高考数学二轮复习专题三第1讲等差数列等比数列的基本问题案文.docx

第1讲等差数列、等比数列的基本问题高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.真 题 感 悟1.(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8解析设an的公差为d，由得解得d4.答案C2.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏 B.3盏C.5盏 D.9盏解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7381，公比q2.381，解得a13.答案B3.(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A.24 B.3 C.3 D.8解析根据题意得aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，解得d0(舍去)，d2，所以S66a1d16(2)24.答案A4.(2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.解(1)设an公差为d，bn公比为q，由题设得解得或(舍去)，故bn的通项公式为bn2n1.(2)由已知得解得或当q4，d1时，S36；当q5，d8时，S321.考 点 整 合1.等差数列(1)通项公式：ana1(n1)d；(2)求和公式：Snna1d；(3)性质：若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列.2.等比数列(1)通项公式：ana1qn1(q0)；(2)求和公式：q1，Snna1；q1，Sn；(3)性质：若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anamqnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，(Sm0)成等比数列.温馨提醒应用公式anSnSn1时一定注意条件n2，nN*.热点一等差、等比数列的基本运算【例1】 (1)(2015全国卷)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和.若S84S4，则a10()A. B. C.10 D.12(2)(2016全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.解析(1)设等差数列的首项为a1，则S88a18a128，S44a14a16，因为S84S4，即8a12816a124，所以a1，则a10a1(101)d9.(2)由于an是等比数列，设ana1qn1，其中a1是首项，q是公比.所以即解得故an，所以a1a2an .当n3或4时，取得最小值6，此时取得最大值26.所以a1a2an的最大值为64.答案(1)B(2)64探究提高1.第(2)题求解的思路是：先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公比q的方程组，求出a1，q，得到an的通项公式，再将a1a2an表示为n的函数，进而求最大值.2.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.【训练1】 (1)(2017哈尔滨模拟)设Sn为等比数列an的前n项和，a38a6，则的值为()A. B.2 C. D.5(2)(2017北京卷)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.解析(1)由a38a6，得a38a3q3，解得q.则.(2)an为等差数列，a11，a48a13d13d，d3，a2a1d132.bn为等比数列，b11，b48b1q3q3，q2，b2b1q2.则1.答案(1)C(2)1热点二等差(比)数列的性质【例2】 (1)(2017汉中模拟)已知等比数列an的前n项积为Tn，若log2a2log2a82，则T9的值为()A.512 B.512C.1 024 D.1 024(2)(2017北京海淀区质检)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an2，若数列bn满足bn10log2an，则使数列bn的前n项和取最大值时的n的值为_.解析(1)由log2a2log2a82，得log2(a2a8)2，所以a2a84，则a52，等比数列an的前9项积为T9a1a2a8a9(a5)9512.(2)Sn2an2，n1时，a12a12，解得a12.当n2时，anSnSn12an2(2an12)，an2an1.数列an是公比与首项都为2的等比数列，an2n.bn10log2an10n.由bn10n0，解得n10.使数列bn的前n项和取最大值时的n的值为9或10.答案(1)A(2)9或10探究提高1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.【训练2】 (1)(2017贵阳质检)等差数列an的前n项和为Sn，且a3a916，则S11()A.88 B.48 C.96 D.176(2)(2017开封质检)设等比数列an的前n项和为Sn，若Sm15，Sm11，Sm121，则m等于()A.3 B.4 C.5 D.6解析(1)依题意得S1188.(2)在等比数列中，因为Sm15，Sm11，Sm121，所以amSmSm111516，am1Sm1Sm32.则公比q2，因为Sm11，所以11，又am1a1(2)m32，两式联立解得m5，a11.答案(1)A(2)C热点三等差(比)数列的判断与证明【例3】 (2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数.(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.(1)证明由题设，anan1Sn1，知an1an2Sn11，得：an1(an2an)an1.an10，an2an.(2)解由题设可求a21，a31，令2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列.【迁移探究1】 若把本例题的条件a11变为a12，求解问题(2).解由题设，a12，a1a2S11，可得a2，由(1)知a3a1，则a32.若an为等差数列，则2a2a1a3，则212(2)，解得5.此时a12，a2，a37，所以an，an1，anan1.Sn151，显然anan1与Sn1恒相等，所以存在5，使得an为等差数列.【迁移探究2】 在本例题(2)中是否存在，使得an为等比数列？并说明理由.解由题设，a11，a1a2S11，可得a21，由(1)知，a31.若an为等比数列，则aa1a3，即(1)21，解得0或3.当0时，由anan1Sn1，得anan11，又a11，所以a21，a31，an(1)n1.所以数列an是首项为1，公比为1的等比数列，当3时，由a11，a21312，a314.显然an2n1，此时anan12n12n22n1，Sn13132n4，显然anan1与Sn1不是恒相等，与已知条件矛盾，所以3.综上可知，存在实数0时，使得an为等比数列.探究提高1.本例题常见错误：(1)忽略an10，由an1(an2an)an1直接得出an2an.(2)由a2n1是等差数列，a2n是等差数列，直接得出数列an为等差数列.2.判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于任意n1，nN*，验证an1an为与正整数n无关的一常数.(2)中项公式法若2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；若aan1an1(nN*，n2)且an0，则an为等比数列.【训练3】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.解(1)设an的公比为q，由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)得Sn(2)n1，则Sn1(2)n11，Sn2(2)n21，所以Sn1Sn2(2)n11(2)n212(2)n2(2)n12Sn，Sn1，Sn，Sn2成等差数列.热点四等差数列与等比数列的综合问题【例4】 (2017贵阳质检)已知数列an是等比数列，并且a1，a21，a3是公差为3的等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设bna2n，记Sn为数列bn的前n项和，证明：Sn.(1)解设等比数列an的公比为q，因为a1，a21，a3是公差为3的等差数列，所以即解得a18，q.所以ana1qn1824n.(2)证明因为，所以数列bn是以b1a24为首项，为公比的等比数列.所以Snk)总成立，则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”；(2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列.证明(1)因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1，2，3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列”.(2)数列an既是“P(2)数列”，又是“P