创新设计高三数学一轮复习 三角函数的图象和性质课件 北师大

能画出y sinx y cosx y tanx的图象 了解三角函数的周期性 理解正弦函数 余弦函数在区间 0 2 的性质 如单调性 最大和最小值与轴交点等 理解正切函数在区间 内的单调性 了解函数y Asin x 的物理意义 能画出y Asin x 的图象 了解参数A 对函数图象变化的影响 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 会用三角函数解决一些简单实际问题 3 4三角函数的图象与性质 1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y sinx x 0 2 的图象中 五个关键点是 0 0 1 0 1 2 0 余弦函数y cosx x 0 2 的五个关键点是 0 1 0 0 2 1 1 2 三角函数的图象和性质 递增 递增 递增 偶函数 3 周期性一般地 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 对定义域内的任意一个x值时 都有f x T f x 那么函数f x 就叫做周期函数 T叫做这个函数的周期 对于一个周期函数f x 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的 函数y Asin x x R及函数y Acos x x R 其中A 为常数 且A 0 0 的周期T 最小正周期 1 函数y sinx 的一个单调增区间是 解析 函数y sinx 的图象如右图所示 可观察出函数y sinx 在 上递增 答案 C 2 将函数y sin x 0 的图象按向量a 0 平移 平移后的图象如图所示 则平移后的图象所对应函数的解析式是 A y sin x B y sin x C y sin 2x D y sin 2x 解析 函数y sin x 0 的图象按向量a 0 平移 平移后图象对应的解析式是答案 C 3 已知函数f x sinx cosx sinx cosx 则f x 的值域是 答案 C 4 若f x asin x 3sin x 是偶函数 则a 答案 3 由函数y sinx的图象通过变换得到y Asin x 的图象 主要有两种途径 先平移 后伸缩 与 先伸缩 后平移 例1 为了得到函数y sin 2x 的图象 可以将函数y cos2x的图象 A 向右平移个单位长度B 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D 向左平移个单位长度 答案 B 变式1 函数f x sinx cosx 的最小正周期是 A B C D 2 解析 f x sinx cosx 结合f x 的图象可知f x 的最小正周期为 答案 C 可由函数y Asin x 的最值求A 利用其周期 或半个周期 四分之一周期等 求 由五点作图的过程求 例2 由下列f x Asin x A 0 0 的一段图象确定各图象对应的f x 的表达式 变式2 下列函数中 图象的一部分如图所示的是 A y sin x B y sin 2x C y cos 4x D y cos 2x 答案 D 形如y asinx bcosx y asin2x bsinxcosx ccos2x等函数可化为y Asin x k的形式 进而可解决三角函数的图象和性质等问题 例3 设函数f x cos2 x sin xcos x a 其中 0 a R 且f x 的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为 1 求 的值 2 如果f x 在区间上的最小值为 求a的值 变式3 设函数f x a b 其中向量a 2cosx 1 b cosx sin2x m 1 求函数f x 的最小正周期和在 0 上的单调递增区间 2 当x 0 时 4 f x 4恒成立 求实数m的取值范围 解答 1 f x 2cos2x sin2x m 2sin 2x m 1 函数f x 的最小正周期T 在 0 上的单调递增区间为 0 2 当x 0 时 f x 递增 当x 时 f x 的最大值为m 3 当x 0时 f x 的最小值为m 2 由题设知 解之 得 6 m 1 方法规律 1 图象变换的两种途径 先相位变换后周期变换 先平移再伸缩 先周期变换后相位变换 先伸缩再平移 2 求三角函数的定义域时要注意综合考虑题目的特有的属性 3 求三角函数的周期 奇偶性 最值 单调区间时恒等变形是关键 一般是变形为y Af x 其中f代表sin cos或tan 后再求解 4 三角函数图象和性质为必考知识点 图象方面常有图象选择 平移 对称以及利用图象解简单三角不等式等 性质方面常有最小正周期 最值 单调区间等 2009 重庆 本题满分13分 1 小问7分 2 小问6分 设函数f x 1 求f x 的最小正周期 2 若函数y g x 与y f x 的图象关于直线x 1对称 求当x 时y g x 的最大值 2 在y g x 的图象上任取一点 x g x 它关于x 1的对称点为 2 x g x 由题设条件 点 2 x g x 在y f x 的图象上 可知 答题模板 分析点评 1 本题主要考查考生对于基本三角函数公式的掌握情况 应用基本三角函数公式化简相关三角函数式的能力及两个函数图象对称时求相关函数解析式方法