创新设计高三数学一轮复习 直接证明、间接证明与数学归纳法课件 北师大

了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 11 3直接证明 间接证明与数学归纳法 1 直接证明中最基本的两种证明方法是和 2 综合法是利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 综合法简称为 3 分析法的思考过程 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 分析法简称为 综合法 分析法 由因导果 执果索因 4 反证法的思考过程 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫反证法 应用反证法证明数学命题 一般有下面几个步骤 第一步 分清命题 pq 的条件和 第二步 作出与命题结论q相矛盾的假设綈q 第三步 由p与綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题pq为真 假设错误 结论 5 由一系列有限的特殊事例得出的推理方法 通常叫做归纳法 6 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性 先证明当n取第1个值n0时 命题成立 然后假设当n k k N k n0 时命题成立 证明当n k 1时 命题也成立 这种证明方法叫做 7 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时 其步骤为 1 归纳奠基 证明当取第一个自然数n0时命题成立 2 归纳递推 假设n k k N k n0 时 命题成立 证明当n k 1时 命题成立 3 由 1 2 得出结论 一般结论 数学归纳法 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻求使结论成立的 A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 等价条件答案 A 2 如果命题p n 对n k成立 则它对n k 2也成立 若p n 对n 2成立 则下列结论正确的是 A p n 对所有正整数n都成立B p n 对所有正偶数n都成立C p n 对所有正奇数n都成立D p n 对所有自然数n都成立解析 归纳奠基是 n 2成立 归纳递推是 n k成立 则对n k 2成立 p n 对所有正偶数n都成立 答案 B 3 某个命题与自然数n有关 若n k k N 时命题成立 那么可推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时 该命题不成立 那么可以推得 A n 6时该命题不成立B n 6时该命题成立C n 4时该命题不成立D n 4时该命题成立解析 解法一 由n k k N 成立 可推得当n k 1时该命题也成立 因而若n 4成立 必有n 5成立 现知n 5不成立 所以n 4一定不成立 解法二 其逆否命题 若当n k 1时该命题不成立 则当n k时也不成立 为真 故 n 5时不成立 n 4时不成立 答案 C 4 如右图所示 在直四棱柱A1B1C1D1 ABCD中 当底面四边形ABCD满足条件 时 有A1C B1D1 注 填上你认为正确的一种条件即可 不必考虑所有可能的情形 解析 从结论出发 找一个使A1C B1D1成立的充分条件 因而可以是 AC BD或四边形ABCD为正方形 答案 AC BD 用综合法证明不等式时 应注意观察不等式的结构特点 选择适当的已知不等式作为依据 在证明时 常要用到以下证题依据 1 若a b R 则 a 0 a2 0 a b 2 0 2 若a b同号 则 2 3 若a b 0 则 a b R 则a2 b2 2ab 例1 设a 0 b 0 c 0 证明 a b c 证明 a b c 0 根据基本不等式 有 b 2a c 2b a 2c 三式相加 a b c 2 a b c 即 a b c 变式1 已知a b c R 求证 a2 b2 c2 2 a b c 3 证明 a2 b2 c2 2 a b c 3 a2 2a 1 b2 2b 1 c2 2c 1 a 1 2 b 1 2 c 1 2 0 当且仅当a b c 1时 等号成立 原不等式成立 例2 如右图所示 设四面体P ABC中 ABC 90 PA PB PC D是AC的中点 求证 PD垂直于 ABC所在的平面 立体几何中的很多证明过程都要采用综合法 证明过程中 要步步为营 环环相扣 不可主观臆造 否则因果不成立 从而导致错误 证明 连结PD BD BD是Rt ABC斜边上的中线 DA DB DC 又PA PB PC 而PD为 PAD PBD PCD的公共边 PAD PBD PCD 于是 PDA PDB PDC 而 PDA PDC 90 PDB 90 可见PD AC PD BD AC BD D PD 平面ABC 变式2 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2 底面是边长为1的正方形 E F G分别是棱B1B D1D DA的中点 求证 1 平面AD1E 平面BGF 2 D1E 平面AEC 证明 1 E F分别是棱BB1 DD1的中点 BE D1F且BE D1F 四边形BED1F为平行四边形 D1E BF 又D1E 平面AD1E BF 平面AD1E BF 平面AD1E 又G是棱DA的中点 GF AD1 又AD1 