2013NG3FX004立体几何(基础)教师.doc

2013暑期新高三数学强化专用讲义 内部资源，妥善保存！编码：2013NG3FX004立体几何（基础）基础知识：基本数量：在正四面体中：设棱长为，则正四面体中的一些数量关系：全面积； 体积；对棱间的距离； 相邻面所成二面角；（不要求）外接球半径； 内切球半径；正四面体内任一点到各面距离之和为定值CBAA在立方体中：设正方体的棱长为，则体对角线长为， 全面积为， 体积，内切球半径为，外接球半径为，与十二条棱均相切的球半径为，则，且还有三棱柱、棱锥的体积计算公式（课本中有的）考前需要记忆一下，2013考到了位置关系证明（主要方法）：（1）线面平行思考途径 I转化为直线与平面无公共点；II转化为线线平行；III转化为面面平行支持定理 ； ； 配图助记abaaabbaa（2）线线平行：思考途径 I转化为判定共面二直线无交点； II转化为二直线同与第三条直线平行；III转化为线面平行；IV转化为线面垂直；V转化为面面平行支持定理；配图助记ababa（3）面面平行：思考途径 I转化为判定二平面无公共点；II转化为线面平行；III转化为线面垂直支持定理 ；配图助记ababObaabag（4）线线垂直：思考途径 I转化为相交垂直；II转化为线面垂直；III转化为线与另一线的射影垂直；IV转化为线与形成射影的斜线垂直支持定理 ；所成角为；（三垂线及逆定理）；说明：三垂线定理及其逆定理现在高中阶段（江苏省）已不要求掌握，高考解答题不能直接使用结论，须先证明线面垂直再推导线线垂直配图助记aabPAOa （5）线面垂直：思考途径 I转化为该直线与平面内任一直线垂直；II转化为该直线与平面内相交二直线垂直；III转化为该直线与平面的一条垂线平行；IV转化为该直线垂直于另一个平行平面；V转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 支持定理 ； ； 配图助记albaOablabaaaba（6）面面垂直：思考途径 I转化为判断二面角是直二面角；II转化为线面垂直支持定理 二面角900；配图助记aabbaa求解空间角、距离和体积：（一）求角：（步骤找或作平面角；求角）（1）异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形；补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系（理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角，仅附加题使用）（2）直线与平面所成的角：直接法（利用线面角定义）；先求斜线上的点到平面距离，与斜线段长度作比，得（理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角，仅附加题使用）（3）二面角的求法：定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；（江苏省不要求掌握）射影法：利用面积射影公式：，其中为平面角的大小； 【注】：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；（理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角，仅附加题使用）（二）求距离：（步骤找或作垂线段；求距离）（1）两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；（3）点到平面的距离：垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；等体积法；（理科还可用向量法：，仅附加题使用）（4）球面距离（步骤）： 求线段的长；求球心角的弧度数；求劣弧的长（三）求体积常规方法：直接法（公式法）、分割法、补形法、等积法（位置转换）、比例法（性质转换）等（等体积法的作用：可求出该体不易求出的高，这样就简化了对立体几何图形的处理）重要性质：（1）在三棱椎中，设顶点在底面的射影为，即平面正三棱椎中，则有，在底面的射影是的中心若，则为的垂心若，则为的外心若，垂足分别为、且则点是的内心；（2）若，则在面上的射影是的角平分线；若，垂足分别、且则点在平面上的射影在平分线记忆思维导图：案例分析：例1如图，已知正三棱柱的所有棱长都为，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离解：（1）略证；（2）略证；（3），利用等积法，求点到面的距离例2如图，已知正三棱柱的所有棱长都为，为的中点，为的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求三棱锥的体积解：（1）略证；（2）；（3）ABCDD1C1B1A1例3如图，在六面体中，求证：（1）；（2）证明：（1）取线段的中点，连结、，因为，所以， 又，平面，所以平面 而平面，所以（2）因为， 平面，平面，所以平面又平面，平面平面， 所以同理得， 所以例4在直三棱柱中，是的中点，是上一点，且（1）求证： 平面；（2）求三棱锥的体积；（3）试在上找一点，使得平面解：（1）证明：为中点，又直三棱柱中：底面底面，平面，平面，在矩形中：，即，平面；（2）解：平面，=； （3）当时，平面证明：连，设，连，为矩形，为中点，为中点，平面，平面，平面 例5如图，已知空间四边形中，是的中点求证：（1）平面；（2）平面平面；（3）若为的重心，试在线段上确定一点，使得平面解（1）同理，又 平面 （2）由（1）有平面，又平面， 平面平面（3）连接并延长交于，连接，则，在上取点使得，则，易知平面例6如图，分别是直角三角形边和的中点，沿将三角形折成如图所示的锐二面角，若为线段中点ABCEF图C图求证：（1）直线平面；（2）平面平面解（1）取中点，连接，BCEFMN则，所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以直线平面 （2）因为，分别和的中点，所以，所以 同理，由（1）知，所以又因为, 所以，又因为，所以平面平面 ABB1CC1A1MN例7如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，分别是，的中点（1）证明：；（2）判断直线和平面的位置关系，并加以证明 证明：（1）因为平面，又平面，所以（2分）由条件，即，且， DABB1CC1A1MN所以平面（5分）又平面，所以 （2）平面证明如下：设的中点为，连接，（9分）因为，分别是，的中点，所以（10分）又=，所以所以四边形是平行四边形所以 因为平面，平面，所以平面DCPAB例8在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是梯形，ADBC，ABC=90，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD（1）求证：PA平面ABCD；（2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由证明：（1）因为ABC=90，ADBC，所以ADAB.而平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD平面PAB, 所以ADPA. 同理可得ABPA. 由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,所以PA平面ABCD. 解：（2）（方法一）不平行. 证明：假定直线l平面ABCD,由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以CD. 同理可得lAB, 所以ABCD. 这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,故假设错误，所以直