创新设计高三数学一轮复习 直线的倾斜角与斜率课件 北师大

理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系 掌握过两点的直线斜率的计算公式 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 第八单元平面解析几何 8 1直线的倾斜角与利率 1 直线倾斜角的概念 在平面坐标系中 对于一条与x轴相交的直线l 把x轴 正方向 按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角 叫做直线l的倾斜角 提示 当直线与x轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角为0度 倾斜角的取值范围是 0 180 2 直线斜率的概念 直线倾斜角 当 90 时 的正切值叫直线的斜率 常用k表示 k tan 3 直线斜率的计算 两点确定一直线 给定两点p1 x1 y1 与p2 x2 y2 则过这两点的直线的斜率k 其中x1 x2 4 两条直线平行的判定 两条不重合的直线 斜率都存在 它们的斜率相等 即 1 2 k1 k2 5 两条直线垂直的判定 两直线的斜率都存在时 两直线垂直 则它们的斜率k1 k2的乘积k1k2 1 1 在同一直角坐标系中 表示直线y ax与y x a正确的是 答案 C 2 已知过点A 2 m 和B m 4 的直线与直线2x y 1 0平行 则m的值为 A 8B 0C 2D 10解析 2 m 8 答案 A 3 若经过点 3 a 2 0 的直线与经过点 3 4 且斜率为的直线垂直 则a的值为 解析 2 a 10 答案 D4 已知直线l的倾斜角为 且0 135 则直线l的斜率取值范围是 答案 1 0 1 要正确理解倾斜角的定义 明确倾斜角的取值范围 熟记斜率公式 k 该公式与两点顺序无关 已知两点坐标 x1 x2 时 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率 当x1 x2 y1 y2时 直线的斜率不存在 此时直线的倾斜角为90 2 求斜率 也可用k tan 90 其中 为倾斜角 由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割 牢记 斜率变化分两段 90 是分界线 遇到斜率要谨记 存在与否需讨论 例1 已知直线l经过A 2 1 B 1 m2 m R 两点 那么直线l的倾斜角的取值范围是 解析 已知直线l过A 2 1 B 1 m2 m R 两点 如图B点在射线x 1 y 0 上 直线l倾斜角的取值范围是答案 B 变式1 若直线l的斜率k的变化范围是 1 则它的倾斜角的变化范围是 解析 由倾斜角范围画出正切函数图象 如图 倾斜角范围应是答案 D 1 应注意两条直线的位置关系包括三种 平行 重合 相交 2 若用直线的斜率判定两条直线的平行 垂直等问题要注意其斜率不存在的情况 3 可利用直线的方向向量或法向量判定两直线的平行或垂直 例2 已知两条直线l1 3 m x 4y 5 3m l2 2x 5 m y 8 当m分别为何值时 l1与l2 1 相交 2 平行 3 垂直 解答 当m 5时 显然 l1与l2相交 当m 5时 易得两直线l1和l2的斜率分别为它们在y轴上的截距分别为 1 由k1 k2 得 当m 7且m 1时 l1与l2相交 m 7 当m 7时 l1与l2平行 3 由k1k2 1 变式2 如果两条直线l1 m 2 x m2 3m y 4 0与l2 4x 2 m 3 y 7 0平行 那么m的值是 A 2B 3C D 3或2解析 当m 3时 l1 x l2 x 显然l1 l2 当m 0时 l1 x 2 l2 4x 6y 7 0 显然l1 l2 当m 0且m 3时l1方程化为 l2方程化为 此时l1 l2的充要条件是综上 m 3或m 2 答案 D 在解决与直线相关的问题时 特别要注意数形结合思想方法的运用 比如解决线性规划问题时就要涉及到对直线斜率的观察和判断 那么又如何观察直线的倾斜角和斜率呢 如图 若直线l1的倾斜角为 1 斜率为k1 直线l2的倾斜角为 2 斜率为k2 直线l的倾斜角为 斜率为k 若l过l1与l2的交点在阴影区域内如图 1 则 1 2 k k1或k k2 如图 2 则0 1或 2 180 k2 k k1 例3 已知线段PQ两端点的坐标分别为 1 1 2 2 若直线l x my m 0与线段PQ有交点 求m的范围 解答 解法一 直线x my m 0恒过A 0 1 点 又m 0时直线x my m 0与线段PQ有交点 所求m的范围是 解法二 由定比分点坐标公式设交点坐标为 由 0 即 解法四 由P 1 1 Q 2 2 在直线l上或在l两侧可知 1 m m 2 2m m 0 即 2m 1 3m 2 0 变式3 经过P 0 1 作直线l 若直线l与连接A 1 2 B 2 1 的线段总有公共点 求直线l的倾斜角 与斜率k的范围 解答 如右图所示 由图可观察出 直线l倾斜角 的范围是 135 180 0 45 直线l的斜率k的范围是 1 1 1 要正确理解倾斜角的定义 明确倾斜角的取值范围 熟记斜率公式 k 该公式与两点顺序无关 已知两点坐标 x1 x2 时 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率 当x1 x2 y y2时 直线的斜率不存在 此时直线的倾斜角为90 2 求斜率可用k tan 90 其中 为倾斜角 由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割 牢记 斜率变化分两段 90 是分界线 遇到斜率要谨记 存在与否需讨论 方法规律 3 两直线的位置关系要考虑平行 垂直和重合 对于斜率都存在且不重合的两条直线l1 l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若有一条直线的斜率不存在 那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意 4 建议老师要注意引导学生讨论斜率不存在的情况 本题满分5分 若圆x2 y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同的点到直线l ax by 0的距离为2 则直线l的倾斜角的取值范围是 解析 解法一 由题意知 圆心到直线的距离d应满足0 d 答题模板 解法二 圆的方程可化为 x 2 2 y 2 2 18 如图圆心C在直线y x上 过原点O与C点距离为1的两条直线分别为l1 l2 CA l1 CB l2 则 CA CB 1 又 CO