高中数学 第2章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 第1课时 距离和高度问题同步课件 北师大版必修5.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修5 解三角形 第二章 3解三角形的实际应用举例 第二章 第1课时距离和高度问题 实际问题中的名词 术语1 铅直平面 与 垂直的平面 2 基线 在测量上 我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线 一般来说 基线越 测量的精确度越高 3 测量底部不可到达的建筑物的高度问题 由于底部不可到达 这类问题不能直接用解三角形的方法解决 但常用 和 计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离 然后转化为解直角三角形的问题 海平面 长 正弦定理 余弦定理 4 方位角 从指正北方向 时针转到目标方向的水平角 如图 1 所示 顺 5 方向角 相对于某一正方向 东 西 南 北 的水平角 北偏东 即由指北方向 旋转 到达目标方向 如图 2 北偏西 即是由指北方向 旋转 到达目标方向 顺时针 逆时针 6 仰角与俯角 目标方向线 视线 与水平线的夹角中 当目标 视线 在水平线 时 称为仰角 在水平线 时 称为俯角 如图 上方 下方 2 轮船a和轮船b在中午12时同时离开海港o 两船航行方向的夹角为120 两船的航行速度分别为25nmile h 15nmile h 则下午14时两船之间的距离是 a 50nmileb 70nmilec 90nmiled 110nmile 答案 b 3 如图所示 为了测量隧道口ab的长度 给定下列四组数据 测量时应当用数据 a a bb ac a b d b 答案 c 解析 根据实际情况 都是不易测量的数据 而a b可以测得 角 也可以测得 根据余弦定理ab2 a2 b2 2abcos 能直接求出ab的长 故选c 4 从a处望b处的仰角为 从b处望a处的俯角为 则 与 的关系为 a b c d 90 答案 b 解析 由仰角 俯角的定义知 与 互为内错角 所以 5 在相距2千米的a b两点处测量目标点c 若 cab 75 cba 60 则a c两点之间的距离为 千米 某人在塔ab的正东c处沿着南偏西60 的方向前进40m后到达d处 望见塔在东北方向 若沿途测得塔的最大仰角为30 求塔高 分析 从c到d沿途测塔的仰角 只有测试点到b的距离最小时 仰角才最大 即当be dc时 aeb 30 对于本题可先求出bd或bc 再求出be 即可求得ab 测量底部不可到达的建筑物的高度问题 方法总结 在测量高度时 要理解仰角和俯角的概念 区别在于视线在水平线的上方还是下方 一般步骤是 根据已知条件画出示意图 分析与问题有关的三角形 运用正 余弦定理 有序地解相关的三角形 逐步求解 把解出答案还原到实际问题中 2014 新课标 文 16 如图 为测量山高mn 选择a和另一座山的山顶c为测量观测点 从a点测得m点的仰角 man 60 c点的仰角 cab 45 以及 mac 75 从c点测得 mca 60 已知山高bc 100m 则山高mn m 答案 150m 测量距离问题 方法总结 1 求解三角形中的基本元素 应由确定三角形的条件个数 选择合适的三角形求解 2 在测量上 我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线 如本例的cd 在测量过程中 要根据实际需要选取合适的基线长度 使测量具有较高的精确度 一般来说 基线越长 测量的精确度越高 解三角形时 通常会遇到两种情况 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 此时可直接利用正弦定理或余弦定理 已知量与未知量涉及两个或几个三角形 这时需要选择条件足够的三角形优先研究 再逐步在其余的三角形中求出问题的解 如图所示 货轮在海上以40km h的速度沿着方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 为140 的方向航行 为了确定船位 船在b点观测灯塔a的方位角为110 航行半小时后船到达c点 观测灯塔a的方位角是65 问货轮到达c点时与灯塔a的距离是多少 分析 根据所给图形可以看出 在 abc中 已知bc是半小时路程 只要根据所给的方位角数据 求出 abc及a的大小 由正弦定理可得出ac的长 综合应用问题 分析 甲 乙两船航行时间相同 要求得乙船的速度 只需求得乙船航行的距离b1b2即可 连结a1b2 转化为在 a1b1b2中已知两边及夹角求对边的问题 方法总结 仔细观察图形 充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件 并通过添加适当的辅助线将问题纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键 解三角形应用题常见的两种情况 1 测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题 一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题 从而得到运用正弦定理去解决的方法 2 测量两个不可到达的点之间的距离问题 一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题 然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题 然后运用正弦定理解决 解三角形应用题要注意两点 1 读懂题意 理解问题的实际背景 明确已知和所求 准确理解应用题中的有关术语 名称 理清量与量之间的关系 2 将三角形的解还原