分类计数原理与分步计数原理上课...ppt

分类计数原理与分步计数原理 狐狸想从草地逃到小岛 可以走水路 也可以走陆路 走水路有2艘船 走陆路有3辆车 问 乘坐这些交通工具 共有多少种不同的方法 可以从草地逃到小岛 狐狸总共有多少种方法逃到小岛 草地到小岛 2类 能 2种 3种 2 3 5种 水路2种 陆路3种 如果狐狸还有4辆自行车可以选择呢 2 3 4 9种 草地 小岛 如果狐狸还有m3辆自行车可以选择呢 N m1 m2 m3 如果狐狸从草地到小岛的交通工具有n类 第一类m1种 第二类有m2种 第n类有mn种不同的方法 那么狐狸到安全地有多少种不同的方法 N m1 m2 mn 狐狸总共有多少种方法逃到小岛 水路m1种 陆路m2种 草地 小岛 N m1 m2 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 注 本原理又称加法原理 分类计数原理 完成一件事情 有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 关于分类计数原理的几点注意 各类办法之间相互独立 都能完成这件事 且办法总数是各类办法相加 狐狸有一共有多少种不同的方法 可以从草地逃回到自己的家 安全地 草地到安全地 2步 不能 5种 2种 5 2 10种 a1a2a3a4a5 b1b2 别墅 如果狐狸还有4种方法到别墅压惊呢 5 2 4 40种 分步计数原理完成一件事情 需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 注 本原理又称乘法原理 关于分步计数原理的几点注意 各个步骤之间相互依存 且方法总数是各个步骤的方法数相乘 做一件事情 完成它可以有n类 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类中有m2种不同的法 在第n类方法中有mn类不同的方法 那么完成这件事情共有 种不同的方法 做一件事情 完成它需要分成n个步骤 在第一步有m1种不同的方法 在第二步有m2种不同的法 在第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事情共有 加法原理 乘法原理 分类计数原理 分步计数原理 N m1 m2 mn N m1 m2 mn 种不同的方法 相互联系 分步到达 相互独立 直达目的 比较两个原理 分类计数原理与分步计数原理的几点说明 共同点 它们都是研究完成一件事情 共有多少种不同的方法 不同点 分步计数原理是 分步完成 的 这些方法需要几个分步骤 各个步骤顺次相依 且只有依次完成所有各步 才能达到完成这件事情的目的 因此 在处理具体问题时 必须关注以下这些问题 分类计数原理是 分类完成 的 这些方法间是彼此独立的 即任何一类办法中的任何一个方法都能达到完成这件事的目的 1 要完成一件什么事情 2 完成这件事情有什么要求 3 考虑用分类计数原理与还是分步计数原理 有三类方法 能 4种 3种 2种 4 3 2 9种 从书架上取一本书 例1书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 1 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法 例1书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 解 从书架上任意取一本书 第1类办法是从第1层取1本计算机书 有4种方法 第2类办法是从第2层取1本文艺书 有3种方法 第3类办法是从第3层取1本体育书 有2种方法 由分类计数原理知 共有4 3 2 9种取法 1 从书架上任取一本书 有多少种取法 有3类方法 有三个步骤 4种 3种 2种 4 3 2 24种 从书架上每层取一本书 不能 例1书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种取法 例1书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 2 从书架的第1 2 3层各取一本书 有多少种取法 需要分三步完成 第1步 从第1层取1本书 有4种方法 第2步 从第2层取1本书 有3种方法 第3步 从第3层取1本书 有2种方法 由分步计数原理知 共有4 3 2 24种取法 解 从书架的第1 2 3层各取一本书 例2一种号码锁有4个拨号盘 每个拨号盘上有从0到9共10个数字 这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码 N 10 10 10 10 104 解 要在4个拨号盘上各取1数字组成一个四位数字的号码 由分步计数原理 4个拨号盘上各取1数字组成四位数字的号码个数是 需要分四步完成 第1步 从第1个拨号盘内拨一个数字 有10种方法 第2步 从第2个拨号盘内拨一个数字 有10种方法 第3步 从第3个拨号盘内拨一个数字 有10种方法 第4步 从第4个拨号盘内拨一个数字 有10种方法 3 分类计数原理和分步计数原理的共同点 都是把一个事件分解成若干个分事件来完成 不同点 前者分类 后者分步 如果分事件相互独立 分类完备 就用分类计数原理 如果分事件相互关联 缺一不可 就用分步计数原理 分类计数原理 做一件事 完成它可以有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第一类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那麽完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 2 分步计数原理 做一件事 完成它需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那麽完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 复习 分类加法计数原理 练习2 要从甲 乙 丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班 有多少种不同的选法 解 从3名工人中选出2名分别上日班和晚班 可以看成是经过先选1名上日班 再选1名上晚班这两个步骤完成 先选1名上日班 共有3种选法 上日班的工人选定后再选1名上晚班 上晚班的工人有2种选法 根据分步计数原理 所求的不同的选法数是 先定班 再安排人 也可以看成是先定人 再安排班这两个步骤完成 3人中选两人 有3种方法 两个人分别上日班和晚班 有2种方法 根据分步计数原理 所求的不同的选法数是 分步乘法计数原理 1 把四封不同的信任意投入三个信箱中 不同投法种数是 A 12B 64C 81D 7 2 火车上有10名乘客 沿途有5个车站 乘客下车的可能方式有 种A 510B 105C 50D 以上都不对 练习 C A 3 5个高中应届毕业生报考3所重点院校 每人报且仅报一所院校 则不同的报名方法共有 种 A 35 B 53 C 15 D 6 A 4 A 1 2 3 4 B 5 6 7 则从A到B的映射有个 81 6 四名研究生各从A B C三位教授中选一位作自己的导师 共有 种选法 三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生 共有 种选法 43 5 某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯口 问从1楼到5楼共有多少种不同的走法 答 3 3 3 3 34 81 种 34 7 乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 5 展开后共有项 10 由壹元币3张 伍元币1张 拾元币2张 可以组成种不同的币值 23 9 从1 2 3 4 7 9中任取不相同的两个数 分别作为对数的底数和真数 可得到个不同的对数值 17 A 两个计数原理的综合应用 易错防范 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上红 黄 蓝 种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 共3 2 1 1 6 种 3种 2种 1种 1种 理论分析 题型四 涂色问题 实际操作 解 按地图A B C D四个区域依次分四步完成 第一步 m1 3种 第二步 m2 2种 第三步 m3 1种 第四步 m4 1种 所以根据乘法原理 得到不同的涂色方案种数共有N 3 2 1 1 6种 变式 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上红 黄 蓝 种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 3种 2种 1种 2种 共3 2 1 2 12 种 练习1 用红 黄 蓝3种颜色给下图中 五个区域涂色 要求相邻两个区域的颜色不同 有多少种不同的涂法 解 涂色可分5步进行 第一步 涂区域 有3种选择 第二步 涂区域 有2种选择 第三步 涂区域 有1种选择 第四步 涂区域 有1种选择 第五步 涂区域 有2种选择 由分步计数原理得 涂