量子力学讲义.doc

1.很多大学生虽然学完了量子力学的课程，甚至考试也得了高分，但是若问他：为什么要学习量子力学？量子力学是什么？等这一类问题时却往往回答不出来。于是产生了如Jauch所说：尽管考试可得高分，其实并不懂得其意义，甚至大多数学生只是像鹦鹉学舌地学了量子力学。本绪论课就是要解决：为什么我们要学习量子力学这门课程。至于量子力学是什么的问题将是我们这学期所学习的主要内容，待我们学习完后，这个问题就迎刃而解了。2.本绪论课的安排：为什么要学习量子力学；经典物理学碰到了哪些严重困难;早期的量子论观点；量子力学的建立（诞生）； 如何学习量子力学。 0.1 为什么要学习量子力学为什么要学习量子力学？这个问题大致可以从四个方面来阐明。1. 1. 量子力学开创了物理学的新时代。十九世纪末期，物理学理论一方面被看成是发展到了相当完善的阶段，但另一方面又在生产与科学实验面前遇到了不少严重的困难（见下一节内容）。量子力学的发现在物理学史上是一件划时代的大事。在此以前的物理学统称为经典物理学，以后的就叫做近代物理学。而所谓的近代物理学，实际上可定义为需要用量子力学和相对论解释的物理学。因此，人们常说：20世纪物理学取得的两个最大的进展是相对论和量子理论。相对论的建立从根本上改变了人们原有的空间和时间的概念，指明了牛顿力学的适用范围（即物理的运动速度 ）。而量子力学的建立，开辟了人们认识微观世界的道路，并由此开创了物理学的新时代。 2. 2. 微观现象必须用量子力学去描述。大量的科学实验，如黑体辐射、卢瑟福的散射实验、光电效应、固体在低温下的比热等等，彻底的粉碎了一切想将经典物理学用到微观领域的企图。 3. 3. 对宏观现象的研究也应立足于量子力学。这是因为既然宏观物体是由大量微观粒子组成的，那么一些已知的宏观现象原则上也应该可以由微观现象的规律推导出来。可以说，一切宏观理论都可以由微观量子理论在一定的近似条件下推导出来。 4. 4. 存在着量子宏观现象。即使经典理论，也不能完全解决所有的宏观现象。还存在着大量的用经典理论无法解释的宏观现象，这些现象往往就是量子力学现象的宏观表现，如：超导、超流、半导体的导电行为、宏观量子隧道效应等等。基于上述四条理由，可见学习量子力学是深入研究物理世界的必然要求。事实上，量子力学早已成为现代物理学的基础课程之一，它是过渡到其他许多专门课程的预备知识。0.2 经典物理学碰到的严重困难(1)（下一页） 十九世纪末于二十世纪初，经典物理学理论（牛顿力学（理论力学）、热力学、及统计物理学、电动力学），一方面被认为发展到了相当完善的地步，但另一方面又在生产与科学实验方面遇到了不少严重的困难，而这些困难是经典物理学自身所无法解决的。主要的困难表现在以下几个问题上：黑体辐射问题，光电效应问题，原子的线状光谱及其规律问题，原子的稳定性问题，固体与分子的比热问题。黑体辐射问题普朗克公式到了十九世纪末，人们已认识到热辐射与光辐射都是电磁波。于是，开始研究辐射能量在不同频率范围中的分布问题，特别是对黑体（空窖）辐射进行了较深入的理论和实验研究。完全黑体（空窖）在与热辐射达到平衡时，辐射能量密度E随频率变化曲线如图所示。实验得出的平衡时辐射能量按频率分布的曲线只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。许多人企图用经典物理学来说明这种能量分布的规律，推导与实验结果符合的能量分布公式，但都未成功。a).1894年，维恩(Wien)从分析实验数据得出一个经验公式，即维恩公式 (1)其中c1，c2是两个经验参数，T为平衡时的温度，结果表明：公式与实验曲线在高频部分符合，但在低频部分不符合。b).1900年，瑞利(Rayleigh)和金斯(Jeans)根据经典电动力学和统计物理学，得出了一个黑体辐射能量公式，即瑞利金斯公式： (2)其中c为光速，k为玻耳兹曼常数。结果表明，此公式在低频部分与实验比较符合，但当时，E 是发散的，与实验明显不符（即所谓的“紫外发散灾难”）。c)1900年，普朗克(Planck)在瑞利金斯公式和维恩公式的基础上，进一步分析了实验曲线，得到了一个很好的经验公式，即有名的普朗克公式： (3)不难看出：当 时，公式(3) 公式(1) 当 0 时，公式(3) 公式(2)普朗克提出这个公式后，许多实验物理学家用它来分析当时最精确的实验数据，发现符合的很好。