平面AD1E GF 平面AD1E GF 平面AD1E 又BF GF F 平面AD1E 平面BGF 2 AA1 2 AD1 同理AE D1E D1E2 AE2 D1E AE AC BD AC D1D BD D1D D AC 平面BB1D1D 又D1E 平面BB1D1D AC D1E 又AC AE A D1E 平面AEC 由有限的特殊事例去发现问题 得出问题的一般结论 再利用数学归纳法给的证明 从不完全归纳到利用数学归纳法证明展示了从发现问题到解决问题的完整的数学思维过程 例3 是否存在常数a b c使等式12 22 32 n2 n 1 2 22 12 an bn2 c 对于一切n N 都成立 若存在 求出a b c并证明 若不存在 试说明理由 解答 假设存在a b c使12 22 32 n2 n 1 2 22 12 an bn2 c 对于一切n N 都成立 当n 1时 a b c 1 当n 2时 2a 4b c 6 当n 3时 3a 9b c 19 解方程组解得 证明如下 当n 1时 显然成立 假设n k k N k 1 时等式成立 即12 22 32 k2 k 1 2 22 12 k 2k2 1 当n k 1时 12 22 32 k2 k 1 2 k2 k 1 2 22 12 k 2k2 1 k 1 2 k2 k 2k2 3k 1 k 1 2 k 2k 1 k 1 k 1 2 k 1 2k2 4k 3 k 1 2 k 1 2 1 因此存在a b 2 c 1 使等式对一切n N 都成立 变式3 是否存在常数a b c使等式1 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c对一切正整数n成立 并证明你的结论 解答 分别用n 1 2 3代入等式得解之得下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 由上可知等式成立 2 假设n k k N k 1 时等式成立 即1 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 k4 k2 则n k 1时 左边 1 k 1 2 12 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1 k 1 2 k 1 2 1 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 1 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 k4 k2 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 k4 k2 2k 1 k 1 4 k 1 2 当n k 1时 等式也成立 由 1 2 得知等式对一切的n N 均成立 1 分析法的特点是 从未知看需知 逐步靠拢已知 2 综合法的特点是 从已知看可知 逐步推出未知 3 分析法和综合法各有优缺点 分析法思考起来比较自然 容易寻找到解题的思路和方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后再用综合法叙述出来 方法规律 4 应用反证法证明数学命题 一般分下面几个步骤 第一步 分清命题 pq 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相矛盾的假定綈q 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所作的假定綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题pq为真 第三步所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理矛盾 与已知定义矛盾 与已知定理矛盾 与已知条件矛盾 与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况 5 1 在数学归纳法中 归纳奠基和归纳递推缺一不可 在较复杂的式子中 注意由n k到n k 1时 式子中项数的变化 应仔细分析 观察通项 同时还应注意 不用假设的证法不是数学归纳法 2 对于证明等式问题 在证n k 1等式也成立时 应及时把结论和推导过程对比 以减少计算时的复杂程度 对于整除性问题 关键是凑假设 证明不等式时 一般要运用放缩法 证明几何命题时 关键在于弄清由n k到n k 1的图形变化 3 归纳 猜想 证明属于探索性问题的一种 一般经过计算 观察 归纳 然后猜想出结论 再用数学归纳法证明 由于 猜想 是 证明 的前提和 对象 务必保证猜想的正确性 同时必须注意数学归纳法步骤的书写 本题满分5分 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值 则 A A1B1C1和 A2B2C2都是锐角三角形B A1B1C1和 A2B2C2都是钝角三角形C A1B1C1是钝角三角形 A2B2C2是锐角三角形D A1B1C1是锐角三角形 A2B2C2是钝角三角形 答题模板 解析 由条件知 A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0 则 A1B1C1是锐角三角形 假设 A2B2C2是锐角三角形 由得那么 A2 B2 C2 这与三角形内角和为180 相矛盾 所以假设不成立 所以 A2B2C2是钝角三角形 故选