课程设计-举行一场山地自行车赛.doc

赛车车道路况分析问题小组成员： 姓名1：学号：专业： 姓名2：学号：专业： 姓名3：学号：专业： 2013 年6月3日目录一.实验问题3二.问题的分析5三.建模过程51）问题一51.模型建立62.模型求解72）问题二81.模型建立82.模型求解83）问题三101.模型建立102.模型求解11四.合理建议14五.实验心得体会15 一：实验题目现要举行一场山地自行车赛，为了了解环行赛道的路况，现对一选手比赛情况进行监测，该选手从A地出发向东到B，再经C、D回到A地（如下图）。现从选手出发开始计时，每隔15min（分）观测其位置，所得相应各点坐标如下表（假设其体力是均衡分配的）： 由AB各点的位置坐标（单位：km）横坐标x0.3 4.56 6.45 9.71 13.17 16.23 18.36 20.53 23.15 26.39纵坐标y6.56 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55 9.86 5.28 3.87 横坐标x28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5纵坐标y3.04 2.88 3.68 2.38 2.06 2.58 2.16 1.45 6 由DCB各点的位置坐标（单位：km）横坐标x1.8 4.90 6.51 9.73 13.18 16.20 18.92 20.50 23.23 25.56纵坐标y19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38 30.00 19.68 14.56 18.86横坐标x28.31 29.45 30.00 30.92 31.67 33.31 34.23 35.81 37.5纵坐标y18.55 22.66 18.28 15.06 13.42 11.86 7.68 9.45 6假设：1. 车道几乎是在平原上，但有三种路况（根据平均速度v(km/h)大致区分）：平整沙土路（v30）、坑洼碎石路（10v30）、松软泥泞路（v10）；2. 车道是一条连续的可以用光滑曲线来近似的闭合路线；3选手的速度是连续变化的.求解：1. 模拟比赛车道的曲线和选手的速度曲线；2估计车道的长度和所围区域的面积；3分析车道上相关路段的路面状况（在车道上用不同颜色标记出来）；二：问题分析 模拟比赛车道的曲线：因为赛道散点分布不规则，我们需要用光滑曲线来近似模拟赛道。由于数据点较多，为了避免龙格现象，应采用三次样条插值法来对曲线进行模拟（spline命令）。全程曲线为环路，我们需要对上下两部分分别模拟，设模拟出的曲线为P。 1.用样条插值法模拟出比赛车道曲线后，根据曲线分别计算出原数据中每两点（）间的路程，即求线积分由于每两点间时间间隔相同且已知（15min），故可求出每段路程的平均速度易知即为的积分中值将此速度近似作为两点间中点时刻的速度，然后再次采用样条插值法，模拟出全过程的图像。而根据求出的与之间的关系，再次采用样条插值法，即可模拟出全过程的图像。 2. 把A到B点的曲线分成若干小段： 赛道的路程L：取dL=，对模拟出的整条曲线求线积分 所围区域的面积：用上下部分曲线的差值对求定积分3. 由赛道曲线可求出赛道上任一点到点的路程 同时图像也可以求出赛道上任一点到点的路程 因此，我们可以通过来将曲线建立联系，得到一个新的函数。从而对赛道曲线上任一点都有一个与之对应，根据已知路况：平整沙土路（）、坑洼碎石路（）、松软泥泞路（），我们便可得知点处的路况，进而对整个赛道进行标记颜色。三：建立模型求解1. 模拟比赛车道的曲线和选手的速度曲线；根据图可知直接求解出y=f(x)比较困难，故可采用参数函数的形式。这里使用了插值法以及多项式拟合法。（1）多项式拟合：程序：x=0.3,4.56,6.45,9.71,13.17,16.23,18.36,20.53,23.15,26.49,28.23,29.1,30.65,30.92,31.67,33.03,34.35,35.01,37.5;y=6.56,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6;a,s=polyfit(x,y,9);xx=0:0.001:38.1;yy=polyval(a,xx);plot(x,y,o:m,xx,yy,LineWidth,2)hold on;x=0.3,1.8,4.90,6.51,9.73,13.18,16.20,18.92,20.50,23.23,25.56,28.31,29.45,30.00,30.92,31.67,33.31,34.23,35.81,37.5;y=6.56,19.89,24.52,34.82,40.54,37.67,41.38,30.00,19.68,14.56,18.86,18.55,22.66,18.28,15.06,13.42,11.86,7.68,9.45,6;a,s=polyfit(x,y,11);xx=0:0.001:38.1;yy=polyval(a,xx);plot(x,y,o:m,xx,yy,LineWidth,2)图象：（2）插值法：程序：x=0.3,4.56,6.45,9.71,13.17,16.23,18.36,20.53,23.15,26.49,28.23,29.1,30.65,30.92,31.67,33.03,34.35,35.01,37.5,35.81,34.23,33.31,31.67,30.92,29.65,29.8,28.31,26.56,23.23,20.50,18.32,16.20,13.18,9.73,6.51,4.90,0.3,0.3;y=6.56,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6,9.45,7.68,11.86,12.42,14.06,17.28,20.66,17.55,19.86,14.56,18.68,35.24,42.38,38.67,41.54,35.82,24.52,19.89,6.56;t=0:0.25:9.25;tt=0:0.01:9.25;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(x,y,-ms,xx,yy,k,LineWidth,1,MarkerEdgeColor,k,MarkerFaceColor,g)图像：由以上两种方法的对比可以看出，插值法的效果明显好于多项式拟合。2 估计车道的长度和所围区域的面积； 速度曲线，赛道长度。 根据相邻两点求出直线斜率，及该段内的平均速度，利用自动插值可求出速度变化曲线。