2019学年陕西省西安市高新一中高三（上）期中数学试卷（理科）（含解析）

2018-2019学年陕西省西安市高新一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（5分）设集合，则AB或CD2（5分）设复数满足，则A3BC9D103（5分）已知实数、满足约束条件，若目标函数的最大值和最小值分别为和，则A3B5C4D4（5分）已知命题：对任意，总有；命题：直线，若，则或；则下列命题中是真命题的是ABCD5（5分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为8、2，则输出的A5B4C3D26（5分）质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为，且两次结果相互独立，互不影响记为事件，则事件发生的概率为ABCD7（5分）已知点在幂函数图象上，设曲线：，则、的大小关系为ABCD8（5分）已知，函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是ABCD，9（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为ABCD10（5分）设、是双曲线上不同的三个点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为ABCD11（5分）一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是A若，则甲有必赢的策略B若，则乙有必赢的策略C若，则乙有必赢的策略D若，则甲有必赢的策略12（5分）已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”给出下列四个集合：；其中是“垂直对点集”的序号是ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13（5分）若，则，的大小关系为 14（5分）已知点是抛物线上任意一点，是圆上任意一点，则的最小值为15（5分）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于 16（5分）已知函数有四个零点，则实数的取值范围是三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路（不考虑宽度），（1）求道路的长度；（2）求生活区面积的最大值18（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，采集相应数据，对该公司2017年连续六个月的利润进行了统计，并绘制了相应的折线图，如图所示：（1）折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年1月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有采购成本分别为10万元包和12万元包的、两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，不同类型的新型材料损坏的时间各不相同，已知生产新型材料的企业乙对、两种型号各100件新型材料进行过科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命频数统计如表：使用寿命材料类型1个月2个月3个月4个月总计2035351010010304020100经甲公司测算，平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：，参考公式：回归直线方程为，其中19（12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值20（12分）已知曲线，曲线，且与的焦点之间的距离为2，且与在第一象限的交点为（1）求曲线的方程和点的坐标；（2）若过点且斜率为的直线与的另一个交点为，过点与垂直的直线与的另一个交点为设，试求取值范围21（12分）函数，其中、为实常数（1）若时，讨论函数的单调性；（2）时，不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，当时，证明：选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-4:坐标系与参数方程22（10分）已知曲线的参数方程为为参数）；直线，与曲线相交于，两点以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围选修4-5:不等式选讲23已知函数，（）解不等式；（）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围2018-2019学年陕西省西安市高新一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（5分）设集合，则AB或CD【考点】：交集及其运算【专题】37：集合思想；：定义法；：集合【分析】化简集合，根据交集的定义写出【解答】解：集合，或，则故选：【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题2（5分）设复数满足，则A3BC9D10【考点】：复数的运算【专题】49：综合法；：转化法；：数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出【解答】解：满足，则故选：【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知实数、满足约束条件，若目标函数的最大值和最小值分别为和，则A3B5C4D【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：不等式【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值【解答】解：由实数、满足约束条件得到可行域如图：目标函数的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方的最大值，最小值，由图得知，是距离原点最远的点，由，解得，可得，所以目标函数的最大值为；，由得到，所以目标函数的最小值为；所以，则故选：【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答此类题目的关键4（5分）已知命题：对任意，总有；命题：直线，若，则或；则下列命题中是真命题的是ABCD【考点】：复合命题及其真假【专题】35：转化思想；：转化法；：简易逻辑【分析】根据条件判断命题，的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：设，则，则函数在上为减函数，则当时，即此时恒成立，即命题是真命题，若，则两直线方程为，此时两直线不平行，不满足条件若，若两直线平行，则满足，由得，即得或，由得，则，即命题是假命题，则是真命题，其余为假命题，故选：【点评】本题主要考查复合命题真假的判断，根据条件判断命题，的真假是解决本题的关键5（5分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为8、2，则输出的A5B4C3D2【考点】：程序框图【专题】11：计算题；28：操作型；：算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的、分别为8、2，第一次执行循环体后，