于是，人们开始认识到，这绝非偶然的巧合，在这公式中一定蕴藏着一个非常重要，但是尚未被人们揭示出的科学原理。这就是有名的黑体辐射问题。0.3早期的量子论观点1.普朗克量子论Planck提出的著名的Planck公式，能在全波段（频率）范围内与观测结果如此惊人地符合，很难说是偶然。人们相信这里必定蕴藏着一个非常重要，但尚未被揭示出来的科学原理。经过两个月的探索，Planck发现，如果作以下假定，则可以从理论上导出他的黑体辐射公式。这假定是：对于一定频率的辐射，物体只能以h为单位吸收或发射它，h是一个普适常数（称为Planck常数）。h6.62559*10-34JS换言之，物体吸收或发射电磁辐射，只能以“量子”(Quantum)的方式进行，每个“量子”的能量为(粒子性) (波动性)从经典力学来看，这种能量不连续的概念是完全不容许的。尽管从这个量子假设可以导出与观测极为符合的Planck公式，但此工作相当长一段时间里未引起人们的重视。 2.爱因斯坦的光量子论首先注意到量子假设有可能解决经典物理学所碰到的其它困难的是年轻的A.Einstein。1905年，他试图用量子假设去说明光电效应中碰到的疑难，提出了光量子(light quantum)概念。他认为：辐射场就是由光量子组成，每个光量子（光子）的能量E与辐射的频率的关系是：(粒子性) (波动性) (2)他还根据他同年提出的相对论中给出的光动量和能量关系： (3)提出光子的动量与辐射的波长有下列关系：(粒子性) (波动性) (4) 由(2)，(4)可看出Planck常数h在微观现象中所占的重要地位。E，P的量子化通过h这个不为零的常量表示出来的。在宏观现象中h 0。因此，E，P是连续的。凡是h在其中起重要作用的现象都可称为量子现象。采用光量子概念后，光电效应中出现的困难立即迎刃而解：当光照射到金属表面时，一个光子的能量可以立即被金属中的自由电子吸收。只有那些入射光子的频率足够大（即每个光子的能量 足够大），才能使电子克服金属表面的逸出功A。而逸出电子的动能为 (5)由此可看出，当时 ，电子吸收的能量不足以克服金属表面的吸引力而逃出，因而观测不到光电子。这个 即临界频率。由(5)式还可以看出：光电子逃逸出来时的动能只与照射光的频率有关，而与照射光的强度无关。（光量子概念及理论在后来的(1923年)康普顿散射实验中得到了直接的证实）。Einstein因此而获得1922年度的诺贝尔物理学奖。另外，Einstein与Debye还进一步将能量不连续的概念应用与固体中原子的振动，成功地解决了当温度 时固体比热趋于0的现象。到此，Planck提出的能量不连续的概念才普遍引起物理学家的注意。于是一些人开始用它来思考经典物理学碰到的其它重大疑难问题。其中最突出的就是关于原子结构与原子光谱的问题。 3.玻尔的量子论前面我们已讲了：1911年，卢瑟福根据粒子对原子散射中出现的大角度偏转现象，提出了原子的“有核模型“：原子的正电荷以及几乎全部的质量集中在原子中心很小的区域中（半径Em）跃迁时，发射或吸收的电磁波辐射的频率由下式给出： （频率条件） (6)简言之，Bohr量子论的核心思想有两条：一是原子的具有分立能量的定态概念，一是两个定态之间的量子跃迁概念和频率条件。Bohr的重要贡献在于把原子辐射的频率与两个定态能量之差联系起来，这就抓住了原子光谱的组合规则的本质：（ 波数）这正是频率条件(6)式的反映。光谱项是与原子的分立的定态能量联系在一起的， 其物理意义就十分清楚了。另外，玻尔在他的理论中开始时只考虑了电子的圆周轨道，即电子只具有一个自由度。得到了电子的角动量J的量子化条件，即作圆轨道运动的电子的角动量J只能是 的整数倍。 (7)其中 是量子力学中常用的符号。人们由此式可以比较容易地求出体系的分立能级。后来，索末菲将玻尔的量子化条件推广到多自由度体系的周期运动中去，提出了推广的量子化条件： (8)q是广义坐标，p是广义动量。回路积分是沿运动轨道积分一圈，n是正整数，称为量子数。Bohr的量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大成功，但它的局限性和存在的问题也逐渐为人们认识到：首先，Bohr理论只能解决氢原子光谱的规律，对于更复杂的原子的光谱，就遇到很大困难。其次，Bohr理论只能处理周期运动，而不能处理非束缚态（如散射）问题。另外，从理论体系上讲，能量量子化等概念与经典力学是不相容的，多少带有人为的性质，它们的物理本质还不清楚。