第2章 第8节 函数与方程.doc

20092013年高考真题备选题库第2章 函数、导数及其应用第8节 函数与方程考点 函数零点与方程的根1(2013安徽，5分)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2.若f(x1)x1x2，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数为()A3B4C5 D6解析：本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识因为函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f(x)3x22axb0有两个不等的实根x1，x2.则方程3(f(x)22af(x)b0有两个不等的实根，即f(x)x1或f(x)x2，原方程根的个数就是这两个方程f(x)x1和f(x)x2的不等实根的个数之和由上述可知函数f(x)在区间(，x1)，(x2，)上是单调递增的，在区间(x1，x2)上是单调递减的，又f(x1)x1x2，如图所示，由数形结合可知，f(x)x1时，有两个不同实根，f(x)x2时有一个实根，所以不同实根的个数为3.答案：A2(2013天津，5分)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数即为函数y|log0.5x|与y图象的交点个数在同一直角坐标系中作出函数y|log0.5x|与y的图象，易知有2个交点答案：B3(2013湖南，5分)函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为()A3 B2C1 D0解析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想由已知g(x)(x2)21，所以其顶点为(2,1)，又f(2)2ln 2(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)2ln x图象的下方，故函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象有2个交点答案：B4(2013重庆，5分)若ab0，f(b)0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内答案：A5(2013福建，5分)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13C12 D10解析：本题考查集合、方程的根、计数原理等基础知识，意在考查考生的综合能力因为a，b1,0,1,2，可分为两类：当a0时，b可能为1或1或0或2，即b有4种不同的选法；当a0时，依题意得44ab0，所以ab1.当a1时，b有4种不同的选法，当a1时，b可能为1或0或1，即b有3种不同的选法，当a2时，b可能为1或0，即b有2种不同的选法根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有443213.答案：B6（2012辽宁，5分）设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在，上的零点个数为()A5B6C7 D8解析：由题意知函数f(x)是偶函数，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函数图像，如图由图可知函数yg(x)，yf(x)在，图像有6个交点，故h(x)g(x)f(x)在，上的零点有6个答案：B7（2012天津，5分）函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：法一：函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数即为函数y2x，y2x3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.法二：由题意知f(x)为单调增函数且f(0)10，所以在区间(0,1)内有且只有一个零点答案：B8（2012湖北，5分）函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5C6 D7解析：令xcos x20，则x0，或x2k，又x0,4，因此xk (k0,1,2,3,4)，共有6个零点答案：C9（2011新课标全国，5分）函数y的图像与函数y2sinx(2x4)的图像所有交点的横坐标之和等于()A2B4C6 D8解析：如图，两个函数图像都关于点(1,0)成中心对称，两个图像在2,4上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.答案：D10（2011山东，5分）已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x0)，则yf(x)()A在区间(，1)，(1，e)内均有零点B在区间(，1)，(1，e)内均无零点C在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：f()10，f(1)00，f(e)10，根据闭区间上根的存在性定理答案：D13（2011北京，5分）已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_解析：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，当0k1时，函数f(x)与yk的图像有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)答案：(0,1)14(2009山东，4分)若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa交点的个数，由函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，0a1时两函数图象有唯一交点，故a1.答案：(1，)15(2009广东，14分)(本小题满分14分)已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得极小值m1(m0)设f(x)，(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；(2)k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点解：yg(x)2axb的图象与直线y2x平行，a1.又yg(x)在x1处取得极小值m1，1，g(1)a(1)2b(1)cm1，所以b2，cm.从而f(x)x2.(1)已知m0，设曲线yf(x)上点P的坐标为P(x，y)，则点P到点Q(0,2)的距离为|PQ| ，当且仅当2x2x 时等号成立|PQ|的最小值为，|m|m1.当m0时，解得m1.当m0时，解得m1.故m1或m1.(2)yf(x)kx的零点，即方程(1k)x20的解，m0，(1k)x20与(k1)x22xm0有相同的解若k1，(k1)x22xm0x0，所以函数yf(x)kx有零点x.若k1，(k1)x22xm0的判别式41m(k1)若0k1，此时函