函数的解析式和定义高三数学课件 新课标 人教

函数的解析式和定义域 一 求函数解析式的常用方法 1 待定系数法若已知所求函数的类型 那么根据已知条件求出函数式中的系数 如二次函数的表达形式有三种 一般式 y ax2 bx c 顶点式 y a x m 2 h 两根式 y a x x1 x x2 要会根据已知条件的特点 灵活地选用二次函数的表达形式 例 已知y f x 为二次函数 f x 2 f x 2 且f 0 1 图象在x轴上截得的线段长为2 求f x 的解析式 答案 2 变量代换 配凑 法 已知形如y f g x 的表达式 求y f x 的表达式 例 1 已知f 1 cosx sin2x 求f x2 的解析式 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性 即f x 的定义域应是g x 的值域 2 若 则函数f x 1 答案 f x 1 x2 2x 3 3 若函数f x 是定义在R上的奇函数 且当x 0 时 f x 那么当x 0 时 f x 3 方程的思想已知条件是含有f x 及另外一个函数 如f x 的等式 可抓住等式的特征对等式的变量x进行赋值 从而得到关于f x 及另外一个函数的方程组 例 1 已知f x 2f x 3x 2 求f x 的解析式 2 已知f x 是奇函数 g x 是偶函数 且f x g x 求f x g x 的表达式 二 求函数定义域的常用方法 1 根据解析式要求求定义域在函数解析式中如有 偶次根式的被开方大于零 分母不能为零 对数中真数大于零且底数大于零不等于1 指数式中底不能为0 在三角形中 最大角大于等于60度 最小角小于等于60度以及在应用题中根据实际情况确定定义域等 例 1 函数的定义域是 0 2 2 3 3 4 2 若函数的定义域为R 则k 3 函数f x 的定义域是 a b b a 0 则函数F x f x f x 的定义域是 a a 4 设函数f x lg ax2 2x 1 若f x 的定义域是R 求实数a的取值范围 若f x 的值域是R 求实数a的取值范围 答案 a 1 0 a 1 2 复合函数的定义域若已知f x 的定义域为 a b 其复合函数f g x 的定义域由不等式a g x b解出即可 若已知f g x 的定义域为 a b 求f x 的定义域 相当于当x a b 时 求g x 的值域 即f x 的定义域 例 1 若函数y f x 的定义域为 则f log2x 的定义域为 2 若函数y f x2 1 的定义域为 2 1 则函数y f x 的定义域为 1 5 例一 已知函数f x 的定义域是 a b 求函数F x f 3x 1 f 3x 1 的定义域 解 由当时 即b a 2时 函数的定义域为 当时 即b a 2时 函数的定义域为空集 评注 在求定义域的问题中 要注意带有字母系数的讨论问题 要把各种情况都分析清楚 逐一分析讨论 例二 若函数y f x 的定义域是 0 1 则函数y f x m f 2x m 0 m 1 的定义域是 解 由已知得0 x m 1 且0 2x m 1 解得 m x 1 m且 m 2 x 1 m 2 由于0 m 1 所以x 例三 已知f x ax2 bx c 若f 0 0且f x 1 f x x 1 求f x 的解析式 解 由f 0 0得c 0 x 1 a x 1 2 b x 1 所以ax2 2a b x a b ax2 b 1 x 1 解得a b 所以f x 例四 如图 在直角坐标系的第一象限内 AOB是边长为2的等边三角形 设直线x t 0 t 2 截这个三角形得位于此直线左方的图形的面积为f t 求f t 的表达式 分析 由于t 0 2 所以t当变化时其图形形状也随之变化 当0 t 1时 图形为三角形 当1 t 2时 图形为 三角形 梯形 当t 2时 图形为 ABC 所以f t 是一个分段函数 解 如图 当0 t 1时 当1 t 2时 综上可得 例五 设 是关于x的方程x2 2 m 1 x m 1 0的两个实数根 又知y 求函数y f m 的解析式及其定义域 解 方程x2 2 m 1 x m 1 0有两个实数根 0 解得m 2或m 1 2 m 1 m 1 2 2 2 2 4 m 1 2 2 m 1 4m2 10m 6 f m 4m2 10m 6 m 2或m 1 例六 在函数y logax a 1 x 1 的图象上有A B C三点 它们的横坐标分别为m m 2 m 4 m 1 若 ABC的面积为S 试求S f m 的解析表达式和值域 解 S ABC SABED SBCFE SACFD 2 logam loga m 2 loga m 2 loga m 4 2 logam loga m 4 2loga m 2 log