专题：带电粒子在有界磁场中的运动(公开课)

两类典型问题 1 带电粒子在有界匀强磁场中 只受洛伦兹力 做圆弧运动 2 带电粒子在磁场中运动时的临界问题 或多解问题 的讨论 概述 1 本类问题对知识考查全面 涉及到力学 电学 磁学等高中物理的主干知识 对学生的空间想象能力 分析综合能力 应用数学知识解决物理问题能力有较高的要求 是考查学生多项能力的极好的载体 因此成为历年高考的热点 2 从试题的难度上看 多属于中等难度或较难的计算题 原因有二 一是题目较长 常以科学技术的具体问题为背景 从实际问题中获取 处理信息 把实际问题转化成物理问题 二是涉及数学知识较多 特别是几何知识 3 常见的五种有界磁场 单边界磁场 双边界磁场 矩形磁场 圆形磁场 三角形磁场4 解题关键有三点 粒子圆轨迹的圆心O的确定 运动半径R的确定 运动周期T的确定 带电粒子在匀强磁场中的运动 由洛伦兹力提供向心力 轨道半径 运动周期 周期T与R和v无关仅由粒子种类 m q 决定 和磁感应强度B决定 解题的基本过程与方法 1找圆心 已知任意两点速度方向 作垂线可找到两条半径 其交点是圆心 已知一点速度方向和另外一点的位置 作速度的垂线得半径 连接两点并作中垂线 交点是圆心 O O 3定半径 几何法求半径公式求半径 4算时间 先算周期 再用圆心角算时间 2 注意 应以弧度制表示 2画圆弧 例 一正离子 电量为q 质量为m 垂直射入磁感应强度为B 宽度为d的匀强磁场中 穿出磁场时速度方向与其原来入射方向的夹角是30 1 离子的运动半径是多少 2 离子射入磁场时速度是多少 3 穿越磁场的时间又是多少 v 30 O B v 答案 双边界磁场 一定宽度的无限长磁场 附 电偏转与磁偏转的区别 注意 电偏转是类平抛运动磁偏转是匀速圆周运动 练一个质量为m电荷量为q的带电粒子 不计重力 从x轴上的P a 0 点以速度v 沿与x正方向成60 的方向射入第一象限内的匀强磁场中 并恰好垂直于y轴射出第一象限 求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标 O 解析 练 如图 虚线上方存在磁感应强度为B的磁场 一带正电的粒子质量m 电量q 若它以速度v沿与虚线成300 900 1500 1800角分别射入 1 请作出上述几种情况下粒子的轨迹2 观察入射速度 出射速度与虚线夹角间的关系3 求其在磁场中运动的时间 单边界磁场 入射角300时 入射角900时 入射角1500时 入射角1800时 对称性 有用规律一 记下 过入射点和出射点作一直线 入射速度与直线的夹角等于出射速度与直线的夹角 并且如果把两个速度移到共点时 关于直线轴对称 强调 本规律是在单边界磁场中总结出的 但是适用于任何类型的磁场 例如图所示 在y 0的区域内存在匀强磁场 磁场方向如图 磁感应强度为B 一带正电的粒子以速度v从O点射入磁场 入射方向在xoy平面内 与x轴正向的夹角为 若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L 求该粒子的比荷q m x y o p v v 入射速度与边界夹角 出射速度与边界夹角 从平面几何的角度看 是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题 带电粒子在圆形磁场中的运动 特殊情形 有用规律二在圆形磁场内 入射速度沿径向 出射速度也必沿径向 从平面几何的角度看 是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题 带电粒子在圆形磁场中的运动 一般情形 有用规律三 磁场圆心O和运动轨迹圆心O 都在入射点和出射点连线AB的中垂线上 或者说两圆心连线OO 与两个交点的连线AB垂直 例如图虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场 经过磁场区后 电子束运动的方向与原入射方向成 角 设电子质量为m 电荷量为e 不计电子之间的相互作用力及所受的重力 求 1 电子在磁场中运动轨迹的半径R 2 电子在磁场中运动的时间t 3 圆形磁场区域的半径r 解 1 2 由几何知识得 圆心角 3 由如图所示几何关系可知 所以 练 如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场 一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入这个磁场 结果 这些质子在该磁场中运动的时间有的较长 有的较短 其中运动时间较长的粒子 A 射入时的速度一定较大B 在该磁场中运动的路程一定较长C 