2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程椭圆（强化练）（含解析）新人教A版.docx

椭圆(强化练)学生用书P103(单独成册)一、选择题1若点A(a，1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()AaBaC2a2D1a1解析：选A.由题意知1，解得ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成53的两段，则此椭圆的离心率为()A.BC.D解析：选D.依题意得，所以c2b，所以ab，所以e.6椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()A或B或C或D或解析：选A.由题可得c3，不妨令F1(3，0)，因为PF1的中点在y轴上，所以设P(3，y0)，由点P在椭圆1上，得y0，所以点M的坐标为或.故选A.7已知F为椭圆C：1(ab0)的左焦点，点F关于直线xy0的对称点A在椭圆C上，则椭圆C的离心率为()A.BC.D解析：选B.设F(c，0)，由题意知点A的坐标为(0，c)，因为点A在椭圆C上，所以bc，所以a2b2c22c2，即ac，所以椭圆C的离心率为.故选B.8若直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A2B1C0D0或1解析：选A.由题意，得2，所以m2n24，所以点P(m，n)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，所以点P(m，n)在椭圆1内，则过点P(m，n)的直线与椭圆1有2个交点故选A.9设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|21，则F1PF2的面积为()A5B4C3D1解析：选B.由椭圆方程，得a3，b2.所以c，所以|PF1|PF2|2a6.又|PF1|PF2|21，所以|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|2，2242(2)2，所以F1PF2是直角三角形，所以F1PF2的面积为|PF1|PF2|424.故选B.10若O和F分别为椭圆1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2B3C6D8解析：选C.由题意得点F(1，0)，设点P(x0，y0)，则有1，可得y3(2x02)因为(x01，y0)，(x0，y0)，所以x0(x01)yx0(x01)3x03.此二次函数的图象的对称轴为直线x02.又2x02，所以当x02时，取得最大值，最大值为236.二、填空题11已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4，0)，则它的离心率为_解析：由题意，得m294225，因为m0，所以m5，所以椭圆的离心率为.答案：12已知椭圆的焦点在y轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_解析：由题意，知2a8，2c2，所以a4，c，所以b2a2c216151.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为x21.答案：x2113椭圆mx2ny21与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是_解析：由消去y得，(mn)x22nxn10.设M(x1，y1)，N (x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，则x1x2，所以x0，代入y1x得y0.由题意，所以.答案：14在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为_解析：由题意知，可得a24b2.椭圆C的方程可化简为x24y2a2.将yx代入可得x，因此，可得a2.因此b1.所以椭圆C的方程为y21.答案：y21三、解答题15求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.解：(1)由焦距是4可得c2，又焦点在y轴上，则焦点坐标为(0，2)，(0，2)由椭圆的定义，知2a8，所以a4，所以b2a2c216412.所以椭圆的标准方程为1.(2)由题意，知2a26，即a13，又e，所以c5，所以b2a2c213252144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为1或1.16设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|BF1|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0，且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.17已知椭圆C：y21.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知定点E(1，0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于A，B两点，则是否存在实数k，使得以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，知a23，b21，则a，c，所以椭圆C的离心率为.(2)假设存在实数k满足条件，由得(13k2)x212kx90，所以(12k)236(13k2)0，即k1或k1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以AB为直径的圆过点E(1，0)，只需AEBE，即0，即y1y2(x11)(x21)0，所以(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将代入，解得k，满足题意综上，存在k，使得以AB为直径的圆过点E.18如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0，1)，且1，于是解得a2，b，所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立直线与椭圆方程得得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)