2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.1.1任意角讲义新人教A版.docx

5.1任意角和弧度制最新课程标准：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性5.1.1任意角知识点一角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记成“”知识点二角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置知识点三角的分类类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角知识点四象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限知识点五终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和(1)为任意角，“kZ”这一条件不能漏(2)k360 与中间用“”连接，k360 可理解成k360 ()(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等终边相同的角有无数个，它们相差360 的整数倍终边不同则表示的角一定不同教材解难象限角的集合表示.象限角集合表示第一象限角|k36090k360，kZ第二象限角|90k360180k360，kZ第三象限角|180k360270k360，kZ第四象限角|270k360360k360，kZ基础自测1下列说法中正确的是()A终边相同的角都相等B钝角是第二象限的角C第一象限的角是锐角 D第四象限的角是负角解析：终边相同的角不一定相等，第一象限角不一定是锐角，第四象限角可能为正角，也可能为负角，故选B.答案：B2下列各角：60，126，63，0，99，其中正角的个数是()A1个 B2个C3个 D4个解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126，99是正角，60，63是负角，0是零角，故选B.答案：B3与30角终边相同的角的集合是()A|30k360，k ZB|30k360，kZC|30k180，kZD|30k180，kZ解析：由终边相同的角的定义可知与30角终边相同的角的集合是|30k360，kZ答案：A42 019是第_象限角解析：2 0193605219，180219120，所以不正确钝角的范围是(90，180)，显然是第二象限角，所以正确锐角的范围是(0，90)，小于90的角也可以是零角或负角，所以不正确答案：题型二终边相同的角经典例题例2写出与75角终边相同的角的集合，并求在3601 080范围内与75角终边相同的角【解析】与75角终边相同的角的集合为S|k36075，kZ当3601 080，即360k360751 080时，解得k2.又kZ，所以k1或k2.当k1时，435；当k2时，795.综上所述，与75角终边相同且在3601 080范围内的角为435角和795角根据与角终边相同的角的集合为S|k360 ，kZ，写出与75 角终边相同的角的集合，再取适当的k值，求出360 1 080 范围内的角方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤写出在0，360)内相应的角；由终边相同的角的表示方法写出角的集合；根据条件能合并一定合并，使结果简洁(2)终边相同角常用的三个结论终边相同的角之间相差360的整数倍；终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍；终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍跟踪训练2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足360720的元素写出来(1)60；(2)210；(3)36413.解析：(1)S|60k360，kZ当k1时，300；当k0时，60；当k1时，420.S中满足360720的元素是300，60，420.(2)S|210k360，kZ当k0时，210；当k1时，150；当k2时，510.S中满足360720的元素是210，150，510.(3)S|36413k360，kZ当k2时，35547；当k1时，413；当k0时，36413.S中满足360720的元素是35547，413，36413.求与已知角终边相同的角时，首先将这样的角表示成k360 (kZ)的形式，然后采用赋值法求解相应不等式，确定k的值，求出满足条件的角题型三象限角与区间角的表示教材P170例1例3在0360范围内，找出与95012角终边相同的角，并判定它是第几象限角【解析】95012129483360，所以在0360范围内，与95012角终边相同的角是12948，它是第二象限角.先求出与950 12 终边相同的角，再判断是第几象限角教材反思象限角的判定方法(1)根据图象判定依据是终边相同的角的概念，因为0360之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系(2)将角转化到0360范围内在直角坐标平面内，在0360范围内没有两个角终边是相同的跟踪训练3(1)若是第四象限角，则一定在()A.第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合解析：(1)因为是第四象限角，所以k36090k360，kZ.所以k360k36090，kZ，由此可知是第一象限角依题意写出的范围，再求的范围(2)若角的终边落在OA上，则30360k，kZ.若角的终边落在OB上，则135360k，kZ.所以，角的终边落在图中阴影区域内时，30360k135360k，kZ.故角的取值集合为|30360k135360k，kZ由图写出终边OA表示的角，终边OB表示的角，再求阴影的范围.答案：(1)A(2)见解析一、选择题1下列角中，终边在y轴非负半轴上的是()A45 B90C180 D270解析：根据角的概念可知，90角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90，故其终边在y轴的非负半轴上答案：B2把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是()A120 B120C240 D240解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是240，故选D.答案：D3与457角终边相同的角的集合是()A|k360457，kZB|k36097，kZC|k360263，kZD|k360263，kZ解析：2634573602，所以263角与457角的终边相同，所以与457角终边相同的角可写作k360263，kZ.答案：C4若为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是()A90 B90C360 D180解析：090，270360360，故选C.答案：C二、填空题5图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是_、_、_.解析：图(1)中的角是一个正角，390.图(2)中的角是一个负角、一个正角，150，60.答案：390150606已知角与2的终边相同，且0，360)，则角_.解析：由条件知，2k360，所以k360(kZ)，因为0，360)，所以0.答案：07如图，终边在阴影部分内的角的集合为_解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得|30k360150k360，kZ答案：|30k360150k360，kZ三、解答题8在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549；(2)60；(3)50336.解析：(1)549189360，而180189270，因此，549角为第三象限角，且在0360范围内，与189角有相同的终边(2)60300360，而270300360，因此，60角为第四象限角，且在0360范围内，与300角有相同的终边(3)50336216242360，因此，50336角是第三象限角，且在0360范围内，与21624角有相同的终边9已知与240角的终边相同，判断是第几象限角解析：由240k360，kZ，得120k180，kZ.若k为偶数，设k2n，nZ，则120n360，nZ，与120角的终边相同，是第二象限角；若k为奇数，设k2n1，nZ，则300n360，nZ，与300角的终边相同，是第四象限角所以，是第二象限角或第四象限角尖子生题库10如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A|45k360，kZ(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A