x=0,0,0.2,4.96,6.55,9.71,13.17,16.23,18.36,20.53,23.15,26.49,28.23,29.1,30.65,30.92,31.67,33.03,34.35,35.01,37.5,35.81,34.23,33.31,31.67,30.92,29.65,29.8,28.31,26.56,23.23,20.50,18.32,16.20,13.18,9.73,6.51,4.90,1.8,0.2;y=0,0,6.66,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6,9.45,7.68,11.86,12.42,14.06,17.28,20.66,17.55,19.86,14.56,18.68,35.24,42.38,38.67,41.54,35.82,24.52,19.89,6.66;dx=diff(x)./0.25;dy=diff(y)./0.25;v=(dx.2+dy.2).(1/2);t=0:0.25:9.5;tt=0:0.01:9.75;vv=interp1(t,v,tt,cubic);plot(t,v,*,tt,vv,r)L=0;for i=1:975 L=L+vv(i)*0.01;endL所以，L180.4573.所围面积x1=0.2,4.96,6.55,9.71,13.17,16.23,18.36,20.53,23.15,26.49,28.23,29.1,30.65,30.92,31.67,33.03,34.35,35.01, 37.5;x2=0.2,4.90,6.51,9.73,13.18,16.20,18.32,20.50,23.23,26.56,28.31,29.8,29.65,30.92,31.67,33.31,34.23,35.81, 37.5;y1=6.66,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6;y2=19.89,24.52,35.82,41.54,38.67,42.38,35.24,18.68,14.56,19.86,17.55,20.66,17.28,14.06,12.42,11.86,7.68, 9.45,6;xx=0.2:0.1:37.5;yy1=interp1(x1,y1,xx,cubic);yy2=interp1(x2,y2,xx,cubic);plot(xx,yy1,r,xx,yy2,b)s1=trapz(xx,yy1);s2=trapz(xx,yy2);s=s2-s1所以，S750.20023 分析车道上相关路段的路面状况（在车道上用不同颜色标记出来）； 方法一clear;clc;x1=0.30,4.56,6.45,9.71,13.17,16.23,18.36,20.53,23.15,26.49,28.23,29.10,30.65,30.92,31.67,33.03,34.35,35.01,37.50;y1=6.56,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6.00;x2=0.20,1.80,4.90,6.51,9.73,13.18,16.20,18.92,20.50,23.23,25.56,28.31,29.45,30.00,30.92,31.67,33.31,34.23,35.81,37.50;y2=6.66,19.89,24.52,34.82,40.54,37.67,41.38,30.00,19.68,14.56,18.86,18.55,22.66,18.28,15.06,13.42,11.86,7.68,9.45,6.00;axis(-5 40 -5 45);grid;for i=1:length(x1)-1 l=0; t1=x1(i):0.01:x1(i+1); d1=spline(x1,y1,t1);for ii=1:length(d1)-1 l=l+sqrt(0.01)2+(d1(ii+1)-d1(ii)2);endv1(i)=l*4;if v1(i)30 hold on; plot(t1,d1,m,linewidth,4);else hold on; plot(t1,d1,r,linewidth,5);endend for j=1:length(x2)-1 ll=0; t2=x2(j):0.01:x2(j+1); d2=spline(x2,y2,t2);for jj=1:length(d2)-1 ll=ll+sqrt(0.01)2+(d2(jj+1)-d2(jj)2);endv2(j)=ll*4;if v2(j)30 hold on; plot(t2,d2,g,linewidth,3);else hold on; plot(t2,d2,r,linewidth,4);endend 图象如下： 可以看出，这个程序比较复杂。于是，我们又用了另外一种方法，程序如下：方法二clear;clc;x=0.3,4.56,6.45,9.71,13.17,16.23,18.36,20.53,23.15,26.49,28.23,29.1,30.65,30.92,31.67,33.03,34.35,35.01,37.5,35.81,34.23,33.31,31.67,30.92,29.65,29.8,28.31,26.56,23.23,20.50,18.32,16.20,13.18,9.73,6.51,4.90,0.3,0.3;y=6.56,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6,9.45,7.68,11.86,12.42,14.06,17.28,20.66,17.55,19.86,14.56,18.68,35.24,42.38,38.67,41.54,35.82,24.52,19.89,6.56;t=0:0.25:9.25;tt=0:0.01:9.25;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt); dx=diff(xx)./0.01;dy=diff(yy)./0.01;vv=(dx.2+dy.2).(1/2);for i=1:1:925 if vv(i)0&vv(i)10&vv(i)30 plot(xx(i),yy(i),r+,markersize,2); hold on;else plot(xx(i),yy(i),ko,markersize,2); hold on;endend因此，选手要想取得优异的成绩，必须在不同路段选择不同的速度。也就是要在不用的时间段选择不同的速度，只要这样才可以顺利的完成比赛，不至于造成危险。三：合理建议1.由v-t图像可知，选手在前一段路程中平均速度较慢，而在最后一小段路程中速度达极大。从总体来看，这种速度分配方式不利于选手快速到达终点，选手应在前面大部分路程中将速度尽量维持在一个较为合适的范围内，在最后一段再进行一下冲刺，才能取得较好成绩。2.由v-t图像和标记过的赛道曲线可知，路况对于选手的速度影响很大，而在赛道上坑洼碎石路和平整沙土路占的比例又较大，故选手的成绩与正常水平相比会下降很多。因此，选手平时训练时可适当增强坑洼碎石路、平整沙土路上的训练，争取适应这两种路况，这样在比赛中即可在大块区域上领先，进而增大获胜的概率。3. 从赛道形状来看，整个赛道中唯一一段较直的路段是一段平整沙土路，选手应以最大速度穿过此路段，抓住比赛的主动权。