2026年高考数学一轮复习：幂函数与二次函数（讲义）原卷版

专题2.3幕函数与二次函数(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1幕函数的定义】................................................................................2

【题型2比较幕值的大小】.............................................................................3

【题型3鼎函数图象的判断及应用】....................................................................3

【题型4累函数的图象与性质的综合应用】.............................................................5

【题型5求二次函数的值域或最值】....................................................................5

【题型6二次函数的图象问题】.........................................................................6

【题型7二次函数的单调性问题】.......................................................................7

【题型8二次函数的恒成立问题】.......................................................................8

1、塞函数与二次函数

考点要求真题统计考情分析

导函数与二次函数是常见的重要函

数，在历年的高考中都占据着重要的地

(1)了解累函数的定义，掌位，是高考常考的热点内容，从近几年

握累函数的图象与性质的高考形势来看，黑函数较少单独考查，

2020年江苏卷：第7题，5分

⑵熟练掌握二次函数的常与指、对数函数结合考查，包括比较

2024年天津卷：第2题，5分

图象与性质(单调性、对指对塞的大小、解不等式等考法，主要

称性与最值等)出现在选择题、填空题中，难度较易；

二次函数常与其他知识相结合，考查二

次函数的图象与性质.

知识梳理

知识点1鬲函数的解题技巧

1.寒函数的解析式

鼎函数的形式是》=x〃(a£R),其中只有一个参数a,因此只需二±条件即可确定其解析式.

2.塞函数的图象与性质

在区间(0,1)上，制函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+a)上，事函数

中指数越大，函数图象越远离x轴.

3.比较嘉值的大小

在比较幕值的大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较,准确掌握各个幕

函数的图象和性质是解题的关键.

知识点2二次函数的解题技巧

1.二次函数解析式的求法

（I）一般式法:己知三点坐标，选用一般式.

（2）顶点式法:已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.

（3）零点式法:己知与x轴两交点坐标，选用零点式.

2.二次函数的图象问题

C）研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”口有一个点是顶点，另两个点是图象上关于

对称轴对称的两个点，常取与X轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线：“一开口”是指抛物线的开口方向.

（2）求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

3.二次函数的单调性与最值

闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和口点，一轴指

的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

4.二次函数的恒成立问题

不等式恒成立求参数范闱，一般有两个解题思路：一是分离参数：二是不分离参数,直接借助于函数图象

求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.

举一反三

【题型1鬲函数的定义】

【例1】（25-26高一上•全国•课后作业）下列函数中，属于寻函数的是（）

A.y=（2x）2B.y=返C.y=—D.y=2X

【变式1-1]（2025高三・全国•专题练习）下列函数既是幕函数又是奇函数的是（）

A.y=x3B.y=x2C.y=x3+1D.y=>/x

22

【变式1-2]（24-25高一上•全国•课后作业）在函数y=X-2,y=2x,y=（x+I）,y=3%中，基函数的

个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

【变式1-3]（24-25高一上•上海•期中）下列函数是某函数且在。+8）上是减函数的是（）

1_2

A.y=x2B.y=炉C.y=2x_1D.y=x~

【题型2比较鬲值的大小】

【例2】(24-25高一上•安徽安庆•阶段练习)已知a=2%b=O.40,2,c=O.1501,则a,b,c的大小关系

是()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【变式2-1](24-25高一上•陕西咸阳•期末)已知a、bE(0,1)U(1,+8)且c>0,则“Q>b>1”是“山>

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-2](24-25高一上•安徽•期中)幕函数/1(%)=(*-加-1)/2+2*5在区间(o,+8)上单调递增，

且a+b>0,则f(a)+f(b)的值()

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

【变式2-3](2025•湖北孝感•模拟预测)已知/(%)为奇函数，当04x42时，f(x)=2x-x2,当％>2时，

/W=|x-3|-1,则()

A.-/(-V26)>/(203)>/(30-3)B./(20-3)>/(303)>-/(-V26)

C.-/(-V26)>/(3。3)>/-^0-3)D./-(303)>/-(203)>-/(-V26)

【题型3幕函数图象的判断及应用】

【例3】(24-25高一上•浙江杭州•期末)如图所示的帚函数图象对应的解析式可能为()

