2019_2020学年高中数学第2章平面向量6平面向量数量积的坐标表示学案北师大版必修4.docx

6平面向量数量积的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.掌握数量积的坐标表达式(重点)2.能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系(重点)3.了解直线的方向向量的概念(难点)1.通过学习直线方向向量的概念及数量积的坐标表示，体会数学抽象素养2.通过求解两向量的夹角及判断两向量的垂直关系，提升数学运算素养.1平面向量数量积的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)abx1x2y1y2；(2)a2xy，即|a|；(3)设向量a与b的夹角为，则cos ；(4)abx1x2y1y20.思考1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？提示能ababx1x2y1y20.2直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量思考2：直线的方向向量唯一吗？提示不唯一因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个1(2019全国卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，则()A3B2C2D3C因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1,0)，所以21302，故选C.2已知a(2，1)，b(1，x)，且ab，则x_.2由题意知ab21(1)x0，得x2.3已知向量a(4，1)，b(x,3)，若|a|b|，则x_.2由|a|b|得，解得x2.4已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为_设a与b的夹角为，则cos ，又0，所以.平面向量数量积的坐标运算【例1】已知向量a和b同向，b(1,2)，ab10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.解(1)设ab(，2)(0)ab10，cos 010，解得2.a(2,4)(2)(ac)b(224(1)b0b0.进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.1(1)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A12B6C6 D12(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，2，则_.(1)D(2)(1)2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，所以102k0，解得k12.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0，0)，C(2,0)，因为2，所以F.所以(2,1)，(2,0)，所以(2,1)212.向量的夹角及垂直【例2】已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角解ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以ab0，即120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0，且cos 1，所以ab0，且a与b不反向由ab0，得120，故，由a与b共线得2，故a与b不可能反向所以的取值范围为.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos 0，且cos 1，所以ab0且a，b不同向由ab0，得，由a与b同向得2.所以的取值范围为(2，)1已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|进行计算2求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；(3)由公式cos ，计算cos 的值；(4)在0，内，由cos 的值确定角.2已知a(1,2)，b(2，4)，|c|.(1)求|a2b|；(2)若(ab)c，求向量a与c的夹角解(1)a2b(1,2)2(2，4)(3，6)，|a2b|3.(2)b(2，4)2(1,2)2a，aba，(ab)cac.设a与c的夹角为，则cos .0，即a与c的夹角为.向量的模探究问题1由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？提示设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，由向量长度的坐标表示可得|AB|.2求向量的坐标一般采用什么方法？提示一般采用设坐标、列方程的方法求解【例3】设平面向量a(1,1)，b(0,2)求a2b的坐标和模的大小思路探究利用向量的坐标运算求得a2b的坐标表示，然后求模解a(1,1)，b(0,2)，a2b(1,1)2(0,2)(1，3)，|a2b|.1将例3中的条件不变 ，若c3a(ab)b，试求|c|.解ab10122，c3(1,1)2(0,2)(3，1)，|c|.2将例3中的b(0,2)改为b(0，2)，其他条件不变，若kab与ab共线，试求k值解a(1,1)，b(0，2)，kabk(1,1)(0，2)(k，k2)ab(1,1)(0，2)(1，1)kab与ab共线，k2(k)0.k1.3将例3中的b(0,2)改为b(0，2)，其他条件不变，若kab的模等于，试求k值解kabk(1,1)(0，2)(k，k2)，kab的模等于.，化简得k22k30，解得k1或k3.即当k1或k3时满足条件求向量的模的两种基本策略(1)字母表示F的运算利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示F的运算,若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，,于是有|a|.1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.应用该条件要注意：由ab可得x1x2y1y20；反过来，由x1x2y1y20可得ab.2向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角()(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.()(3)两向量a与b的夹角公式cos 的使用范围是a0且b0.()答案(1)(2)(3)2已知a(，1)，b(1，)，那么a，b的夹角()A30B60C120D150Dcos ，又因为0，180，所以150.3已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A1 B.C2D4C(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，n.|a|2.4已知