第2讲一元二次方程解法教师版.doc

第二讲一元二次方程解法中考要求知识点A要求B要求要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题知识点睛一、一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项二、一元二次方程的判别式与公式法：设一元二次方程为，其根的判别式为：，是方程的两根，则： 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根若、为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根三、可化为一元二次方程的特殊方程：解方程的基本思想：化分式方程为整式方程化高次方程为一次或二次方程化多元为一元化无理方程为有理方程总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元(加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等)，降次(换元降次、因式分解降次、辅助式降次等)等方法解分式方程：一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法解无理方程：一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法重、难点1. 灵活选择适当的方法解一元二次方程2. 转化思想的渗透3. 对根的判别式的理解例题精讲一、一元二次方程的概念【例1】 已知方程是关于的一元二次方程，求、的值【解析】 当，方程化为；当，方程化为；当，方程化为；当，方程化为，故不符题意综上可得，；【巩固】已知方程是关于的一元二次方程，求、的值【解析】 本题有3种情况：；解得；二、一元二次方程的解法一元二次方程的解法：直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程配方法：解形如的一元二次方程，一般步骤是：二次项系数化1常数项右移配方(两边同时加上一次项系数一半的平方)化成的形式若，选用直接开平方法得出方程的解公式法：一元二次方程的求根公式是运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：把方程化为一般形式确定、的值计算的值若，则代入公式求方程的根若，则方程无解因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式常用解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法 因式分解法 适用于右边为(或可化为)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法 公式法 适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算的值 直接开平方法 用于缺少一次项以及形如或或的方程，能利用平方根的意义得到方程的解 配方法 配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的把一元二次方程的一般形式(、为常数，)转化为它的简单形式，这种转化方法就是配方，具体方法为：所以方程(、为常数，)就转化为的形式，即，之后再用直接开平方法就可得到方程的解【例2】 （2007三帆中学初三第一次月考试题）解方程【解析】【巩固】用开平方法解下列方程： （吉林省长春市）【解析】 ； ； ，【例3】 用配方法解方程： 【解析】 ； ； 无解【例4】 用配方法解关于的方程（为已知常数）【解析】 ；当时，即；当时，原方程无实数根【巩固】 用配方法解方程：(、为常数且)【解析】 因为，方程两边同除以，得移项，得，配方因为，所以，当时，直接开平方得：，又因为式子前面已有符号”“，所以无论还是，最终结果总是即；当时，原方程无解【点评】 由上面研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式【例5】 用公式法解方程： 【解析】 ， ，【点评】 公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定的值；代入中计算其值，判断方程是否有实数根；若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根（因为这样可以减少计算量另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程）【巩固】 公式法解下列方程： 【解析】 ； ； 原方程无实数根【例6】 因式分解法解方程：（1） （2） （3）（4）(2007实验中学初三第一次月考试题)解方程【解析】 （1）；（2）；（3）（4）【巩固】 用因式分解法解方程：（1）（2） (、为常数)【解析】 （1），（2），【点评】 因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或；因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解【巩固】 （2007三帆中学初三第一次月考试题）解方程【解析】 【巩固】 （20072008北大附中初三第一次月考试题）解方程【解析】 可化为：，故，【例7】 用适当的方法解下列方法(2007清华附中初三第一次月考试题)解方程：；(2007十一学校初三第一次月考试题)解方程：；【解析】 ，；，【例8】 (2007理工附中初三第一次月考试题) 解方程(2007理工附中初三第一次月考试题) 解方程(2007十一学校初三第一次月考试题) 解方程(2007实验中学初三第一次月考试题)【解析】 ，故 点评 本例介绍的是提取公因式法解一元二次方程 【例9】 若代数式与的值互为相反数，则的值为多少？【解析】 由题意可列方程：整理，得：化简，由因式分解法可得方程的解：，三、含字母系数的一元二次方程【例10】 解含有字母系数的方程（解关于的方程）： （2007海淀期中统考）配方法解方程：【解析】 ； ； ；当时，即；当时，原方程无实数根【例11】 解关于的方程：【解析】 讨论，由于二次项系数含有，所以首先要分与两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当时，再分，三种情况讨论分类讨论 当时，原方程变为一元一次方程，所以； 当时，原方程为一元二次方程当，且时，方程有两个不相等的实数根，；当时，方程有两个相等的实数根，；当时，方程无实数根【巩固】 解关于的方程： 【解析】 化为一般式：当时，方程为一元一次方程的解为或；当时，方程为一元二次方程，三、可化为一元二次方程的分式方程【例12】 （年第届江苏省数学竞赛题）解方程【解析】 原方程变形为整理得两边同乘以，并整理得解得 经检验，原方程的两根为【例13】 解方程【解析】 观察方程知，可先考虑各分式简化原方程转化为整理得去分母，整理得，经检验知，是原方程的解【巩固】 解方程【解析】 原方程化为，即，解得【例14】 解方程【解析】 原方程变形为，令，则原方程化为，解得，从而得，【巩固】 （1999年河南省竞赛）解方程：.【解析】 设，则原方程变为：.去分母整理得：.解得：，.由，得：.由，得：，经检验：，都是原方程的根.此方程的分子、分母均含有的二次多项式，若采用去分母的方法会出现一元高次方程，且不易求解.观察发现两分式成倒数形式，所以可用换元求解.【例15】 解关于方程（是实数）【解析】 两边同乘以，得整理，得因式分解，得方程的解是经检验：是原方程的解【备注】这是一类典型的分式方程，有特殊的解法，这种类型的方程左右结构一样，左右两边两项之积都等于，且右边不含未知数，可以不必去分母化成一元二次方程求解，直接可以得到 板块三 可转化为一元二次方程的绝对值方程【例16】 已知关于的方程恰有三个实数根，求的值【解析】 由原方程可得，由于方程有解，则，由得到的是两个不同的根，方程三个实数根中余下的一个来自于，因此，【巩固】 解方程：【解析】 当时，原方程化为，解得或(舍去)；当时，原方程化为，解得或； 综上所述，原方程有3个解：，【例17】 (年五羊杯)绝对值方程的不同实数解共有 个【解析】 分情况讨论： 当时，方程化为，即，解得：，（舍去） 当时，方程化为，即，解得：，（舍去） 当时，方程化为，即，解得：，（舍去） 当时，方程化为，即解得：，（舍去）故方程的不同实数解有4个【巩固】 (2006年重庆市竞赛试题)设方程.求满足该方程的所有根之和.【解析】 当，即：时，原方程可化为，解得：，(舍去)当，即：时，代入原方程不成立，应舍去.当，即：时，原方程可化为，解得：，(舍去)所以方程的所有根为3和，故方程的所有根之和为.绝对值方程的一般解法是：找零点，划分区间，去绝对值符号，进而化为一般方程求解.板块五 可转化为一元二次方程的无理方程【例18】 解方程【解析】 将原方程变为：当时，解得：，当时，解得：经检验：，是原方程的根，是增根，原方程的根为：，【例19】 无理方程的解是_【解析】 设，原方程可以化为：，于是，两边平方，得：，解之：，经检验和都是原方程的根【巩固】解方程：【解析】 令，则原方程化为解之得（舍去）或于是得到原方程的解为或【例20】 已知，求的值【解析】 由已知得则由已知，得则，即则把、代入，得家庭作业1. 已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围【解析】 整理得：，当，即，则原方程是一元二次方程2. (2007三帆中学初三第一次月考试题)解方程:.【解析】 ，3. (2007人大附中初三第一次月考试题)用配方法解方程【解析】4. 解方程【解析】 原方程化简为，令，原方程变形为，整理得解得，代入，代入时，解得，经检验：，不是原方程的解，舍去代入时，因，所以无实数解，故舍去5. （年信利杯全国初中数学联赛题）若实数满足，求的值【解析】