这一切都推动早期量子论进一步发展。量子力学就是在克服早期量子论的困难和局限性中建立起来的。0.4 量子力学的建立 量子力学理论本身是在19231927年这段时间中建立起来的。两个彼此等价的理论矩阵力学与波动力学，几乎同时被提出来。1. 1. 海森伯(Heisenberg)的矩阵力学矩阵力学是在对Bohr的旧量子论的批判中产生的。海森伯等人，一方面继承了早期量子论中合理的内核：如分立能级、定态、量子跃迁、频率条件等概念，另一方面，又摒弃了一些没有实验根据的传统概念：如绝对精确轨道的概念。海森伯、波恩(Born)、约当(Jordan)的矩阵力学的实质：从物理上可观测量出发，赋予每个物理量以一个矩阵，它们的代数运算规则与经典物理量不相同，遵守乘法不可对易的代数。量子体系的各力学量（矩阵）之间的关系（矩阵方程），形式上与经典力学相似，但运算规则不同。Heisenberg的矩阵力学成功地解决了谐振子、转子、氢原子等分立能级、光谱线频率、强度等问题，引起物理学界的普遍重视。但当时的物理学家对矩阵代数很陌生，接受矩阵力学是不大容易的。幸好不久，Schrdinger薛定谔的波动力学也提出来了。而在波动力学中出现的是大家熟悉的二阶偏微分方程，分立能级的问题则表现为在一定的边界条件下解微分方程的本征值问题。对这一点，物理学家（特别是老一辈物理学家）特别感到欣慰。薛定谔随后还证明了波动力学与矩阵力学的等价性。 2. 2. 薛定谔(Schrdinger)的波动力学波动力学则从完全不同的观点出发，它来源于德布罗意的物质波思想。德布罗意在研究力学与光学的相似性之后，企图找到实物粒子与辐射的统一的基础，他提出了下列假定：波动粒子两重性是微观客体的普遍性质。薛定谔进一步推广了物质波的概念，找到了一个量子体系的物质波的运动方程薛定谔方程，它是波动力学的核心。犹如牛顿第二定律在经典力学中的地位。薛定谔用他的波动方程成功地解决了氢原子光谱等一系列重大问题。波动力学与矩阵力学是一种力学规律的两种不同地表述。事实上，量子理论还可以更为普遍地表述出来，这是狄拉克（Dirac）的工作，这就是教材第四章的内容。还应指出，量子理论的诠释及内部的自洽是在波恩对波函数的统计诠释提出来之后才得以解决的。到此，量子力学仍属非相对论性的。由于波动力学使用的数学工具是人们较为熟悉的微分方程，对初学者较易掌握，而且量子力学的大多数基本应用都采用波动力学的形式，因此我们将沿波动力学这一条线来讲述量子力学。3量子力学课程的主要参考书目录： 量子力学教程，周世勋编（1961年，上海科学技术出版社；1979年，人民教育出版社（或高教） 量子力学，（现代物理学丛书），曾谨言编著，上、下册，科学出版社，1981年。 量子力学导论，曾谨言编，北京大学出版社，1992年。 S.Flgge（福里格）(德)，Practical Quantum Mechanics(1974)(有中译本两种) L.I.Schiff（席夫）（美）,Quantum Mechanics（1968） 量子力学习题精选与剖析，钱伯初，曾谨言，科学出版社（1988）。1 2第一章 微观粒子状态的描述 提要：1.物质波的概念；2.波函数的统计诠释；3.态叠加原理。1.1物质波的提出德布罗意(de Broglie)仔细分析了光的微粒说与波动说的发展历史，并注意到几何光学与经典粒子力学的相似性，根据类比的方法，他设想：(1)实物（静质量）粒子也可能具有波动性，即和光一样，也具有波动粒子两重性，这两方面有类似的关系相联系，而Planck常数必定出现在其中。(2)与一定质量E和动量p的物质粒子相联系的波（称为物质波）的频率和波长分别为、， （等式左边对应波动性，右边对应粒子性）即德布罗意公式。1.2 波函数的统计诠释1. 波动-粒子两重性矛盾的分析结论：微观粒子的波动性是指其具有波的叠加性。2. 几率波，单粒子的波函数，多粒子系的波函数.几率波波恩（Born）1926年提出的几率波。他认为：德布罗意提出的物质波或薛定谔方程中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，只不过是刻画粒子在空间的几率分布的几率波而已。.波函数的统计诠释代表在点附近的小体积元 中找到粒子的几率波函数的性质 归一性 波函数的常数因子不定性 波函数的相角不定性 多粒子的波函数3. 