高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.5 曲线与方程课件 理.ppt

第五节曲线与方程 知识梳理 1 曲线与方程的定义一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立如下的对应关系 这个方程 曲线上 那么 这个方程叫做 的方程 这条曲线叫做 的曲线 曲线 方程 2 求轨迹方程的基本步骤 任意 x y 所求方程 特别提醒 1 曲线的交点与方程组解的关系 1 两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解 即两个曲线方程组成的方程组的实数解 2 方程组有几组解 两条曲线就有几个交点 方程组无解 两条曲线就没有交点 2 求曲线方程步骤的两点说明 1 题中涉及点的坐标或方程时 事实上已存在了坐标系 解题时只需从第二步设点开始即可 2 对方程化简时只要前后方程解集相同 验证一步可以省略 必要时可说明x y的取值范围 小题快练 链接教材练一练1 选修2 1p37练习t2改编 已知方程ax2 by2 2的曲线经过点和b 1 1 则曲线方程为 解析 由题意得解得所以曲线方程为即答案 2 选修2 1p37习题2 1a组t2改编 和点o 0 0 a c 0 距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为 解析 设点的坐标为 x y 由题意知 2 2 c 即x2 y2 x c 2 y2 c 即2x2 2y2 2cx c2 c 0 答案 2x2 2y2 2cx c2 c 0 感悟考题试一试3 2016 宜昌模拟 方程x 所表示的曲线是 a 双曲线的一部分b 椭圆的一部分c 圆的一部分d 直线的一部分 解析 选b x 两边平方 可变为x2 4y2 1 x 0 表示的曲线为椭圆的一部分 4 2016 天水模拟 点p是以f1 f2为焦点的椭圆上一点 过焦点作 f1pf2外角平分线的垂线 垂足为m 则点m的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 解析 选a 如图 延长f2m交f1p的延长线于点n 因为 pf2 pn 所以 f1n 2a 连接om 则在 nf1f2中 om为中位线 则 om f1n a 所以点m的轨迹是圆 5 2016 大连模拟 在 abc中 bc 4 a点为动点 满足sinc sinb 2sina 若以bc为x轴 bc的中点为原点 建立平面直角坐标系 则a点的轨迹方程为 解析 由正弦定理得 ab ac 2 bc 即 ab ac 8 4 故a点的轨迹为椭圆 则椭圆方程为 1 又因为a b c三点不能共线 所以a点的轨迹方程为 1 y 0 答案 1 y 0 考向一定义法求点的轨迹方程 典例1 1 2016 北京模拟 abc的顶点a 5 0 b 5 0 abc的内切圆圆心在直线x 3上 则顶点c的轨迹方程是 2 已知圆m x 1 2 y2 1 圆n x 1 2 y2 9 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 则圆心p的轨迹方程为 解题导引 1 根据题设条件 寻找动点c与两定点a b距离的差满足的等量关系 ca cb 6 由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分 再求其方程 2 可依据两圆的位置关系 得出圆心距与两圆半径的和 差的绝对值之间的关系 进而得出轨迹方程 规范解答 1 如图 ad ae 8 bf be 2 cd cf 所以 ca cb 8 2 6 根据双曲线的定义 所求轨迹是以a b为焦点 实轴长为6的双曲线的右支 方程为 1 x 3 答案 1 x 3 2 因为圆p与圆m外切且与圆n内切 pm pn r r1 r2 r r1 r2 4 由椭圆的定义可知 曲线c是以m n为左右焦点 长半轴长为2 短半轴长为的椭圆 左顶点除外 其方程为 1 x 2 答案 1 x 2 母题变式 1 若本例 2 中的条件 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 改为 动圆p与圆m 圆n都外切 则圆心p的轨迹方程为 解析 因为圆m与圆n相内切 设其切点为a 又因为动圆p与圆m 圆n都外切 所以动圆p的圆心在mn的连线上 且经过点a 因此动点p的轨迹是射线am的反向延长线 不含切点a 其方程为 y 0 x 2 答案 y 0 x 2 2 若本例 2 中的条件 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 改为 动圆p与圆m 圆n都内切 则圆心p的轨迹方程为 解析 因为圆m与圆n相内切 设其切点为a 又因为动圆p与圆m 圆n都内切 所以动圆p的圆心在mn的连线上 且在点n的右侧 因此动点p的轨迹是射线na的反向延长线 不含圆心n 其方程为 y 0 x 1 答案 y 0 x 1 易错警示 解答本例 1 会出现以下错误 忽视 abc的内切圆与边ab的切点为 3 0 这一隐含条件 从而造成找不到解题的突破口 再者是忽视顶点c始终在x 3的右侧 从而得出是整个双曲线而错 规律方法 定义法求轨迹方程的适用条件及关键 1 适用条件动点与定点 定直线之间的某些关系满足直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 2 关键定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的常见曲线的几何特征 变式训练 2016 长春模拟 设圆 x 1 2 y2 25的圆心为c a 1 0 是圆内一定点 q为圆周上任一点 线段aq的垂直平分线与cq的连线交于点m 则m的轨迹方程为 解析 