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，满足退出循环的条件，故输出的，故选：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6（5分）质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为，且两次结果相互独立，互不影响记为事件，则事件发生的概率为ABCD【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：概率与统计【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出包含的基本事件个数，由此能求出事件发生的概率【解答】解：质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，正四面体与地面重合的表面数字分别记为，且两次结果相互独立，互不影响基本事件总数，记为事件，则事件包含的基本事件有：，共6个，事件发生的概率为故选：【点评】本题考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，是基础题7（5分）已知点在幂函数图象上，设曲线：，则、的大小关系为ABCD【考点】：幂函数的性质【专题】33：函数思想；：定义法；51：函数的性质及应用【分析】根据幂函数的定义求出和的值，写出的解析式，再根据的单调性比较、的大小【解答】解：点在幂函数图象上，；（2），；是定义域上的增函数；且，即故选：【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题8（5分）已知，函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是ABCD，【考点】：由的部分图象确定其解析式【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】法一：通过特殊值、，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果法二：可以通过角的范围，直接推导的范围即可【解答】解：法一：令：不合题意 排除（D）合题意 排除（B）（C）法二：，得：故选：【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力9（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积【解答】解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方形，高为2，该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故，所以外接球的表面积为：故选：【点评】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力10（5分）设、是双曲线上不同的三个点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为ABCD【考点】：双曲线的性质【专题】11：计算题；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由于，连线经过坐标原点，所以，一定关于原点对称，利用直线，的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率【解答】解：根据双曲线的对称性可知，关于原点对称，设，则，该双曲线的离心率故选：【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系11（5分）一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是A若，则甲有必赢的策略B若，则乙有必赢的策略C若，则乙有必赢的策略D若，则甲有必赢的策略【考点】：进行简单的合情推理【专题】12：应用题；：简易逻辑【分析】甲若想必胜，则必须最后取球时还剩个球，通过简单的合情推理可以得解【解答】解：若，则甲有必赢的策略，必赢策略如下：第一步：甲先抓1球，第二步：当乙抓1球时，甲再抓3球时；当乙抓2球时，甲再抓2球时；当乙抓3球时，甲再抓1球时；第三步：这时还有4个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球，则布袋中都会剩余个球，第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜故选：【点评】本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理，属简单题12（5分）已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”给出下列四个集合：；其中是“垂直对点集”的序号是ABCD【考点】：命题的真假判断与应用【专题】23：新定义【分析】对于利用渐近线互相垂直，判断其正误即可对于、通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于是以，轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是，所以在同一支上，任意，不存在，满足好集合的定义；在另一支上对任意，不存在，使得成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”对于，对于任意，存在，使得成立，例如、，满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确对于，取点，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”对于，如下图红线的直角始终存在，对于任意，存在，使得成立，例如取，则，满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确所以正确故选：【点评】本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意，存在，使得成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13（5分）若，则，的大小关系为【考点】67：定积分、微积分基本定理【专题】52：导数的概念及应用【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可【解答】解：，故答案为：，【点评】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力属于基础题14（5分）已知点是抛物线上任意一点，是圆上任意一点，则的最小值为3【考点】：圆与圆锥曲线的综合【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】当、三点共线时，取最小值，即，由此能求出结果【解答】解：抛物线的焦点，准线圆的圆心，半径，由抛物线定义知：点到直线距离，点到轴的距离为，当、三点共线时，取最小值，故答案为：3【点评】本题考查两条线段和的最上值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用15（5分）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于13【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】：平面向量及应用【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得的坐标，可化 