动量分布几率 表示粒子在动量空间中的动量分布的几率密度1.3 态叠加原理1. 量子态及其表象2. 态叠加原理态叠加原理：设体系处于 描述的态下，测量某力学量A所得结果是一个确切值a1（称为A的本征态，A的本征值为a1）。又假设在 态下，测量A得的结果是另一个确切值a2。则在 所描述的状态下，测量A所得结果，既可能为a1，也可能为a2（但不会是另外的值），而测得结果为a1或a2的相对几率是完全确定的。我们称 态是态和 态的线性叠加态。总结：由微观粒子的波粒二象性（即：既不是经典概念的波，也不是经典意义上的粒子）描述微观粒子需要用波函数几率波、态函数（波恩诠释），完全描述微观粒子的状态态叠加原理。1.1物质波的提出在PlanckEinstein的光量子论（黑体辐射、光电效应现象揭示了光具有波动粒子两重性， ， ）和Bohr的原子论的启发下，德布罗意（de Broglie）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展历史，并注意到几何光学与经典粒子力学的相似性，根据类比的方法，他设想：实物（静质量 的）粒子也可能具有波动性，即和光一样，也具有波动粒子两重性，这两方面必有类似的关系相联系，而Planck常数 必定出现在其中；与一定质量E和动量p的物质粒子相联系的波（称为“物质波”）的频率和波长分别为 ， （等式左边对应波动性，右边对应粒子性）即德布罗意公式。提出以上假定的目的（动机）：一方面，企图把作为物质存在的两种形式（ 的实物粒子和光）的理论统一起来。另一方面，为了更深刻地去理解微观粒子能量地不连续性，以克服Bohr理论带有认为性质的缺陷。德布罗意将原子定态与驻波联系起来，即将粒子能量量子化的问题与有限空间中驻波波长（或频率）的分立性联系起来。例如：在氢原子中作稳定的圆轨道运动的电子所相应的德布罗意波的一种波形图驻波条件要求：波绕原子核传播一周后应光滑地衔接起来，否则相叠合的波将会由于干涉而相消，这就对轨道有所限制：即轨道的圆周长应该为波长的整数倍。 或 再利用德布罗意关系 ，可得粒子的角动量为 (4)这正是玻尔的量子化条件。这样，从物质波的驻波条件比较自然地得出了量子化条件。例如2：在无限深方势阱中运动的粒子，相应的物质波限制在0，a范围中传播。在此范围之外，以及 两个端点上，波幅为0，即 是波的节点，与两端固定的弦振动相似，如图，按驻波条件 (5)或 图 可见，驻波的波长是不连续变化的，再利用德布罗意关系，可得出粒子在无限深势阱中的动量和能量： 它们都是不连续的。物质波假设提出后，人们自然会问，物质粒子既然是波，为什么人们在过去长期实践中把它们看成经典粒子，却并没有犯什么错误？为了回答这个问题，先追溯一下人类对光的认识：在十七世纪，牛顿认为光由微粒组成，并作直线传播。十九世纪，人们发现了光的干涉与衍射现象之后，光的波动性才为人们所确认。而光的干涉和衍射现象，只有当仪器的特征长度与光波可相比拟的情况下才明显。比如：光通过针孔成像与圆孔衍射实验，针孔比可见光的波长大很多。光直线传播，圆孔很小时，半径 时，针孔成像不复存在，此时将出现圆孔的衍射花样。德布罗意认为：物质粒子的波动性与光有相似之处，由于h是一个很小的量（h6.626*10-34JS），实物粒子的波长实际上是很短的。在一般宏观条件下，波动性不会表现出来（粒子性是主要矛盾方面），所以用经典力学来处理是恰当的。但到了微观粒子如原子世界中（原子大小1 10-10m），物质粒子的波动性便会明显表现出来，此时，经典力学就无能为力了。正如几何光学不能用来处理光的干涉与衍射现象一样。德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维逊（Davisson）和革末（Germer）所做的电子衍射实验所证实。1.2 波函数的统计诠释1. 波动粒子两重性矛盾的分析人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一场激烈的争论：（以电子为例）包括薛定谔、德布罗意等人在内的一些人认为：电子波是电子的某种实际结构，即电子被看成是在三维空间连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与衍射等现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。