在该磁场中偏转的角度一定较大D 从该磁场中飞出的速度一定较小 CD 练 某离子速度选择器的原理图如图 在半径为R 10cm的圆形筒内有B 1 10 4T的匀强磁场 方向平行于轴线 在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a b 现有一束比荷为q m 2 1011C kg的正离子 以不同角度 入射 其中入射角 30 且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v大小是 A 4 105m sB 2 105m sC 4 106m sD 2 106m s 解 作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于O 点 O 点即为轨迹圆的圆心 画出离子在磁场中的轨迹如图示 aO b 2 60 则r 2R 0 2m C 练 一磁场方向垂直于xOy平面 分布在以O为中心的圆形区域内 质量为m 电荷量为q的带电粒子 由原点O开始运动 初速为v 方向沿x正方向 粒子经过y轴上的P点 此时速度方向与y轴的夹角为30 P到O的距离为L 不计重力 求磁感强度B和磁场区域的半径R 基本思路 R r 解析 2 找出有关半径的几何关系 1 作出运动轨迹 L 3r 3 结合半径 周期公式解 我们学了什么 1 带电粒子进入有界磁场 运动轨迹为一段弧线 3 注意圆周运动中的对称性 1 粒子进入单边磁场时 入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角 并且两个速度移到共点时 具有轴对称性 2 在圆形磁场区域内 沿径向射入的粒子 必沿径向射出 2 解题的基本步骤为 找圆心 画轨迹 定半径 4 解题经验 运动轨迹的半径R往往跟线速度V联系在一起 进而跟磁感应强度B 质荷比q ml有关 运动轨迹对应的圆心角 往往跟运动时间t有关 总而言之 几何量用几何方法求 几何量与物理量有关 临界问题 1 电性不确定引起的分类讨论问题 2 入射点不确定引起的临界问题 3 出射点不确定引起的临界问题 4 入射速度方向确定 大小不确定 从而使得轨迹多样 并且出射点不确定 引起的临界问题 5 入射速度大小确定 方向不确定 从而引起的临界问题 例 如图 在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B 质量为m 电量大小为q的带电粒子 不计重力 在xOy平面里经原点O射入磁场中 初速度为v0 且与x轴成60 角 试分析计算 1 穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大 2 带电粒子在磁场中运动时间多长 如粒子带正电 则 如粒子带负电 则 一 电性不确定引起的分类讨论 60 120 例 如图 在PMN区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场 磁场方向垂直于纸面向里 有一束正离子流 不计重力 沿纸面垂直于磁场边界MN方向从A点垂直边界射入磁场 已知MA d PMN45 离子的质量为m 带电荷量为q 要使离子不从MP边射出 离子进入磁场的速度最大不能超过多少 二 速度方向确定 大小不确定引起的临界问题 O 例 如图 若电子的电量e 质量m 斜向上与边界成60 射入磁感应强度B 宽度d的磁场 若要求电子不从右边界穿出 则初速度v0应满足什么条件 斜向下与边界成60 射入时 初速度又应该满足什么条件 r rcos60 d r rcos60 d 例 如图 磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里 PQ为该磁场的右边界线 磁场中有一点O到PQ的距离为r 现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出 它们均做半径为r的匀速圆周运动 求带电粒子打在边界PQ上的范围 粒子的重力不计 O 三 速度大小确定 方向不确定引起的临界问题 总结 粒子以相同大小 不同方向的速度进入磁场之后的运动轨迹如何 它们的圆心位置有什么特点 当同种粒子的射入速度大小确定 而方向不确定时 所有轨迹圆是一样的 半径都为R 只是位置不同 所有轨迹圆绕入射点 向粒子运动方向旋转 轨迹分布在一个半径为2R的圆形区域内 所有轨迹圆的圆心在一个半径为R的圆上 练 如图 真空室内存在方向垂直纸面向里 大小B 0 6T的匀强磁场 内有与磁场方向平行的板ab 在距ab距离为l 16cm处 有一点状的放射源S向各个方向发射 粒子 粒子的速度都是v 3 