高中数学联赛真题分类汇编—复数拓展

高中数学联赛真题分类汇编于洪伟高中数学联赛真题汇编复数拓展（1988T12）复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z00，另一个动点Z满足Z1Z=1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置解：Z1=，故得|Z0|=|，即|ZZ0+1|=1|Z+|=|即以为圆心|为半径的圆（1989T5）若M=z| z=+i，tR，t1，t0， N=z| z=cos(arcsint)+icos(arccost)，tR，|t|1则MN中元素的个数为 A0 B1 C2 D4解：M的图象为双曲线xy=1(x0，x1)N的图象为x2+y2=2(x0)，二者无公共点选A（1990T5）设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式+的值是( ) A21989 B1 C1 D以上答案都不对解：=或2，其中=cos120+isin1201+2=0且3=1若=，则得()1990+()1990=1若=2，则得()1990+()1990=1选B（1990T11）设n=1990，则 (13C+32C33C+3994C3995C= 解：取(+i)1990展开的实部即为此式而(+i)1990=+i故原式=（1991T2）设a、b、c均为非零复数，且=，则的值为( ) A1 B C1，2 D1，2解：令=t，则a=at3由a0得t=1，2且1+2=0故=选C（1991T11）设复数z1，z2满足|z1|=|z1+z2|=3，|z1z2|=3，则log3|(z1)2000+(z2)2000|= 解：由|z1+z2|2+|z1z2|2=2(|z1|2+|z2|2)，得|z2|=3由于|z1|=|z2|=|z1+z2|=3，故argz1argz2=120|(z1)2000+(z2)2000|=234000|cos(1202000)|=34000故log3|(z1)2000+(z2)2000|=4000 (1992T5)设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O为坐标原点，则OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12解：=cosisin |z2|=8，z1、z2的夹角=60S=48=8选A (1992T10)设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg()3的值是_解：cosOZ1Z3=即OZ1Z3=120， arg()=或 arg()3=(1993T6)设m，n为非零实数，i为虚数单位，zC，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|-m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( )解：方程为椭圆，为双曲线的一支二者的焦点均为(ni，mi)，由n0，故否定A，由于n为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定C由B与D知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|OF1|=n，于是mc2，则a2+b2c20(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2c20，则a2+b2c2那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确 解：正确，错误；理由：a2+b2c2，成立时，a2+b2与c2都是实数，故此时a2+b2c20成立； 当a2+b2c20成立时a2+b2c2是实数，但不能保证a2+b2与c2都是实数，故a2+b2c2不一定成立故选B（1994二试1） x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z4z2=16+20i，设这个方程的两个根、，满足|=2,求|m|的最大值和最小值.解：设m=a+bi(a，bR)则=z124z24m=16+20i4a4bi=4(4a)+(5b)i设的平方根为u+vi(u，vR)即(u+vi)2=4(4a)+(5b)i|=2，|2=28，|(4a)+(5b)i|=7，(a4)2+(b5)2=72，即表示复数m的点在圆(a4)2+(b5)2=72上，该点与原点距离的最大值为7+，最小值为7（1995T2）设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，Z20，则复数Z，Z，Z所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 解：设z1=cos+isin，则zk=z1k1，其中=cos+isin20=115=i，10=1，5=i zk1995=(cos1995+isin1995) 1995(k1)= (cos1995+isin1995)(i)k1 共有4个值选A（1995T7）设，为一对共轭复数，若|=2，且为实数，则|= 解：设=x+yi，(x，yR)，则|=2|y|y= 设arg=，则可取+2=2，(因为只要求|，故不必写出所有可能的角)=，于是x=1|=2 (1996T8)复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_解：z1满足|zi|=1；argz1=，得z1=+i，=cos()+isin()设z2的辐角为(00，故必须x1+x2=0cos2 (2k+1)arccos2(2k+1)+arccos k+arccosk+arccos，(k=0，1) （1998T8）设复数z=cos+isin(0180)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是_.解： =+=+ =+=(1+i)z+2z=iz+2=(2cossin)+i(cos2sin) |OS|2=54sin29即|OS|3，当sin2=1，即=时，|OS|=3（1998T13）已知复数z=1sin+icos()，求z的共轭复数的辐角主值解：z=1+cos(+)+isin(+)=2cos2+2isincos=2cos (cos+isin)当时，=2cos (cos+isin)=2cos(+)(cos()+isin() 辐角主值为（1999T8）已知=arctg，那么，复数的辐角主值是_.8. z的辐角主值 argz=arg(12+5i)2 (239-i)=arg(119+120i) (239-i) =arg28561+28561i=（2000T6）6设=cos+isin，则以w，w3，w7，w9为根的方程是( )(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0解：5+1=0，故w，w3，w7，w9 都是方程x5+1=0的根x5+1=(x+1)(x4x3+x2x+1)=0选B (2001T5)若的展开式为，则的值为（A） （B） （C） （D） 【答】（C）【解】令x=1可得=；令x=可得0=；（其中，则=1且+1=0）令x=可得0=以上三式相加可得=3（）所以= (2001T8)若复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2=，则z1z2=【解】由3z1-2z2=可得本题也可设三角形式进行运算（2002T7）已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60，则= 。解：由余弦定理得|Z1+Z2|=, |Z1-Z2|=, =（2003T14）设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点证明：曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (tR)与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点解：曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t) x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t(0x1) y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1x)2+2b(1x)x+cx2 即 y=(a2b+c)x2+2(ba)x+a (0x1) 若a2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a2b+c0于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线AB中点M：+(a+b)i，BC中点N：+(b+c)i与AC平行的中位线经过M(，(a+b)及N(，(b+c)两点，其方程为4(ac)x+4y3a2b+c=0(x) 令 4(a2b+c)x2+8(ba)x+4a=4(ca)x+3a+2bc即4(a2b+c)x2+4(2bac)