但稍加分析，这种看法就碰到了难以克服的困难。如物质波包必然要扩散，或者更形象地说，随时间的推移，电子将愈来愈“胖”，这与实验是矛盾的。错误的根源在于：夸大了波动性一面，而实际上抹杀了粒子性一面。与物质波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波。这种看法也与实验矛盾。实验表明，单个电子也具有波动性。错误根源在于：夸大了粒子性一面，而实际上抹杀了粒子的波动性一面。然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？回答：“电子既不是经典的粒子，也不是经典的波。但也可以说：电子既是粒子，也是波。它是粒子和波动两重矛盾的统一。这个波不再是经典概念下的波，粒子也不是经典概念中的粒子。电子所呈现出来的粒子性，只是经典粒子概念中“原子性”或“颗粒性”，即总是以一定的质量m，电荷e等属性的客体出现。抛弃了经典粒子概念中的“粒子有确切的轨道”的概念。电子所呈现出来的波动性，只是波动性中最本质的东西波的“叠加性”。抛弃了经典波中“实际物理量在空间的分布”概念。结论：微观粒子的波动性是指其具有波的叠加性。 2. 几率波，单粒子的波函数，多粒子系的波函数.几率波 将粒子性与波动性统一起来，更确切地说：把微观粒子的“原子性”与波的“叠加性”统一起来的是波恩（Born）1926年提出的几率波。他认为：德布罗意提出的“物质波”或“薛定谔方程中的波函数所描述的”，并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，只不过是刻画粒子在空间的几率分布的几率波而已。为了说明波恩的解释，我们考察电子的衍射实验。（电子的双缝衍射实验）图 如果入射电子流的强度很大，即单位时间内有很多电子通过双缝，在照片上很快出现衍射图样如果入射电子流强度很小，电子几乎是一个一个地通过双缝，这时照片上就出现一个一个的点子，显示出电子的微粒性。这些点子在照片上的位置并不都是重合在一起的，开始时，它们看起来似乎是毫无规则地散布着，随着时间的延长，点子数目逐渐增多，它们在照片上的分析就形成了衍射图样，显示出电子的波动性。由此可见：实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。1.3 态叠加原理1. 量子态及其表象按上节分析，对于一个粒子，当描述它的波函数 给定后，如测量其位置，则粒子出现在 点的几率密度为 。如测量其动量，则测得动量 的几率密度为 。 是 的Fourier变换，由 完全确定。 (13)而 (14)与此类似，还可以讨论其它力学量的测量值的几率分布（详见下章）。总之，当 给定后，粒子所有力学量的测量值的几率分布就确定了。从这个意义上来讲， 完全描述了一个三维空间中粒子的量子态。所以波函数也称为态函数，亦称几率幅。同样， 也完全描述了粒子的量子态。因为： 给定后，不仅动量的测量值的几率分布（ ）完全确定，而且其位置的测量值几率分布也是完全确定（ ）的，而 可通过(29)式由完全确定。其它力学量的测量值几率分布也可类似给出。因此，粒子的量子态，既可以用 描述，也可以用 来描述（还可以有其它描述方式）。它们彼此间有确定的变换关系，彼此完全等价。它们描述的都是同一个量子态，只不过表象不同而已。这犹如一个矢量可以采用不同的坐标系来表述一样。我们称 是粒子态在坐标表象中的表示，而 是粒子态在动量表象中的表示。（其它表象，及表象变换的系统讲述，见第四章）。显然，量子态的描述方式与经典粒子运动状态的描述方式（用每一时刻粒子的坐标 和动量 来描述）根本不同。这是由微观粒子的波粒二象性所决定的。 2. 态叠加原理在初步弄清量子态的概念之后，下面来讨论量子力学另一个基本原理态叠加原理。在量子力学中，当我们弄清了波函数是用来描述一个体系的量子态时，波的叠加性就有了更深刻的含义，即态的叠加性。态叠加原理是“波的叠加性”与”波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。例子：考虑一个用波包 描述的量子态，它由许多平面波叠加而成，其中每一个平面波（ ）描述具有确定动量 的量子态（动量本征态）对于用波包描述的粒子，如测量其动量，则可能出现各种可能的结果，也许出现 ，也许出现 .。（凡是波包中含有的平面波所相应的 值，均可出现，而且出现的相对几率是确定的）。