创新设计高三数学一轮复习 第12知识块第1讲归纳与类比课件 北师大

1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 考纲下载 第1讲归纳与类比 第十二知识块推理与证明 1 合情推理 1 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 全部对象 归纳推理 特点 是由到整体 由到一般的推理 2 定义 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有的推理 特点 类比推理是由的推理 个别 部分 类比推理 这些特征 特殊到特殊 提示 1 合情推理所获得的结论 仅仅是一种猜想 未必可靠 例如费马猜想就被欧拉推翻了 2 在进行类比推理时要尽量从本质上去类比 不要被表面现象迷惑 否则只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比 就会犯机械类比的错误 1 模式 三段论 2 特点 演绎推理是由到的推理 一般原理 特殊情况 特殊情况 一般 特殊 2 演绎推理 1 数列1 2 4 8 16 32 的一个通项公式是 A an 2n 1B an 2n 1C an 2nD an 2n 1解析 可观察1 2 4 8 16 32 即20 21 22 23 24 25 可得an 2n 1 也可用特殊值进行筛选 答案 B 2 所有9的倍数 M 都是3的倍数 P 某奇数 S 是9的倍数 M 故此奇数 S 是3的倍数 P 上述推理是 A 小前提错B 结论错C 正确的D 大前提错答案 C 3 把1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形 如图 试求第七个三角形数是 A 27B 28C 29D 30解析 第七个三角形数为 1 2 3 4 5 6 7 28 答案 B 4 2009 江苏 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 解析 由类比推理得 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为1 8 归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同本质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 因为归纳推理是由特殊得出的一般性结论 所以归纳应立足于观察 经验和实验的基础之上 有时归纳推理的结论不一定可靠 需要对所得结论进行检验 数学上的检验标准是能否进行严格证明 例1 在数列 an 中 a1 1 an 1 n N 猜想这个数列的通项公式 思维点拨 根据已知条件和递推关系 先求出数列的前几项 然后总结归纳其中的规律 写出其通项公式 变式1 设f n n2 n 41 n N 计算 f 1 f 2 f 3 f 4 f 10 的值 同时作出归纳推理 并用n 40验证猜想是否正确 解 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 62 6 41 83 f 7 72 7 41 97 f 8 82 8 41 113 f 9 92 9 41 131 f 10 102 10 41 151 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151都为质数 归纳猜想 当x N 时 f n n2 n 41的值都为质数 n 40时 f 40 402 40 41 40 40 1 41 41 41 1681 f 40 是合数 因此 由上面归纳推理得到的猜想不正确 类比推理是由特殊到特殊的推理 推理的结果不一定准确 但是可以通过严格的逻辑证明来解决这类问题 在类比时要注意已知问题与类比问题的共性与区别 通常情况下 平面图形中的点 线 面可类比为空间图形中的线 面 体 另外常见的类比还有代数中的加减运算可类比为乘除运算 等差与等比的类比 0与1的类比 平面几何与空间几何的类比等 例2 2009 浙江 设等差数列 an 的前n项和为Sn 则S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成等差数列 类比以上结论有 设等比数列 bn 的前n项积为Tn 则T4 成等比数列 思维点拨 由可想到求即可 解析 对于等比数列 通过类比 有等比数列 bn 的前n项积为Tn 则T4 a1a2a3a4 T8 a1a2 a8 T12 a1a2 a12 T16 a1a2 a16 因此 a5a6a7a8 a9a10a11a12 a13a14a15a16 而T4 的公比为q16 因此T4 成等比数列 答案 ABC外接圆半径r 运用类比方法 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a b c 则其外接球的半径R 解析 在直角三角形中 外接圆的半径为斜边长的一半 在三棱锥中 外接球的直径为以直角顶点出发的三条棱为边的长方体的体对角线 故有R 答案 变式2 2009 深圳一调 在Rt ABC中 若 C 90 AC b BC a 则 1 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式 是一种必然性推理 演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系 因而 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么结论必定是真实的 但是错误的前提可能导致错误的结论 2 演绎推理的主要形式 就是由大前提 小前提推出结论的三段论式推理 例3 已知函数f x a 0且a 1 1 证明 函数y f x 的图象关于点对称 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 思维点拨 证明本题依据的大前提是中心对称的定义 函数y f x 的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上 小前提是f x a 0且a 1 的图象关于点对称 1 证明 函数f x 的定义域为R 任取一点 x y 它关于点对称的点的坐标为 1 x 1 y 即函数y f x 的图象关于点对称 2 解 由 1 有 1 f x f 1 x 即f x f 1 x 1 f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 则f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 3 变式3 证明函数f x x 在 1 上是增函数 证明 证法一 任取x1 x2 1 且x1 x2 则f x1 f x2 于是 根据 三段论 可知 f x x 在 1 上是增函数 1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理 数学研究中 在得到一个新结论前 合情推理能帮助猜测和发现结论 在证明一个数学结论之前 合情推理常常能为证明提供思路与方向 2 合情推理的过程概括为 方法规律 3 演绎推理是从一般的原理出发 推出某个特殊情况的结论的推理方法 是由一般到特殊的推理 常用的一般模式是三段论 数学问题的证明主要通过演绎推理来进行 4 合情推理仅是 合乎情理 的推理 它得到的结论不一定正确 但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律 为我们提供证明的思路和方法 而演绎推理得到的结论一定正确 前提和推理形式都正确的前提下 5在数学中 证明命题的正确性都是使用演绎推理 而合情推理不能用作证明 高考真题 2009 广东卷 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示 墩的上半部分是正四棱锥P EFGH 下半部分是长方体ABCD EFGH 图2 图3分别是该标识墩的正 主 视图和俯视图 1 请画出该安全标识墩的侧 左 视图 2 求该安全标识墩的体积 3 证明 直线BD垂直于平面PEG 这道题是比较简单的 只要连结图上的EG HF及BD 找出EG与HF的交点O 连结PO 由正四棱锥的性质经几个简单的步骤就可以推证出来 广东文科试题近三年对推理论证能力的考查一直停留在比较初级的阶段 主要以立体几何中的一些位置关系证明与判断的形式出现 难度不大 非常符合广东文科考生数学认知特点与水平 所以文科考生不必对推理与证明产生畏惧 掌握论证问题 线面关系 的一些简单 基本思路 这个分数是很容易得到 命题探究 规范解答 推理论证能力 推理是思维的基本形式之一 它由前提和结论两部分组成 论证是由已有的