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第22讲 9. 极大理想 ( Maximal ideal ) 一、极大理想的概念(1) 定义3.9.1. 设是环的一个理想且，如果除了和以外，再也没有能包含的其他理想，那么称是的一个极大理想。 将上定义用数学符号表示为:设，。则是极大理想不存在使 欲判断理想是极大理想的一般有二步: 验证 (即 但 ) 一般当,证：。 设且 (2) 例.例1. 设素数,那么由生成的理想必是极大理想. 因为（不整除1）。 设,且,那么说明存在但，换句话说 不整除,由的性质 使. ,且 例2. 设有理数环,那么取,则主理想必不是极大理想.事实上 , 则 不是极大理想.例3. 设偶数环,而,可验证是的极大理想.事实上, 但 设.须 证.显然只需证明即可. 但 . 令 而. ,而,且 二、极大理想的主要定理.定义3.9.2如果环R只有平凡理想，称为单环。 引理1. 设,那么剩余类环为单环是的极大理想。(这里)证明: () 已知是的极大理想,须证只有平凡理想.设是的一个理想。 ，那么由8知 也是R的理想。又注意到,则 ,且,使 ，这说明 。但是极大理想,于是利用是满同态映射， 即 。 是个单环. 已知 是单环,(即只有平凡理想) 今设,且, 须证。自然同态: , 且由8定理3.由且, ( ) 而仅且 这说明中有非零元,但是单环. 使 由 的任意性 是极大理想.引理2. 设是非零有单位元的交换环。则为域为单环。证明: 若为域必为单环 显然需要证明是除环即可,也就是说:只要证明中每个元都可逆。 , 由生成的一个主理想,但是单环 又 为可换有单位元的环。 可逆, 由的任意性是除环即是域.定理3.9.3. 设为有单位元的交换环,而,那么为域I是的一个极大理想。证明: 为域为单环为的极大理想. 为的极大理想为单环(1) 又 为极大理想 (2) 可交换且可交换且单位元为 (3)由(1),(2),(3) 为域.三、素理想(1) 定义3.9.4. 设,若,由必有或.则称为的一个素理想.例5. 设是一个素数,则是的一个理想,那么, 是的素理想.注意: 结合例1与例5知当为素数,那么既是的极大理想也是的素理想.例6. 显然零理想是的素理想,
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