在摩擦力的作用下作匀减速转动 有 考虑到在它们C点的线速度相等 有 由 1 2 3 得 由 4 5 得 解 6 7 8 得 习题九水平面内有一静止的长为l 质量为m的细棒 可绕通过棒一端O点的铅直轴旋转 今有一质量为 速率为v的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射击棒的中点 子弹穿出时速率减为 当棒转动后 设棒上各点单位长度受到的阻力正比于该点的速率 比例系数为k 试求 1 子弹穿出瞬间 棒的角速度为多少 2 当棒以 转动时 受到的阻力矩为多少 3 棒从变为时 经历的时间为多少 解 1 系统所受外力矩为零 角动量守恒 所以得 2 所以得 3 由 有 1 一轻绳跨过一具有水平光滑轴 质量为M的定滑轮 绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体 m1 m2 如图所示 绳与轮之间无相对滑动 某时刻滑轮沿逆时针方向转动 则绳的张力 B A 处处相等 B 左边大于右边 C 右边大于左边 D 无法判断 2 均匀细棒oA可绕通过其一端o而与棒垂直的水平固定光滑轴转动 如图所示 今使棒从水平位置由静止开始自由下落 在棒摆动到竖直位置的过程中 下列情况哪一种说法是正确的 D 角速度从大到小 角加速度从小到大 C 角速度从大到小 角加速度从大到小 B 角速度从小到大 角加速度从小到大 A 角速度从小到大 角加速度从大到小 A C A D 逆时针方向 逆时针方向 A 顺时针方向 B 顺时针方向 3 质量m为的小孩站在半径为R 转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上 平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动 平台和小孩开始时均静止 当小孩突然以相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时 则此平台相对地面旋转的角速度 为 4 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴o以角速度w按图示方向转动 若如图所示的情况那样 将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面同时作用到盘上 则盘的角速度w A A 必然增大 B 必然减少 C 不会改变 D 如何变化 不能确定 5 一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上 双臂伸直水平地举起二哑铃 在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中 人 哑铃与转动平台组成的系统的 C A 机械能守恒 角动量守恒 B 机械能守恒 角动量不守恒 C 机械能不守恒 角动量守恒 D 机械能不守恒 角动量不守恒 D C A B C 6 光滑的水