我们应怎样来理解这样的测量结果呢？这只能认为原来那个波包所描述的量子态。就是粒子的许多动量本征态的某种线性叠加，而粒子部分地处于 态，部分地处于态 .。这从经典物理概念来看，是无法理解的，但只有这种看法才能正确理解为什么测量动量时，有时出现 ，有时出现 。态叠加原理：设体系处于 描述的态下，测量某力学量A所得结果是一个确切值a1（ 称为A的本征态，A的本征值为a1）。又假设在 态下，测量A得的结果是另一个确切值a2。则在所描述的状态下，测量A所得结果，既可能为a1，也可能为a2（但不会是另外的值），而测得结果为a1或a2的相对几率是完全确定的。我们称 态是 态和 态的线性叠加态。态叠加原理是量子力学的基本假设之一。 总结： 由微观粒子的波粒二象性（即：既不是经典概念的波，也不是经典意义上的粒子） 描述微观粒子需要用波函数 几率波、态函数（波恩诠释）， 完全描述微观粒子的状态 态叠加原理。第二章 力学量的算符 上一章中我们已经看到，由于微观粒子的波粒二象性，微观粒子状态的描述方式（即用波函数来描述）与经典粒子（即用坐标和动量来描述，而其它力学量均是坐标和动量的函数）不同。因此，量子力学中微观力学量（如坐标、动量、角动量、能量等）的性质也不同于经典粒子的力学量。经典粒子在任何状态下它的力学量都有确定的值。而微观粒子，由于它的波粒二象性，在给定的状态（即给出 ）里测量力学量，通常不是得到唯一的结果（这由态的叠加原理所确定），而是有一定几率分布的一系列可能的值。这些差别的存在，使得我们不得不用和经典力学不同的方式来表示微观粒子的力学量-即用算符来表示微观粒子的力学量（如坐标、动量、角动量、能量等）。本章将讨论微观粒子的力学量怎样用算符来表示，以及量子力学中的一些一般的规律。2.1测量结果的期望值（平均值）. 在给定状态（即给定）里，力学量坐标的平均值在给定状态、力学量-动量的平均值。.用算符表示微观粒子的物理量算符的运算规则及性质(a).线性算符(b).单位算符I(c).两个算符相等 (d).算符之和(e).算符之积(f).逆算符(g).算符的函数 (h).复共轭算符 (i).转置算符 (j).厄米共轭算符(k).厄米算符2.2 厄米算符的本征值与本征函数力学量的本征值方程几个力学量（厄米算符）的本征值方程1. 动量算符的本征值和本征函数2. 一维自由运动粒子的能量算符的本征值和本征函数。3. 角动量的本征值和本征函数4.粒子在一维无限深势阱中运动本征函数的正交性本征函数的归一化（连续谱本征函数的归一化）在给定状态里力学量取值的几率2.3 力学量的完全集（组）算符的对易关系 .力学量同时有确定值的条件算符加法 算符乘法 .力学量的完全集（组）我们称一组能完全确定系统状态的独立力学量为力学量的完全集（组）。 对易关系.算符乘积的厄米性2.1测量结果的期望值（平均值）（1）（下一页） 用算符表示微观粒子的力学量. 在给定状态（即给定 ）里，力学量坐标的平均值为了简单起见，讨论一维情况，所得结果不难推广到三维情况。上一章，我们已知道，波函数 完全描述一个微观粒子的状态，这就是量子力学的基本假设之一。根据波恩关于波函数的几率诠释：测量坐标 的值在 之间的几率是 (1)根据统计力学关于期望值平均值的定义，利用(1)可以计算坐标 的平均值 (2)(2)式的物理意义：在状态 中测量力学量坐标 所得结果的平均值等于 乘 上再乘以 并对全空间积分。在给定状态、力学量动量的平均值。给定微观粒子的状态 ，那么，还能不能按照上面计算坐标 的平均值的方法来求动量的平均值呢？即能不能将动量的平均值 写成回答是否定的，这是因为，由于微观粒子的波粒二象性，粒子在空间某一点的动量是不确定的，即：微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值。（这就是我们后面要讲的测不准关系。那么，如何利用已知状态 求 呢？前面已讲过，给定波函数 后，就可以由傅立叶变换得到 ，即： (3)而 表示测得粒子动量在 中的几率。 的复共轭为： (4)于是，可以用 来计算动量的平均值 ： (5)将(4)式代入(5)式可得 (6)这样，我们就找到了用 来直接计算动量平均值的公式。这一式子与求坐标平均值的(2)式有类似的结构。公式(6)的物理意义：在状态 中测量力学量动量 所得结果的平均值等于用微分算符 作用在波函数 上，再乘以 并对全空间积分。