选d 因为m为aq垂直平分线上一点 则 am mq 所以 mc ma mc mq cq 5 故m的轨迹为椭圆 所以a c 1 则b2 a2 c2 所以椭圆的方程为 1 加固训练 1 若动点p到定点f 1 1 的距离与到直线l x 1 0的距离相等 则动点p的轨迹是 a 椭圆b 双曲线c 抛物线d 直线 解析 选d 因为定点f 1 1 在直线l x 1 0上 所以轨迹为过f 1 1 与直线l垂直的一条直线 2 2016 太原模拟 在 abc中 4 abc的内切圆切bc于点d 且若以bc的中点为原点 中垂线为y轴建立坐标系 则顶点a的轨迹方程为 解析 依题意 设点e f分别为ab ac边上的切点 则 be bd cd cf ae af 所以 ab ac 所以点a的轨迹为以b c为焦点的双曲线的右支 y 0 且a c 2 所以b 所以顶点a的轨迹方程为答案 考向二相关点 代入 法 参数法求轨迹方程 典例2 1 p是椭圆 1上的任意一点 f1 f2是它的两个焦点 o为坐标原点 则动点q的轨迹方程是 2 设a1 a2是椭圆 1长轴的两个端点 p1 p2是垂直于a1a2的弦的端点 则直线a1p1与a2p2的交点m的轨迹方程是 解题导引 1 先设q点的坐标 再依据已知条件 用点q的坐标来表示点p 利用点p在椭圆上即可得出轨迹方程 2 注意到点m既在直线a1p1上又在直线a2p2上 消去两直线方程中的参数即可得出点m的轨迹方程 规范解答 1 由又设q x y 则 即p点坐标为又p在椭圆上 则有 1 即 1 答案 1 2 由已知 a1 3 0 a2 3 0 设p1 x1 y1 则p2 x1 y1 交点m x y 则由a1 p1 m三点共线 得又a2 p2 m三点共线 得 得又 1 即从而即 1 答案 1 规律方法 1 相关点 代入 法求轨迹方程的适用条件两动点间存在关联或相关关系 且其中的一动点存在确定的运动规律 2 参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式 也没有明显的相关点 但却较易发现 或经过分析可发现 这个动点的运动与某一个量或某两个变量 角 斜率 比值 截距等 有关 变式训练 已知点p是直线2x y 3 0上的一个动点 定点m 1 2 q是线段pm延长线上的一点 且 pm mq 则q点的轨迹方程是 a 2x y 1 0b 2x y 5 0c 2x y 1 0d 2x y 5 0 解析 选d 设q x y 则可得p 2 x 4 y 代入2x y 3 0 得2x y 5 0 加固训练 1 在平面直角坐标系中 o为坐标原点 a 1 0 b 2 2 若点c满足其中t r 则点c的轨迹方程是 解析 设c x y 则所以消去参数t得点c的轨迹方程为y 2x 2 答案 y 2x 2 2 已知实数m n满足m2 n2 1 求p m n m n 的轨迹方程 解析 令得又因为m2 n2 1 得x2 y2 2 考向三直接法求轨迹方程 考情快递 考题例析 命题方向1 已知动点满足的关系式求轨迹方程 或判断轨迹 典例3 2016 成都模拟 动点p与两定点a a 0 b a 0 连线的斜率的乘积为k 试求点p的轨迹方程 并讨论轨迹是什么曲线 解题导引 可依据连线的斜率乘积为k 直接得出点p的轨迹方程 通过分类讨论得出轨迹曲线 规范解答 设点p x y 则由题意得 k 即kx2 y2 ka2 所以点p的轨迹方程为kx2 y2 ka2 x a 1 当k 0时 式即y 0 点p的轨迹是直线ab 除去a b两点 2 当k 0时 式即 1 若k 0 点p的轨迹是焦点在x轴上的双曲线 除去a b两点 若k 0 式可化为 1 当 1 k 0时 点p的轨迹是焦点在x轴上的椭圆 除去a b两点 当k 1时 式即x2 y2 a2 点p的轨迹是以原点为圆心 a 为半径的圆 除去a b两点 当k 1时 点p的轨迹是焦点在y轴上的椭圆 除去a b两点 易错警示 解答本例会出现以下错误在判断含参数的方程所表示的曲线类型时 仅仅根据方程的外表草率地作出判断 由于已知条件中 直线pa pb的斜率存在 因此轨迹曲线应除去a b两点 命题方向2 无明确等量关系求轨迹方程 典例4 设动圆m与y轴相切且与圆c x2 y2 2x 0相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 a y2 4xb y2 4xc y2 4x或y 0 x 0 d y2 4x或y 0 解题导引 可依据动圆m与y轴相切且与圆c相外切得出等式 进而得出圆心的轨迹方程 规范解答 选c 设动圆圆心m x y 半径为r 根据已知条件得 r x mc 1即 x x 0时 x 1 2 x 1 2 y2 即y2 4x x 0时 x 1 2 x 1 2 y2 即y 0 综合 得 圆心m的轨迹方程为y2 4x或y 0 x 0 技法感悟 1 由动点满足的关系式求轨迹方程的步骤 1 设动点的坐标 2 将已知关系坐标化 3 化简并注明范围 2 无明确等量关系求轨迹方程的关键关键是在理解题意的基础上找到与动点相关的代数或几何等量关系 题组通关 1 2016 南宁模拟 动点p到直线x 1的距离与它到点a 4 0 的距离之比为2 则p点的轨迹是 a 中心在原点的椭圆b 中心在 5 0 的椭圆c 中心在原点的双曲线d 中心在 5 0 的双曲线 解析 选b 设p x y 根据题意 有化简可得 1 是中心在 5 0 的椭圆 2 2016 兰州模拟 设点a为圆 x 1 2 y2 1上的动点 pa是圆的切线 且 pa 1 则p点的轨迹方程为 a y2 2xb x 1 2 y2 4c y2 2xd x 1 2 y2 2 解析 选d 如图 设p x y 圆心为m 1 0 连接ma pm 则ma pa 且 ma 1 又因为 pa 1 所以 pm 即 pm 2 2 所以 x 1 2 y2 2 3 2016 咸阳模拟 已知两定点a 1 1 b