0 106m s 已知 粒子的电荷与质量之比q m 5 0 107C kg 现只考虑在图纸平面中运动的 粒子 求ab上被 粒子打中的区域的长度 即 2R l R 故P1P2 20cm 解析 粒子带正电 沿逆时针方向做匀速圆周运动 轨道半径R为 例 如图 长为L的水平不带电极板间有垂直纸面向内的匀强磁场B 板间距离也为L 现有质量为m 电量为q的带正电粒子 不计重力 从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板射入磁场 欲使粒子不打在极板上 则入射速度v应满足什么条件 O 四 出射点不确定引起的临界问题 例如下图所示 两块长度均为5d的金属板相距d 平行放置 下板接地 两极间有垂直只面向里的匀强磁场 一束宽为d的电子束从两板左侧垂直磁场方向射入两极间 设电子的质量为m 电量为e 入射速度为v0 要使电子不会从两极间射出 求匀强磁场的磁感应强度B应满足的条件 5d v0 d 五 入射点不确定引起的临界问题 v0 思考 1 假设磁场是无界的 各电子的运动轨迹怎样 2 磁场较小时 轨迹半径较大 哪个电子最有可能从右侧飞出 半径相等的圆 所有运动轨迹的圆心在一条直线上 最上面的电子 3 当磁场很大 运动半径较小 哪个电子最有可能从左侧飞出 依然是最上面的电子 综上所述 不管B取什么值 在同一磁场中的电子的运动轨迹的半径都是一样的 只是运动轨迹的位置不同 而且只要最上面的电子不飞出 其他电子都不会飞出 B较大时 R较小 电子恰好从左侧飞出有 B较小时 R较大 电子恰好从右侧飞出 有 5d d 解题经验 1 临界问题 经常是运动轨迹圆与磁场边界相切时为临界状态 2 仔细审题 当电荷的正负不确定 或磁场的方向不确定时 会有两个解 3 注意磁偏转与电偏转的不同 电偏转是抛物线 一去不复返 但是磁偏转是圆 可以向前 也可以回头 特别是在矩形磁场中 既可以从左边飞出 也可以从右边飞出 也可以是前或后飞出 4 对于有多个粒子 或者相当于有多个粒子 如速度大小确定 方向不确定的题型 射入同一磁场时 有界磁场要先假设成无界磁场来研究 画多个完整的圆轨迹草图 这样会得到更多灵感寻找临界条件 O 模型1 速度方向确定 大小不确定 模型2 速度大小确定 方向不确定 三种重要的模型 放缩圆 转动圆 v0 模型3 速度大小 方向确定 入射点不确定 平移圆 极值问题 v O R d 速度v不变 欲使穿过磁场时间最短 须使 有最小值 则要求弦最短 180o 例一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示 磁场宽度为d 在垂直B的平面内的A点 有一个电量为 q 质量为m 速度为v的带电粒子进入磁场 请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短 已知mv Bq d 一 磁场中运动最短时间 v O 中垂线 与边界的夹角为 90 例一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示 磁场宽度为d 在垂直B的平面内的A点 有一个电量为 q 质量为m 速度为v的带电粒子进入磁场 请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短 已知mv Bq d 例 如图 半径为r 3 10 2m的圆形区域内有一匀强磁场B 0 2T 一带正电粒子以速度v0 106m s的从a点处射入磁场 该粒子荷质比为q m 108C kg 不计重力 若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角 其入射时粒子的方向应如何 以v0与ao的夹角表示 最大偏转角多大 R mv Bq 5 10 2m r b 说明 1 本题中 由于是两圆相交 两个交点的连线同时是两个圆的弦 2 轨道圆半径确定时 弦线越长 通过的弧越长 偏转角度也越大 R mv Bq 5 10 2m r 解析 b 得 37 sin r R 最大偏转角为2 74 例 如图 半径为r 3 10 2m的圆形区域内有一匀强磁场B 0 2T 一带正电粒子以速度v0 106m s的从a点处射入磁场 该粒子荷质比为q m 108C kg 不计重力 若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角 其入射时粒子的方向应如何 以v0与ao的夹角表示 最大偏转角多大 变式 如图所示 一带负电荷的质点 质量为m 带电量为q 从M板附近由静止开始被电场加速 又从N板的小孔a水平射出 垂直进入半径为R的圆形区域匀强磁场中 