高中数学 精讲优练课型 第二章 基本初等函数（I）2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时 指数幂及运算课件 新人教版必修1.ppt

第2课时指数幂及运算 知识提炼 1 分数指数幂的意义 0 没有意义 2 有理数指数幂的运算性质 1 aras ar s a 0 r s q 2 ar s a 0 r s q 3 ab r a 0 b 0 r q 3 无理数指数幂一般地 无理数指数幂a a 0 是无理数 是一个确定的 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 ars arbr 实数 即时小测 1 思考下列问题 1 分数指数幂与根式有何关系 提示 根式可以表示成分数指数幂的形式 分数指数幂是根式的另一种表示形式 如 2 分数指数幂可以理解为个a相乘吗 提示 不可以 分数指数幂不可以理解为个a相乘 事实上 它是根式的一种新写法 2 化为分数指数幂为 解析 在根式中 根指数是5 根据根式与分数指数幂的转化规律 可得答案 3 计算 解析 答案 4 若10a 5 10b 9 则10a b 解析 同底数幂相除 底数不变 指数相减 可得答案 知识探究 知识点1分数指数幂观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 正数的分数指数幂与整数指数幂有什么不同 问题2 分数指数幂与根式有什么关系 总结提升 从三个角度理解分数指数幂 1 与根式的关系 分数指数幂是根式的另一种写法 根式与分数指数幂可以相互转化 2 底数的取值范围 由分数指数幂的定义知a 0时 可能会有意义 当有意义时可借助定义将底数化为正数 再进行运算 3 运算性质 分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样 记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是 乘相加 除相减 幂相乘 知识点2有理数指数幂的运算性质观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 对于有理数指数幂运算性质应注意什么 问题2 有理数指数幂运算有哪些常见结论 总结提升 1 有理数指数幂运算性质的两个关注点 1 有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来的 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用 2 在运算性质中 要注意幂的底数是正数的规定 如果改变等式成立的条件 则有可能不成立 如a 2 b 4时 ab 2 4 2 4 则无意义 2 有理数指数幂运算的常见结论 1 有理数指数幂的运算还有如下性质 ar as ar s a 0 r s q a 0 b 0 r q 2 指数幂的几个常见结论 当a 0时 ab 0 当a 0时 a0 1 而当a 0时 a0无意义 若ar as a 0且a 1 则r s 乘法公式仍适用于分数指数幂 如 题型探究 类型一根式与分数指数幂的互化 典例 1 根式化成分数指数幂是 2 将下列根式与分数指数幂进行互化 解题探究 1 典例1中a的取值范围是什么 提示 a的取值范围是a 0 2 典例2中如何将 2 3 化为分数指数幂 提示 2 可将三次根号下部分化为分数指数幂 3 可先将三次根式化为分数指数幂 解析 1 因为 a 0 所以a 0 所以答案 a 方法技巧 根式与分数指数幂互化的规律 1 根指数分数指数的分母 被开方数 式 的指数分数指数的分子 2 在具体计算时 通常会把根式转化成分数指数幂的形式 然后利用有理数指数幂的运算性质解题 补偿训练 用分数指数幂表示下列各式 解析 类型二利用分数指数幂的运算性质化简求值 典例 1 2 计算下列各式 式中字母均为正数 解题探究 1 典例1对于中的底数应如何处理 提示 可将写成的形式再进行计算 2 对于典例2中的两小题 计算的顺序分别是什么 提示 对于 1 应先把各系数相乘 再按指数幂进行运算 而对于 2 先进行每一项的计算 然后再合并 解析 答案 2 1 原式 2 原式 0 4 1 1 2 4 2 3 方法技巧 1 指数幂运算的常用技巧 1 有括号先算括号里的 无括号先进行指数运算 2 负指数幂化为正指数幂的倒数 3 底数是小数 先要化成分数 底数是带分数 要先化成假分数 然后要尽可能用幂的形式表示 便于用指数幂的运算性质 2 根式化简的步骤 1 将根式化成分数指数幂的形式 2 利用分数指数幂的运算性质求解 3 对于化简结果的要求对化简求值的结果 一般用分数指数幂的形式保留 在进行指数幂运算时 通常是化负指数为正指数 化根式为分数指数幂 化小数为分数 同时要兼顾运算的顺序 变式训练 计算下列各式 解析 1 原式 1 补偿训练 化简 0 064 0 0 01 解析 原式 0 43 1 0 4 1 1 0 1 3 1 答案 3 1 类型三分数指数幂的综合应用 典例 1 若 2 则 x 3 2 若x x 1 则x x 1 解题探究 1 典例1能否求出x的值再计算 提示 可以求出x的值再计算 2 典型2能否求出x的值 有什么简便方法求解此题 提示 能求出x的值 但它的运算较为麻烦 利用整体代换的方法较为简便 解析 1 因为x 2 则 x 3 23 8 得x2 23 解得x 所以 x 3 3 2 1 2 1 答案 12 方法一 将x x 1 两边平方 得x x 1 2 1 则x x 1 3 方法二 因为x x 1 则 x x x x 即x x 1 0 x 2 x 1 0 解得x 所以x x 1答案 3 延伸探究 1 改变问法 若例2条件不变 求x2 x 2的值 解析 若 1 两边平方 得x x 1 2 1 则x x 1 3 两边再平方 得x2 x 2 2 9 所以x2 x 2 7 2 变换条件 若例2条件变为 已知x x 1 7 求值 1 2 x2 x 2 解题指南 利用整体代换法进行计算 解析 1 设m 两边平方 得m2 x x 1 2 7 2 9 因为m 0 所以m 3 即 3 2 设n 两边平方得n2 x x 1 2 7 2 5 因为n r 所以n 即所以x x 1 x2 x 2 x x 1 x x 1 方法技巧 利用整体代换法求分数指数幂 1 整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法 分析观察条件与结论的结构特点 灵活运用恒等式是关键 2 利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题 常常运用完全平方公式及其变形公式 x2 x 2 x x 1 2 2 x x 1 补偿训练 已知则x2 x 2 解析 将两边平方 得x x 1 2 5 则x x 1 3 两边再平方 得x2 x 2 2 9 所以x2 x 2 7 答案 7 延伸探究 1 改变问法 若本例条件不变 则x3 x 3 解析 因为x x 1 3 x2 x 2 7 所以x3 x 3 x x 1 x2 x 2 1 3 7 1 18 答案 18 2 变换条件 若条件变为 已知 解析 将两边平方 得x x 1 2 9 则x x 1 7 两边再平方 得x2 x 2 2 49 所以x2 x 2 47 又 3 7 1 18 所以答案 易错案例利用分数指数幂化简求值 典例 化简 1 a 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因一是未对a 1的正负进行判断 二是忽略了题中 a 成立的条件 若 a 成立 则 a 0 故a 0 故 a 1 2 1 a 1 自我矫正 由式子 a 知 a 0 即a 0