2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法讲义新人教B版.docx

2.2.2反证法学 习 目 标核 心 素 养1了解反证法的思考过程、特点(重点、易混点)2会用反证法证明简单的数学问题(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1反证法的定义由证明pq转向证明： qrt，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q为假，推出q为真的方法，叫做反证法2常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出01,00之类的矛盾)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾()答案(1)(2)(3)2用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”，假设正确的是()A假设三个内角都不大于60B假设三个内角都大于60C假设三个内角至多有一个大于60D假设三个内角至多有两个大于60解析根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60.答案B3已知平面平面直线a，直线b，直线c，baA，ca，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_解析空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，应假设b与c平行或相交答案b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题【例1】(1)用反证法证明：“若方程ax2bxc0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为()A整数B奇数或偶数C自然数或负整数 D正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：， ， 不成等差数列解析(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.答案A(2)证明：假设， ， 成等差数列，则2，即ac24b.又a，b，c成等比数列，所以b2ac，即b，所以ac24，所以ac20，即()20，所以，从而abc，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾原假设错误，故， ， 不成等差数列1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2反证法证明问题的一般步骤1设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和求证：数列Sn不是等比数列证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾所以数列Sn不是等比数列利用反证法证明存在性命题【例2】已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.思路探究“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”解假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c(0,1)，1a0,1b0,1c0.同理，.三式相加得，即，矛盾所以(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明假设a，b，c，d都是非负数，因为abcd1，所以(ab)(cd)1又(ab)(cd)acbdadbcacbd，所以acbd1，这与已知acbd1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题探究问题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且ab.求证：过a，b，m有且只有一个平面思路探究“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑解因为ab，所以过a，b有一个平面.又因为maA，mbB，所以Aa，Bb，所以A，B.又因为Am，Bm，所以m，即过a，b，m有一个平面，如图假设过a，b，m还有一个平面异于平面，则a，b，a，b，这与ab，过a，b有且只有一个平面矛盾因此，过a，b，m有且只有一个平面用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性3若函数f(x)在区间a，b上的图象连续，且f(a)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点证明由于f(x)在a，b上的图象连续，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数答案D2用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角C三个内角都不是钝角D三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”答案B3“x0且y0”的否定形式为_解析“p且q”的否定形式为“p或q”答案x0或y04用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设_解析“xa且xb”形式的否定为“xa或xb”答案xa或xb5若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根