2

c.'=/D.y=短

【变式3-1](24-25高一上・辽宁•期末)如图，①②③④对应四个幕函数的图象，则①对应的号函数可以是

_i233

JA.y=x~2B.y=C.y=D.y=

p

【变式3-2］（24-25高一•全国•课后作业）已知幕函数y=点（p,q€Z且p,q互质）的图象关于y轴对称，如

图所示，则（）

A.p,g均为奇数，且:>0

B.g为偶数，p为奇数,且卜。

C.4为奇数，P为偶数，且:>0

D.g为奇数，p为偶数，且£<0

【变式3・3】（24-25高一上•上海浦东新•期中）图中的、C2、C3分别为暴函数y=y=xa2,y=在

第一;象限内的图象，则①,做，。3依次可以是（）

峰\/

O1X

工

A.3,-1B.3,-1,

2

Cp3,-1D.f3

【题型4鬲函数的图象与性质的综合应用】

【例4】(24-25高一下•安徽马鞍山•开学考试)已知点(苗,亨)在箱函数/•(%)的图象上，则/(0是()

A.奇函数B.偶函数

C.非奇非偶函数D.在X€(-8,0)u(0,+8)上单调递减

【变式4-1](24-25高一上•广东汕头・期末)已知塞函数/(%)=(加2-3血+1)/1是区上的偶函数，且函

数gG)=fM+(4-2n)》在区间[1,5]上单调，则实数ri的取值范围为()

A.(-oo,3]B.[7,+8)C.[3,7]D.(-oo,3]u[7,+oo)

【变式4-2](24-25高一上•江苏扬州•期末)若塞函数f(x)的图象经过点(41),则下列说法正确的是()

A./(%)为偶函数B.方程/(%)=27的实数根为2

C.fO)在(0,+8)上为增函数D./(%)的值域为R

【变式4-31(24-25高一下•湖北•阶段练习)累函数/(%)=(?n2-rn-l)xm,Vx,x€(0,+8)都有&±皿＜

12XI-X2

0成立，则下列说法正确的是()

A.m=2B.m=2或m=-1

c./(%)是偶函数D./G)是奇函数

【题型5求二次函数的值域或最值】

【例5】(2025高二下•湖南郴州•学业考试)函数y=-％2-4%+3(》€R)的值域为()

A.[7,+oo)B.(7,+8)C.(-8,7)D.(-8,7]

【变式5-1](2025高一上•河北保定•专题练习)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2-m(m为

常数)的图象经过点(0,6),其对•称轴在y轴左侧，则该二次函数有()

A.最大值5B.最大值日

4

C.最小值5D.最小值学

4

【变式5-2](24-25高一上•新疆•期中)已知函数/(%)=%?-4%+5在[m,可上的值域是[1,10],则八一7九

的最大值是()

A.3B.6C.4D.8

【变式5・3】(24-25高二上•河南•阶段练习)已知函数/•(%)=-7+2"若/•(/(%))的最大值与f(%)的最大

值相等，则实数力的取值范围是()

A.b<0B.b21或bW0C.-1<Z?<0D.b>-l

【题型6二次函数的图象问题】

【例］6］（24-25高一上•重庆•期中）已知函数/'（%）=ox?+版+前若Q>b>C,Q+b+c=0,则f（x）的图

象可能是（）

【变式6-1］（24-25高一下•云南迪庆・期末）抛物线y=Q%2+"+C（Q看0）的部分图象如图所示，下列说法

正确的是（）

A.abc>0B.b=2a

C.3a+c<0D.b2<4ac

【变式6-2］（24-25高一上•福建福州•阶段练习）不等式cd+Qx+b〉。的解集为1卜1<无<g},则函数

y=ad+匕无一c的图象大致为（）

【变式6-3]（2025•陕西汉中•三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下

的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守

队员在篮球卜.降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶

段的水平距离越K,则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为卜.述

数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过4B,

C,。四个点中的某一点并命中Q,忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小的线路是（）

2'P

d~~i~~24~~X

A.P—>4—>QB.PtBtQC.PtCtQD.P—»D—>Q

【题型7二次函数的单调性问题】

【例7】（24-25高一上•海南•阶段练习）若函数/（幻=%2+（1+。注+2在区间（3,+8）上单调递增，则实

数a的取值范围是（）

A.（—8,7]B.[7,+8）C.[—7,+co）D.（—00,—7]

【变式7-1]（24-25高二下•山东涟坊•期末）已知二次函数/（%）=a/+bx+c（a>0）的图像与x轴交点的

横坐标为一5和3,则二次函数的单调递减区间为（）.

