第一届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案--数学类

首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案 数学类 2009 数学类 2009 一 求经过三平行直线 1 Lxyz 2 11Lxyz 3 11Lxyz 的圆 柱面的方程 解解 先求圆柱面的轴 0 L 的方程 由已知条件易知 圆柱面母线的方向 是 1 1 1 n 且圆柱面经过点 0 0 0 O 过点 0 0 0 O且垂直于 1 1 1 n 的平面 的方程为 0 xyz 与三已知直线的交点分别为 0 0 0 1 0 1 0 1 1 OPQ 圆柱面的轴 0 L是到这三点等距离的点的轨迹 即 222222 222222 1 1 1 1 xyzxyz xyzxyz 即 1 1 xz yz 将 0 L的方程改为标准方程 11xyz 圆柱面的半径即为平行直线xyz 和11xyz 之间的距离 0 1 1 0 P 为 0 L上的点 对圆柱面上任意一点 S x y z 有 00 nPSnPO nn 即 222 1 1 2 6yzxzxy 所以 所求圆柱面的方程为 222 330 xyzxyxzyzxy 二 设 n n C 是n n 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间 1 2 1 000 100 010 001 n n n a a Fa a 1 假设 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa 若AFFA 证明 12 1112111 nn nn Aa FaFa Fa E 2 求 n n C 的子空间 n n C FXCFXXF 的维数 1 的证明 的证明 记 12 n A 12 1112111 nn nn Ma FaFa Fa E 要证明MA 只需证明A与M的各个列向量对应相等即可 若以 i e记第i个 基本单位列向量 于是 只需证明 对每个i iii MeAe 若记 11 T nn aaa 则 23 n Fe ee 注意到 212 12123111 nn nn Fee F eFeeFeF FeFee 由 12 111121111 12 11111211111 111121 211 1 1 nn nn nn nn nnnn Mea FaFa Fa E e a FeaFea Fea Ee a eaea ea e Ae 1 知 211112 MeMFeFMeFAeAFeAe 2222 311113 MeMF eF MeF AeAF eAe 1111 1111 nnnn nn MeMFeFMeFAeAFeAe 所以 MA 2 解 解 由 1 21 n C Fspan E F FF 设 21 0121 n n x Ex Fx FxFO 等式两边同右乘 1 e 利用 得 21 101211 n n Oex Ex Fx FxFe 21 01112111 0 11 22 31 n n nn x Eex Fex F exFe x ex ex exe 因 123 n e e ee 线性无关 故 0121 0 n xxxx 所以 21 n E F FF 线性无关 因此 21 n E F FF 是 C F的基 特别地 dim C Fn 三 假设V是复数域C上n维线性空间 0n f g是V上的线性变换 如果 fggff 证明 f的特征值都是0 且 f g有公共特征向量 证 明证 明 假 设 0 是f的 特 征 值 W是 相 应 的 特 征 子 空 间 即 0 WVf 于是 W在f下是不变的 下面先证明 0 0 任取非零W 记m为使得 2 m ggg 线性相 关的最小的非负整数 于是 当01im 时 2 i ggg 线性无关 01im 时令 21 i i Wspanggg 其中 0 W 因此 dim i Wi 1im 并且 12mmm WWW 显然 1 ii g WW 特别 地 m W在g下是不变的 下面证明 m W在f下也是不变的 事实上 由 0 f 知 00 fggffg 2 0000 2 000 2 fggfgfg ggg gg 根据 11 11 kkk kk fggfgfg g fgfg 用归纳法不难证明 k fg 一定可以表示成 2 k ggg 的线性组 合 且表示式中 k g 前的系数为 0 因此 m W在f下也是不变的 f在 m W上的限制在基 21 m ggg 下的矩阵是上三角矩阵 且对角线元素都是 0 因而 这一限制的迹为 0 m 10分 由于fggff 在 m W上仍然成立 而fggf 的迹一定为零 故 0 0m 即 0 0 任取W 由于 f fggffgf 所 以 gW 因此 W在g下是不变的 从而 在W中存在g的特征向量 这也是 f g的公共特征向量 四 设 n fx是定义在 a b上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛 并在 a b 上满足 n fxM 1 证明 n fx在 a b上一致收敛 2 设 lim n n f xfx 问 f x是否一定在 a b上处处可导 为什么 证明证明 1 0 将区间 a bK等分 分点为 0 1 2 j j ba xajK K 使得 ba K 使得 mjnj fxfx 对每个0 1 2 jK 成立 于是 xa b 设 1 jj xx x 则 mnmmjmjnjnjn fxfxfxfxfxfxfxfx mjmjnjnj fxxfxfxfxx 21M 2 不一定 令 2 1 n fxx n 则 lim n n f xfx 在 a b上不能保证处处可导 五 设 3 2 0 sin sin n nt atdt t 证明 1 1 n n a 发散 解解 33 3 22 12 00 sinsinsin sinsinsin n n ntntnt tdttdttdtII ttt 3 2 3 1 00 sin sin2 nn ntn Itdtntdt t 3 3 3 222 2 sin1 sin28 nnn nt Itdttdtd ttt 32 2 88 nn 由此得到 1 1 n n a 发散 六 f x y是 22 1x yxy 上 二 次 连 续 可 微 函 数 满 足 22 22 22 ff x y xy 计算积分 22 22221xy xfyf Idxdy xy xyxy 解解 采用极坐标cos sinxryr 则 12 00 cossin ff Idrrd xy 222 1 0 xyr ff drdydx xy 222 1 22 0 xyr ff drdxdy xy 222 1 22 0 xyr drx ydxdy 12 522 000 cossin 168 r drdd 七 假设函数 f x在 0 1 上连续 在 0 1 内二阶可导 过点 0 0 Af 与点 1 1 Bf的直线与曲线 yf x 相交于点 C cf c 其中 01c 证明 在 0 1 内至少存在一点 使 0f 证明证明 因为 f x在 0 c上满足 Lagrange中值定理的条件 故存 在 1 0