为，再利用基本不等式求得它的最大值【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得，当且仅当，即时，取等号，的最大值为13，故答案为：13【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题16（5分）已知函数有四个零点，则实数的取值范围是【考点】57：函数与方程的综合运用【专题】34：方程思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】由题意可得有四个不等实根，设，求得导数和单调性，可得极值，画出图象，即可得到所求范围【解答】解：函数有四个零点，由，不为零点，即即有有四个不等实根，设，当时，当且仅当，取得等号；当时，导数为，可得时递增；时，递减，可得处取得极小值，画出函数的图象，可得，即时，有四个不等实根，函数由四个零点，故答案为：【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用数形结合思想方法和导数判断单调性、极值，考查运算能力，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路（不考虑宽度），（1）求道路的长度；（2）求生活区面积的最大值【考点】：余弦定理；：解三角形；：点、线、面间的距离计算【专题】11：计算题；31：数形结合；58：解三角形；：空间位置关系与距离【分析】（1）连接，在中，由余弦定理得：，在中，求解即可（2）设，在中，由正弦定理，求解，表示，然后求解最大值【解答】解：（1）如图，连接，在中，由余弦定理得：，又，在中，所以（2）设，在中，由正弦定理，得，当，即时，取得最大值为，即生活区面积的最大值为注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查距离的求法，是中档题18（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，采集相应数据，对该公司2017年连续六个月的利润进行了统计，并绘制了相应的折线图，如图所示：（1）折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年1月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有采购成本分别为10万元包和12万元包的、两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，不同类型的新型材料损坏的时间各不相同，已知生产新型材料的企业乙对、两种型号各100件新型材料进行过科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命频数统计如表：使用寿命材料类型1个月2个月3个月4个月总计2035351010010304020100经甲公司测算，平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：，参考公式：回归直线方程为，其中【考点】：线性回归方程；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：概率与统计【分析】（1）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；（2）分别计算相应的数学期望，即可得出结论【解答】解：（1）由题意知，其中，关于的线性回归方程为，2018年1月对于的是，则，即预测公司2018年1月份（即时）的利润为23百万元；（2）由频率估计概率，型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，型材料利润的数学期望为万元；型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，型材料利润的数学期望为万元；，应该采购型材料【点评】本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题19（12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【考点】：平面与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】（1）顶点在上投影为点，可知，取的中点为，连结，计算，推出，结合，证明面然后证明面面（2）由（1）知，且，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面，的法向量，利用向量的数量积求解即可【解答】证明：（1）由顶点在上投影为点，可知，取的中点为，连结，在中，所以（1分）在中，所以（2分）所以，即（3分），面又面，所以面面（5分）解：（2）由（1）知，且所以 面，且面以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，（8分）设平面，的法向量分别为，则，取，得，（9分），取，得，（10分）所以二面角的余弦值为（12分）【点评】本题考查向量在立体几何中的应用，二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）已知曲线，曲线，且与的焦点之间的距离为2，且与在第一象限的交点为（1）求曲线的方程和点的坐标；（2）若过点且斜率为的直线与的另一个交点为，过点与垂直的直线与的另一个交点为设，试求取值范围【考点】：椭圆的标准方程；：直线与椭圆的综合【专题】15：综合题；38：对应思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可得，解得，即可求出交点坐标，（2）当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，根据韦达定理和弦长公式，即可求出的取值范围【解答】解：（1）曲线的焦点坐标为，曲线的焦点坐标为，由与的焦点之间的距离为2，得，解得，的方程为由，解得，（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由，得则，又直线的方程为，即，由，得，则，同理，即，综上所述：，【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以及弦长公式，考查了运算能力和转化能力，属于难题21（12分）函数，其中、为实常数（1）若时，讨论函数的单调性；（2）时，不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，当时，证明：【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值【专题】34：方程思想；：转化法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】（1）当时，对分类讨论即可得出函数的单调性（2）不等式在，上恒成立，可得，设，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出（3），由，可得，设，利用导数研究函数的单调性可得因此要证，只要证，设，利用导数研究其单调性即可证明结论【解答】解：（1）当时，当时，恒成立，则在上单调递增，当时，若，则，函数单调递减，若，则，函数单调递增，在上单调递减，