A.(-co,-1]B.[-1,+00)

C.D.[2,+00)

【变式7-21(24-25高一上•陕西宝鸡•阶段练习)"m<-17”是“函数/(%)=-3x2+2(1-m)x-5在区间

(-8,6]上单调递增”的()

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【变式7-3](24-25高三上•陕西渭南•阶段练习)若二次函数/(0=ad+2(a-l)x+2在(一%4)上为减函

数，则Q的取值范围为()

A-你+8)B.[0,1]C.(-oo,!]D.(0噂

【题型8二次函数的恒成立问题】

【例8】(24-25高一下•贵州•阶段陈习)对任意％W[-1,1],不等式2/一2%+1-恒成立，则实数

m的取值范围是()

A.(-00,1]B.(-8,3C.(一8,2D.卜+8)

【变式8-1](2025•陕西西安•模拟预测)设函数/(%)=42-2四,命题石工6[2,6],八外工一2。+3”是假

命题，则实数。的取值范围是()

A.6+8)B.(3,4-a>)C.(2,+8)D.(-80

【变式8-2】(2025•上海黄浦・二模)设函数/(%)=『若/(%)>o恒成立，则实

(axL-2x4-3,0<x<4

数”的取值范围是()

A.(l,+oo)B.(0,§

。篇,I)D.你1)

【变式8-3](2025•福建•模拟预测)已知函数/0)是定义在R上的偶函数，旦当”>0时,/(%)=x2-2x+2.若

f(x)>2x+匕对任意的％6R恒成立，则实数b的取值范围是()

A.(-oo,2]B.(-oo,l]C.(-oo,0]D.(-oo,-2]

过关测试

一、单选题

1.(2025•河南驻马店•模拟预测)已知豪函数/(%)=(m2+血一的图象与坐标轴无公共点,则血=()

A.-2B.IC.-2或1D.-1或2

2.（2025•山东•模拟预测）设全集U=R,集合/={y|y=X2,XER},B={X\-1<x<1],则"|一1<x<

0}=（）

A.A\JBB.（C（yy4）nBC.An（Q;B）D.QG4nB）

3.（2（）25-江苏盐城三模）“血=2”是“/3）=02一血-1）/2+2时3为寻函数，，的（）条件.

A.充要B.必要不充分C,既不充分也不必要D.充分不必要

4.（24-25高一上•北京•开学考试）已知二次函数'=租%2一2m/（血为常数），当一14工42时，函数值

y的最小值为—2,则m的值是（）

A.-2B.1C.2或一|D.-1

5.（24-25高一上•广西钦州•阶段练习）“m<-17”是“函数/（%）=-3x2+2（1-m）x-5在区间（-8,6］上

单调递增''的（）

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.（2025•天津・二模）已知函数y=2ax3（av。），则此函数是（）

A.偶函数，且在区间（-8,0）上单调递减B.偶函数，且在区间（0,+8）上单调递增

C.奇函数，且在区间（一8,0）上单调递减D.奇函数，且在区间（0,+8）上单调递增

7.（2025•江西・一模）若直线y=t（0<t<1）与鼎函数y=炉，y=«,y==的图象从左到右依次交于不

同的三点4B,C,则|力。=（）

A.\-t2B.C.V?D.Vt-t2

8.（2024・贵州遵义•模拟预测）己知函数/（幻=工2一2a+2£2—2%则下列选项正确的是（）

A.f（x）的图象恒过点（0,0）B./（刈的图象必与%轴有两个不同的交点

C./（%）的最小值可能为-2D.f（x）的最小值可能为一1

二、多选题

9.（24-25高一上•贵州•阶段练习）现有4个幕函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（）

A.p=3,m=2,q=；,n=—3

B.p=4»771=3,q=g,n=—2

C.p=2,m=3,q=—n=-3

D.p=；，血=：，q=-2,n

10.（24-25高一下•全国•课后作业）二次函数y=xz+（2Q-l）x-3在X£[-1,3]上最大值为I,则实数a

值为（）

A.--B.--

23

C.--D.-1

4

11.（24-25高一上•广东广州•期末）如图，二次函数'=。%2+6%+。的对称轴为％=1,且与不轴交于点