我们看到，算符 在计算动量平均值时起着重要作用，我们将它称为动量算符，用符号 表示： (7)于是，动量的平均值可表示为 (8)2.1测量结果的期望值（平均值）.用算符表示微观粒子的物理量算符 是量子力学中表示动量的数学量，通过它对态函数 的运算，可得到动量的平均值，如公式(8)。孤立的算符本身只是一种运算符号，没有直接的物理意义，它的物理意义是体现在它对波函数的运算上。正是在这个意义上，人们说动量 用算符 表示。对于(2)式也可以作同样的理解，只是这时坐标算符 就是坐标的数值 本身 (9)于是，我们得到了微观粒子两个力学量（坐标和动量）的算符表达式。将上面的结果推广到三维情况，于是有 (10) (11)其中： 空间体积元而 (12) (13)分别是动量和坐标的算符。（音del）：劈形算符 ）对于任意一个是坐标和动量的函数的物理量 ，其平均值为 (14)其中 (15)它是将 中的坐标和动量换成算符 而得到的力学量 的算符。例如：微观粒子的角动量的算符为 (16)写成分量形式为： (17) 又如：在经典力学中能量和动量的表达式分别为， ，在量子力学中相应的算符分别是： (18) (19)其中 是保守立场，因而H哈密顿函数E，即能量算符就是哈密顿算符。 称为拉普拉斯算符。总结上面的讨论可以得到以下结论：1. . 在状态 ，力学量F的平均值可以通过算符 按照(14)式求得。2. . 如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符 由经典表示式 中将 和 换为算符 和 而得到，即 。至于那些只在量子力学中才有，而在经典力学中所没有的力学量（如宇称和自旋），它们的算符如何引进将在后面分别介绍。由此可看出，在量子力学中，力学量是用算符这种特殊的数学工具表示的，这完全不同于经典力学中力学量的表示方法。由此可见，算符的概念在量子力学中的重要地位。它是我们学习量子力学的基础。那么，现在要问：算符有些什么性质？是不是所有的算符都能用来表示力学量呢？下面我们就来回答这些问题。2.1测量结果的期望值（平均值）（3）（上一页）（下一页）算符的运算规则及性质什么是算符？ 在量子力学中，算符代表对波函数的一种运算。孤立的算符本身只是一种运算符号，没有直接的物理意义，它的物理意义是体现在它对波函数的运算上。例如： ， ， ， 等分别代表对波函数 求导、乘以 、取复共轭、开平方根的运算。在数学中，一个算符 是表示一种运算符号，它的意义是表现在：它对一个函数的运算结果会得到另一个函数，即 (1)下面我们讨论量子力学中算符的一般性质。(a).线性算符凡满足下列运算规则的算符 ，称为线性算符： (2)其中 与 是任意两个波函数， 与 是两个任意常数（一般为复数）。例如： 就是线性算符； ， 积分运算也是线性算符，但取平方根、取复共轭不是线性算符。(b).单位算符I是指使波函数不变的运算，即. (3)其中 是任意波函数。(c).两个算符相等若两个算符 和 对体系的任何波函数 的运算所得结果都相同，即 (4)则称算符 等于算符 ，记为 (d).算符之和算符 与 之和，记为 ，定义如下：对于任意波函数，有 (5)例如：一个粒子的哈密顿算符 ， 分别是动能和势能算符显然，算符的和满足交换律和结合律根据(2)式和(5)，可以证明：两个线性算符之和仍为线性算符。(e).算符之积算符 与之积，记为 ，定义为 (6)为任意波函数。上式表面： 对 的运算结果等于先用 对 运算（得 ），然后再用 对 运算得到的结果。注意：一般说来，算符之积不满足交换律，即 。这是算符与通常数的运算规律的唯一不同之处。也正是由于这个原因，在量子力学中，人们才用算符这种特殊的数学工具来表示力学量。用这种表示后，才能完全体现出微观粒子的波粒二象性。关于这部分内容后面要介绍。(f).逆算符设 (7)能唯一地解出 ，则可定义算符的逆算符为 (8)注意：并非所以算符都有逆算符。若 的逆算符存在，则可证明： (9)( ， 又 ， ）2.1测量结果的期望值（平均值）（4）（上一页）(g).算符的函数给定一函数 ，其各阶导数都存在，设有一个算符 ，则可定义算符 的函数 为 (10)例如： ， ，则可定义(h).复共轭算符算符 的复共轭算符 是如下构成的，即将 的表达式中所有的量换成其复共轭形式。例： (i).转置算符算符 的转置算符 定义为 (11)式中 与 是任意两个波函数例如： （证明见曾谨言书）可以证明：(j).