磁感应强度为B 入射速度方向与OP成45 角 要使质点在磁场中飞过的距离最大 则两板间的电势差U为多少 例 如图 带电质点质量为m 电量为q 以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域 为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出 可在适当的地方加一个垂直于xy平面 磁感应强度为B的匀强磁场 若此磁场仅分布在一个圆形区域内 试求这圆形磁场区域的最小半径 重力忽略不计 解 质点在磁场中圆周运动半径为r mv Bq 质点在磁场区域中的轨道是1 4圆周 如图中M N两点间的圆弧 在通过M N两点的不同的圆中 最小的一个是以MN连线为直径的圆周 圆形磁场区域的最小半径 二 最小磁场区域 例 如图 质量为m 带电量为 q的粒子以速度v从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域 磁场方向垂直纸面向外 粒子飞出磁场区域后 从b处穿过x轴 速度方向与x轴正方向的夹角为30 同时进入场强为E 方向沿与与x轴负方向成60 角斜向下的匀强电场中 通过了b点正下方的C点 不计重力 试求 1 圆形匀强磁场区域的最小面积 2 C点到b点的距离h 解 1 反向延长vb交y轴于O2点 作 bO2O的角平分线交x轴于O1 O1即为圆形轨道的圆心 半径为R OO1 mv qB 画出圆形轨迹交bO2于A点 如图虚线所示 最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆 如图示 Smin r2 OA 2r hsin30 vt 2 b到C受电场力作用 做类平抛运动 得t 2mv qE tan30 周期性和对称性应用 例 如图 质量为m 电量为q的正离子 从A点正对圆心O以某一速度射入半径为R的绝缘圆筒中 圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场 磁感应强度的大小为B 要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出 问发生碰撞的最少次数 并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t 设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失 不计粒子的重力 t m Bq 2次 解析 根据对称性可以看出粒子与筒壁碰撞时其速度方向一定是沿圆筒半径方向的 粒子与筒壁碰撞次数最少是两次 也可能出现3次 4次 5次 n次碰撞 例 如图 在半径为R的圆筒内有匀强磁场 质量为m 带电量为q的带电粒子在小孔A处以速度v向着圆心射入 问磁感应强度为多大 此粒子才能绕行一周后从原孔射出 粒子在磁场中的运动时间是多少 设相碰时电量和动能皆无损失 无论经过多少次碰撞 因粒子最终从原孔返回 故粒子在磁场中的各段轨迹圆弧对应的圆心角的余角总和一定是360 设粒子在磁场中的轨道半径为r 如图 把磁场圆周分为n等份 粒子经n 1次碰撞返回A 则有 解 n 2 两次碰撞间粒子运动时间 两次碰撞间轨迹圆圆心角 思考 上述解答是基于粒子在筒壁内绕筒壁一周经n次碰撞射出的情况 若粒子在筒壁内绕筒壁一周不能射出呢 将B代入后可得 解 1 设带电粒子在圆筒内绕筒壁k周 与筒壁经n次连续碰撞后仍能从A孔射出 则每连续相邻两次碰撞点所对应的圆心角为 满足 2 如图所示 AOC 而 有 所以带电粒子在磁场中运动的时间为 n 1 2k k 1 2 3 与k相对应的n的取值范围为n 2k 1的正整数 即得 又 r mv Bq 例 平行金属板M N间距离为d 其上有一内壁光滑的半径为R的绝缘圆筒与N板相切 切点处有一小孔S 圆筒内有垂直圆筒截面方向的匀强磁场 磁感应强度为B 电子与孔S及圆心O在同一直线上 M板内侧中点处有一质量为m 电荷量为e的静止电子 经过M N间电压为U的电场加速后射入圆筒 在圆筒壁上碰撞n次后 恰好沿原路返回到出发点 不考虑重力 设碰撞过程中无动能损失 求 电子到达小孔S时的速度大小 电子第一次到达S所需要的时间 电子第一次返回出发点所需的时间 解 根据 得加速后获得的速度 设电子从M到N所需时间为t1 则 得 电子在磁场做圆周运动的周期为 电子在圆筒内经过n次碰撞回到S 每段圆弧对应的圆心角 n次碰撞对应的总圆心角 在磁场内运动的时间为t2 n 1 2 3 例 如图 两个共轴的圆筒形金属电极 外电极接地 其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a