可拆项计算的行列式的结构特征与计算方法.doc

可拆项计算的行列式的结构特征与计算方法王文龙 指导教师：张德燕（河西学院数学与统计学院, 甘肃张掖 734000）摘 要 在高等代数的学习中,我们已经学习了行列式的性质与计算的问题,而本文对利用拆项法求行列式的问题进行了进一步地讨论,并给出了具体例子加以说明. 关键词 行列式; 拆项法; 结构特征; 计算方法.中图分类号 O151.22 Demolition of the calculation of the determinant of structure and calculation methodWang Wenlong Instructor Zhang Deyan(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000)Abstract:In the higher algebra study, we have studied the determinant of the nature and the calculation of the problem, and in this paper a method using open for the determinant of further discussion, and gives the specific examples to illustrate.字典Keywords:The determinant; Demolition term method; Structure characteristic; Calculation methods .1 引言高等代数是数学专业必修的基础课程,而行列式知识是其中的重要内容之一,在高等代数教材中给出了求行列式值的具体方法,例如文献1,并且探讨了行列式的相关性质.能够熟练掌握和运用行列式的相关性质有着非常重要的作用和意义.本文主要研究了可拆项的行列式的结构特征,指明了什么样的行列式可采用拆项法来计算的问题,并且对这些问题进行了归纳和总结,给出了具体的方法和例子.2预备知识性质2.1 =,这就是说,如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样.性质2.2 如果行列式中有两行（列）相同,那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质2.3 如果行列式中两行（列）成比例,那么行列式为零.性质2.4 对换行列式中两行（列）的位置,行列式反号.性质2.5 行列式与其转置行列式相等.定义2.6 由行列式拆项性质知,将已知行列式拆成若干个行列式之和,计算其值,再得原行列式值,此法称为拆行（列）法.定义2.7 设是数域上的阶方阵.的行列式是项的代数和；其中每一项是的位于不同行、不同列的个元素的乘积,当把这个元素的行指标排成自然排列后,若相应列指标的排列为偶排列,则该项代正号,反之该项代负号,即 ,其中是的任一元排列,表示对所有元排列求和,即.3 拆项计算的行列式的结构特征与计算方法3.1 每个元素都写成的形式的行列式计算方法 将此行列式中的这两个数拆项,利用行列式的性质,使得行列式计算简化.例1 计算阶行列式.解 .3.2 主对角线元素为0,对角线上方以及下方的元素分别相同的行列式 计算方法 如果主对角线元素为0,对角线上方元素全部相同（记为）,对角线下方元素全部相同（记为）,那么,可以运用拆项法.将第列前行的所有元素拆分为的形式,第行第列的0元素拆分为的形式,之后再利用行列式性质,将行列式写成两个行列式的差,使问题简化以利于计算.例2 计算阶行列式. 思路 观察此行列式的特点是主对角线上元素全为0,主对角线两旁元素只是,且每一侧元素相同,可用拆项法. 解 = -,对上面的第一个行列式,将第列乘加到其余各列上,对第二个行列式按第列展开,最后可得- =,即.如果将按下面的方式拆项,又可得到 =.类似于前面的方法得到另一个递推关系式 ,联立上述两个递推关系式 .当时,解得 ；当时,解得.3.3 次对角线元素为0,对角线上方以及下方的元素分别相同的行列式计算方法 如果次对角线元素为0,对角线上方元素全部相同（记为）,对角线下方元素全部相同（记为）,那么,可以先利用行列式性质,将行列式化为主对角线元素为0,之后行列式结构与计算方法与3.2相同.例3 计算阶行列式. 解 ,以下计算与例2相同.3.4 主对角线元素不为0,对角线上方以及下方元素分别相同的行列式计算方法 如果主对角线元素不为0（记为）,对角线上方元素全部相同（记为）,对角线下方元素全部相同（记为）,那么,可以把第行列的元素看成,运用拆项法.即将第列前行的所有元素拆分为的形式,第行第列的元素拆分为的形式,之后再利用行列式性质,将行列式写成两个行列式的和,使问题简化以利于计算. 例4 计算阶行列式 解 . 由于 ,所以 . 式,式联立,消去得 .3.5 每一行(列)只有一个元素和其他元素不一样的行列式计算方法 如果阶行列式中每一列只有一个元素和其他元素不一样,就可以将这一列的每个元素都分解成两个数的和,使得其中一个是一样的,从而创造了利用性质的条件.例5 计算阶行列式.思路 这个行列式第1列第1个元素是,其他元素都是1,可以将其他元素都改为,就满足性质2.3的条件,可以拆成两个行列式的和,其中1个只有第1个元素为 ,其他元素全为0.按第1列展开,降为低1级行列式,另一个行列式第1列全为1,各行减第1行,也可降阶.其实,这道题每一列都有这个规律,为了书写方便,对最后1列拆项,拆成两个行列式,然后对第1个行列式,每一行减最后一行.解 .4 结束语 通过讨论可拆项计算的行列式,使我们进一步学习了阶行列式的一种计算方法.在解答题时,我们要针对具体问题,把握行列式的特点,灵活运用计算方法,着重培养解决问题的能力和技巧,形成良好的数学思维.致谢 衷心感谢张德燕老师的悉心指导!参 考 文 献1王蕚芳,石生明. 高等代数M. 北京:高等教育出版社,2003.2刘洪星. 高等代数选讲M. 北京:机械工业出版社,2009. 3钱吉林. 高等代数题解精粹M. 北京：中央民族大学出版社,2002.4杨奇,田代军,韩维信. 线性代数与解析几何M. 天津:天津大学出版社,2002.5张禾瑞,郝新. 高