厄米共轭算符算符 的厄米共轭算符 定义为 (13)也可定义为： (14)可以证明： (15)(k).厄米算符如果算符 等于它自己的厄米共轭算符 ，即 则称算符 是厄米自共轭算符，简称厄米算符。可以证明：两个厄米算符之和仍为厄米算符。即：若 ， 则 同样可以证明：坐标算符 ，动量算符 ，角动量 ，势 等都是厄米算符。下面证明其中 ， 为厄米算符。例1：证明坐标和动量算符是厄米算符证明：为了简单起见，考虑一维情况。三维情况的证明完全类似。对于坐标算符 显然有 （ 为实数， ） 是厄米算符对于动量算符 （分部积分）（利用当 时， 0） 是厄米算符。厄米算符的重要性质定理：在任何状态下，厄米算符的平均值都是实数。证明：算符 的平均值定义为 即证逆定理：在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符（证明见曾谨言书）。总结前面的讨论，我们得到量子力学的第三个基本假设：在量子力学中，力学量用线性厄米算符来表示。并不是任意的数学算符都可以用来表示力学量。能用来表示力学量的算符受到物理条件的限制：首先，算符的作用不应破坏波函数的叠加原理；其次，用算符计算出来的力学量的平均值必须是实数。2.2 厄米算符的本征值与本征函数（1）(下一节）对于一个微观粒子系统，在给定的状态里，力学量以不同的几率取不同的值。因此，对力学量的完整描述，首先要知道它所能取的值的谱，其次要知道取每一种值的几率。因此，在给定的状态里，测量微观粒子的力学量，通常不是得到唯一确定的值，而是按一定几率分布的一系列的值。在上节我们已经知道，在量子力学中，力学量是用线性厄米算符表示，这是量子力学的基本假设。利用力学量的算符，我们可以求得在给定的状态里力学量的期望值平均值。在这一节里，我们将进一步讨论如何利用力学量的算符来求力学量所有可能的取值，以及如何求在一个给定的状态里力学量取各种可能值的几率。力学量的可能的取值只与系统本身的性质和所处的外部条件有关，与运动状态无关。而各种可能值的几率既与力学量的算符有关，也与状态的波函数有关。 力学量的本征值方程假设一体系（微观粒子）处于量子态 。当人们去测量力学量A时，一般地，可能出现各种不同地结果，每个结果有一定的几率。对于都 用来描述其状态的大量的完全相同的体系，如果进行多次测量，所得结果的平均将趋于一个确定值。而每一次测量的结果则围绕平均值有一个涨落。这个涨落定义为由于 是厄米算符， 必为实数，因而（ ）仍为厄米算符。于是上式可写为 （利用厄米共轭算符定义） (2)如果体系处于一种特殊的状态下：在一状态中，力学量A有确定值。此时，涨落 ，于是由(2)式可得或 为了方便，常把此常数记为An，并将此特殊状态记为 ，于是 (3)An称为 的本征值， 为相应的本征态，n1，2，3.称为量子数。公式(3)就是算符 的本征方程。求解时，还要满足一些定解条件：如波函数是单值、连续、有限的（称为标准条件），以及系统的边界条件。波函数必须至少有二阶导数存在。于是得到量子力学中的一个基本假定：测量力学量A时，所有可能出现的值，都是相应的线性厄米算符 的本征值。 2.2 厄米算符的本征值与本征函数（3）（上一页）（下一页）1.角动量的本征值和本征函数为了方便计算，我们首先将角动量算符变换到球坐标系。利用球坐标系与直角坐标系之间的关系：图？以及由(1)，(2)可得， ， ， ， ， ， 于是可求得球坐标系角动量算符的表达式：类似地：角动量平方算符定义为：下面我们来求 和 的本征值和本征函数：的本征值方程为 (8)直接积分得： (9)按照波函数的标准条件， 应是单值函数，因而有 (10)即周期性边界条件。显然只有当 ，且m0,1,2. 时，函数(9)才满足上述条件，因此得到 的本征值谱为 , (11)m称为磁量子数，它决定了角动量在z轴方向的投影，相应的本征函数为 (12)其中已利用归一化条件 求出了(9)式中的归一化常数 角动量平方算符的本征方程为 (13)其中 是 算符的本征函数，其本征值为 。方程(13)的解在数学物理方法中讨论过，为了使波函数 处处单值、连续、有限，必须有： ， (14) 这就是算符 的本征值，其中 称为角量子数。方程(13)的解是球函数 ： (15)其中 (16)是缔合勒让德（Legendre）多项式是归一化常数由 的归一化条件： (17)可得： (18)由上面