高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件北师大版选修1-1.ppt

2 3 1双曲线及其标准方程 1 双曲线的定义 1 定义 在平面内到两个定点F1 F2距离之差的绝对值等于常数 大于0且小于 F1F2 的点的集合叫作双曲线 2 符号表示 MF1 MF2 2a 常数 0 2a F1F2 3 焦点 两个定点F1 F2 4 焦距 两焦点之间的距离 表示为 F1F2 名师点拨定义中为何强调 绝对值 和 0 F1F2 则动点的轨迹不存在 2 双曲线定义中应注意关键词 绝对值 若去掉定义中 绝对值 三个字 动点轨迹只能是双曲线的一支 平面内到两定点F1 F2的距离的差的绝对值为非零常数 即 MF1 MF2 2a 关键词 平面内 当2a F1F2 时 轨迹不存在 做一做1 已知两定点F1 3 0 F2 3 0 在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中 是双曲线的是 A PF1 PF2 5B PF1 PF2 6C PF1 PF2 7D PF1 PF2 0解析 A中 F1F2 6 PF1 PF2 5 F1F2 动点P的轨迹不存在 D中 PF1 PF2 0 即 PF1 PF2 根据线段垂直平分线的性质 动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 故选A 答案 A 2 双曲线的标准方程 特别提醒 1 标准方程的代数特征 方程右边是1 左边是关于x y的平方差 并且分母大小关系不确定 2 a b c三个量的关系 标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 这里b2 c2 a2 与椭圆中b2 a2 c2相区别 且椭圆中a b 0 而双曲线中 a b大小不确定 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件答案 A 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 平面内到两定点的距离的差等于常数 小于两定点间距离 的点的轨迹是双曲线 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析可先设出双曲线的标准方程 再构造关于a b的方程组 求得a b 从而求得双曲线的标准方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 双曲线标准方程的两种求法 1 定义法 根据双曲线的定义得到相应的a b c 再写出双曲线的标准方程 特别地 若已知双曲线上两点的坐标 则双曲线的标准方程可能有两个 把点的坐标代入 得到关于a b的两个关系式 由此求解 也可设双曲线方程为Ax2 By2 1 AB 0 把点的坐标代入求出A B的值 此种方法计算过程简单 也避免了分类讨论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 如图 在 ABC中 已知 AB 4 且三个内角A B C满足2sinA sinC 2sinB 建立适当的坐标系 求顶点C的轨迹方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟 1 求解与双曲线有关的点的轨迹问题 常见的方法有两种 列出等量关系 化简得到方程 寻找几何关系 由双曲线的定义 得出对应的方程 2 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意 双曲线的焦点所在的坐标轴 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知双曲线的方程是 点P在双曲线上 且到其中一个焦点F1的距离为10 点N是PF1的中点 求 ON 的大小 O为坐标原点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16 求点M到另一个焦点的距离 2 如图 若P是双曲线左支上的点 且 PF1 PF2 32 试求 F1PF2的面积 分析 1 双曲线的定义中 MF1 MF2 2a 6 2 利用双曲线的定义和 PF2 F1F2 32 可利用余弦定理求夹角 然后计算面积 探究一 探究二 探究三 思维辨析 由双曲线的定义得 MF1 MF2 2a 6 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16 假设点M到另一个焦点的距离等于x 则 16 x 6 解得x 10或x 22 故点M到另一个焦点的距离为10或22 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟 1 求双曲线上一点到某一焦点的距离时 若已知该点的横 纵坐标 则根据两点间距离公式可求结果 若已知该点到另一焦点的距离 则根据 PF1 PF2 2a求解 注意对所求结果进行必要的验证 负数应该舍去 且所求距离应该不小于c a 2 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时 要注意两点 定义中的条件 PF1 PF2 2a的应用 要利用余弦定理 勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算 在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用 如 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 若 F1PF2 90 求 F1PF2的面积 2 若 F1PF2 60 F1PF2的面积是多少 若 F1PF2 120 F1PF2的面积又是多少 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视隐含条件导致所求轨迹方程错误 典例 已知定点A 3 0 和定圆C x 3 2 y2 16 动圆和圆C相外切 并且过定点A 求动圆圆心M的轨迹方程 易错分析求解中易把动点的轨迹看成双曲线 忽视了双曲线定义中 距离的差的绝对值是常数 这一条件 动点轨迹实际上是双曲线的一支 解设M x y 设动圆与圆C的切点为B BC 4 则 MC MB BC MA MB 所以 MC MA BC 即 MC MA BC 4 AC 所以由双曲线的定义知 M点轨迹是以A C为焦点的双曲线的左支 且a 2 c 3 所以b2 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得在求解与双曲线有关的轨迹问题时 准确理解双曲线的定义 才能保证解题的正确性 当 PF1 PF2 2a0 即 PF1 PF2 2a 0 2a F1F2 时 P点的轨迹是双曲线 其中取正号时为双曲线的右支 取负号时为双曲线的左支 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练如图所示 已知定圆F1 x 5 2 y2 1 定圆F2 x 5 2 y2 42 动圆M与定圆F1 F2都外切 求动圆圆心M的轨迹方程 解圆F1 x 5 2 y2 1 圆心F1 5 0 半径r1 1 圆F2 x 5 2 y2 42 圆心F2 5 0 半径r2 4 设动圆M的半径为R 则有 MF1 R 1 MF2 R 4 MF2 MF1 3 10 F1F2 12345 解析 由双曲线的标准方程可知 a2 10 b2 2 于是有c2 a2 b2 12 则2c 4 答案 D 12345 2 已知双曲线标准方程中 a 5 c 7 则该双曲线的标准方程为 答案 C 12345 答案 1 2 12345