2016_17学年高中数学3.1.3两角和与差的正切学案【新人教B版必修】1.docx

3.1.3两角和与差的正切1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等.(重点、难点)基础初探教材整理两角和与差的正切公式阅读教材P140内容，完成下列问题.名称简记符号公式使用条件两角和的正切Ttan()、k(kZ) 且tan tan 1两角差的正切Ttan()、k(kZ)且tan tan 1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在，R，使tan()tan tan 成立.()(2)对任意，R，tan()都成立.()(3)tan()等价于tan tan tan()(1tan tan ).()【解析】(1).当0，时，tan()tantan 0tan ，但一般情况下不成立.(2).两角和的正切公式的适用范围是，k(kZ).(3).当k(kZ)，k(kZ)，k(kZ)时，由前一个式子两边同乘以1tan tan 可得后一个式子.【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型化简求值求下列各式的值：(1)tan 15；(2)；(3)tan 23tan 37tan 23tan 37.【精彩点拨】解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角(如(1)及公式的逆用(如(2)与活用(如(3)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的.【自主解答】(1)tan 15tan(4530)2.(2)tan(3075)tan(45)tan 451.(3)tan(2337)tan 60，tan 23tan 37(1tan 23tan 37)，原式(1tan 23tan 37)tan 23tan 37.1.公式T，T是变形较多的两个公式，公式中有tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan().三者知二可表示或求出第三个.2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.再练一题1.求下列各式的值：(1)；(2)tan 36tan 84tan 36tan 84.【解】(1)原式tan(4575)tan(30)tan 30.(2)原式tan 120(1tan 36tan 84)tan 36tan 84tan 120tan 120tan 36tan 84tan 36tan 84tan 120.条件求值(角)问题如图311，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.图311(1)求tan()的值；(2)求2的值.【导学号：72010081】【精彩点拨】解决本题可先由任意角的三角函数定义求出cos ，cos ，再求sin ，sin ，从而求出tan ，tan ，然后利用T求tan()，最后利用2()，求tan(2)进而得到2的值.【自主解答】由条件得cos ，cos ，为锐角，sin ，sin ，tan 7，tan .(1)tan()3.(2)tan(2)tan()1，为锐角，02，2.1.通过先求角的某个三角函数值来求角.2.选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.3.给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.再练一题2.(2016北京高一检测)(1)已知，sin ，求tan的值；(2)如图312所示，三个相同的正方形相接，试计算的大小.图312【解】(1)因为sin ，且，所以cos ，所以tan ，故tan.(2)由题图可知tan ，tan ，且，均为锐角，tan()1.(0，)，.探究共研型三角形中的三角函数探究1判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？【提示】根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等.探究2在ABC中，tan(AB)与tan C有何关系？【提示】根据三角形内角和定理可得ABC，ABC，tan(AB)tan(C)tan C.已知ABC中，tan Btan Ctan Btan C，且tan Atan B1tan Atan B，判断ABC的形状.【精彩点拨】化简条件求出tan A，tan C求出角A，C判断形状.【自主解答】由tan Atan(BC)tan(BC).而0A180，A120.由tan Ctan(AB)，而0C180，C30，B30.ABC是顶角为120的等腰三角形.利用和差角公式判断三角形形状时，应考虑借助同名三角函数之间关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意对三角形内角和ABC180这一隐含条件的运用.再练一题3.已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角，求证：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.【证明】ABC，ABC，tan(AB)tan C，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，即tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.构建体系1.的值等于()A.B.C. D.【解析】tan(10545)tan 60.【答案】B2.(2015无锡高一检测)已知2，则tan的值为()A.2 B.1C.2 D.【解析】2，tan2.【答案】C3.已知tan tan 2，tan()4，则tan tan 等于()A.2 B.1C. D.4【解析】tan()4，tan tan .【答案】C4.计算_.【解析】tan 451.【答案】15.已知tan()，tan，求tan的值.【导学号：72010082】【解】()，tantan.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十六)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.已知，则cot()A.B.C. D.【解析】，cot.【答案】B2.已知，则(1tan )(1tan )()A.1 B.2C.3 D.4【解析】tan()tan 1，所以tan tan 1tan tan ，从而(1tan )(1tan )1(tan tan )tan tan 1(1tan tan )tan tan 2.【答案】B3.(2016沈阳高一检测)已知，满足tan()，sin ，则tan ()【导学号：72010083】A.B. C.D.【解析】因为，sin ，所以cos ，所以tan ，又因为tan()，所以tan tan()，故选B.【答案】B4.在ABC中， tan Atan Btan Atan B，则角C等于()A. B.C. D.【解析】由已知得tan Atan B(1tan Atan B)，tan Ctan(AB)tan(AB)，C.【答案】A5.(2016沈阳高一检测)若，tan ，tan ，则等于()A. B.C. D.【解析】由题意，0，因为tan()1，所以.【答案】B二、填空题6.设tan()，tan，则tan的值是_.【解析】tan，tan ，tan(2)tan().【答案】7.已知tan()7，tan ，且(0，)，则的值为_.【解析】tan tan()1，又(0，)，所以.【答案】8.(2016新洲高一检测)在ABC中，tan Atan Btan C3，tan2Btan Atan C，则B_.【解析】tan Btan(AC)，所以tan3B3，所以tan B，又因为B为三角形的内角，所以B.【答案】三、解答题9.已知tan，tan2，(1)求tan的值；(2)求tan()的值.【解】(1)tantan.(2)tan()tan23.10.已知tan ，tan 是方程x23x40的两个根，且，求的值.【解】由题意，有tan 0且tan 0.又因为，所以，(，0).又因为tan().在(，0)内，正切值为的角只有，所以.能力提升1.(2016宜昌高一期末)已知sin ，是第二象限角，且tan()，则tan 的值为()A. B.C. D.【解析】为第二象限角，cos 0，cos ，tan .tan tan().【答案】C2.(2016潍坊高一检测)设tan ，tan 是一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实根，则的值为()A. B.C. D.【解析】由题意得tan tan ，tan tan ，所以.【答案】C3.计算_.【解析】原式