b c和d 外筒的半径为r0 在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场B 在两极间加上电压 一质量为m 带电量为 q的粒子初速为零 从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发 经过一段时间的运动之后恰好又回到点S 则两电极之间的电压U应是多少 不计重力 整个装置在真空中 解析 半径R r0 练 在真空中 半径为R 0 2m的圆形区域内存在垂直纸面向外的B 1T的匀强磁场 此区域外围足够大空间有垂直纸面向里的大小也为B的匀强磁场 一带正电的粒子从边界上的P点沿半径向外 以速度v0 5 103m s进入外围磁场 已知粒子带电量q 5 10 6C 质量m 2 10 10kg 不计重力 试画出粒运动轨迹并求出粒子第一次回到P点所需时间 计算结果可以用 表示 解析 由洛伦兹力提供向心力 qv0B mv02 r r 0 2m R 轨迹如图所示 T 2 r Bq 8 10 5s 运动周期为t 2T 16 10 5s 例 如图 M N为两块带等量异种电荷的平行金属板 S1 S2为两正对小孔 板右侧有两宽度均为d的匀强磁场区域 磁感应强度大小均为B 方向如图 磁场区域右侧有一个荧光屏 取屏上与S1 S2共线的O点为原点 向上为正方向建立x轴 电子枪K发射出的热电子经S1进入两板间 电子的质量为m 电荷量为e 初速度可以忽略 1 求U在什么范围内 电子不能打到荧光屏上 2 试定性地画出能打到荧光屏上电子运动的轨迹 3 求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系 1 根据动能的定理得 eU0 mv02 2 欲使电子不能打到荧光屏上 应有 r mv0 eB d 2 电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨迹如图所示 解 由此即可解得 U B2d2e 2m 4 若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为r 穿过磁场区域打到荧光屏上的位置坐标为x 则由 2 中的轨迹图可得 注意到 r mv eB和eU mv2 2 所以 电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系为 例 如图 很长的平行边界面M N与N P间距分别为l1与l2 其间分别有磁感应强度为B1与B2的匀强磁场区 和 磁场方向均垂直纸面向里 己知B1 B2 一个带正电的粒子电量为q 质量为m 以大小为v0的速度垂直边界M与磁场方向射人MN间磁场区 试讨论粒子速度v0应满足什么条件 才可通过这两个磁场区 并从边界面P射出 不计粒于重力 R1 R1 R2 R2 2 R1 mv0 B1q R2 mv0 B2q l1 R1sin l2 R2 1 cos 解析 例 如图 空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场 左侧匀强电场的场强大小为E 方向水平向右 电场宽度为L 中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外 右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里 两个磁场区域的磁感应强度大小均为B 一个质量为m 电量为q 不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动 穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后 又回到O点 然后重复上述运动过程 求 1 中间磁场区域的宽度d 2 带电粒子的运动周期 O1 O3 O2 由以上两式 可得 2 在电场中运动时间 在中间磁场中运动时间 在右侧磁场中运动时间 则粒子的运动周期为 带电粒子在磁场中偏转 由牛顿第二定律得 解 1 如图所示 带电粒子在电场中加速 由动能定理得 粒子在两磁场区运动半径相同 三段圆弧的圆心组成的三角形 O1O2O3是等边三角形 其边长为2R 所以中间磁场区域的宽度为 讨论 如图 直角坐标系内 质量为m 带电量为 q的离子从原点O沿y轴正方向以初速度v0出发 重力不计 现要求在离子运动的空间内加上某种 场 每个象限最多一种场 后 该电荷能通过点P a b 试设计一种能实现这一目的的方案 要求 1 需说明运动性质并画出轨迹图 2 用必要的运算说明你设计的方案中相关物理量的