高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修11 (2).ppt

2 3 1抛物线及其标准方程 1 掌握抛物线的定义 几何图形 焦点 准线和标准方程 2 会求简单的抛物线方程 1 2 1 抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线 归纳总结抛物线的定义可归结为 一动三定 一个动点 设为m 一个定点f 为抛物线的焦点 一条定直线l 为抛物线的准线 一个定值 即点m到定点f的距离与它到定直线l的距离之比为定值1 另外 定点f不在定直线l上 否则 动点m的轨迹不是抛物线 而是过点f且与直线l垂直的一条直线 1 2 做一做1 1 抛物线x2 16y的焦点坐标是 a 0 4 b 0 4 c 4 0 d 4 0 答案 a 做一做1 2 若动点p到定点f 4 0 的距离与到直线x 4的距离相等 则点p的轨迹是 a 抛物线b 线段c 直线d 射线解析 由抛物线的定义 到定点f的距离与到定直线距离相等的点的轨迹为抛物线 答案 a 1 2 2 抛物线的标准方程 1 2 1 2 归纳总结四种位置的抛物线标准方程的对比 1 共同点 原点在抛物线上 焦点在坐标轴上 焦点的非零坐标都是一次项系数的 2 不同点 当焦点在x轴上时 方程的右端为 2px 左端为y2 当焦点在y轴上时 方程的右端为 2py 左端为x2 开口方向与x轴 或y轴 的正方向相同 焦点在x轴 或y轴 正半轴上 方程的右端取正号 开口方向与x轴 或y轴 的负方向相同 焦点在x轴 或y轴 负半轴上 方程的右端取负号 1 2 答案 a 答案 y2 3x 二次函数与抛物线的标准方程的关系 题型一 题型二 题型三 例1 试求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 分析对于 1 需要确定p的值和开口方向这两个条件 因为点 3 2 在第二象限 所以抛物线的标准方程可设为y2 2px p 0 或x2 2py p 0 对于 2 因为抛物线标准方程的焦点在坐标轴上 所以求出直线x 2y 4 0与坐标轴的两个交点 4 0 和 0 2 即为所求抛物线两种情况下的焦点 而对于 3 由题意知 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思求抛物线的标准方程需要 1 求p的值 2 判断焦点所在的坐标轴 题型一 题型二 题型三 变式训练1 求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 焦点为 2 0 2 准线为y 1 题型一 题型二 题型三 例2 已知平面上动点p到定点f 1 0 的距离比到y轴的距离大1 求动点p的轨迹方程 分析二结合题意动点p到定点f 1 0 的距离比到y轴的距离大1 由于点f 1 0 到y轴的距离为1 故分情况讨论 当x 0时 直线y 0 x 0 上的点适合条件 当x 0时 可以看作是点p到点f 1 0 与到直线x 1的距离相等 故点p在以点f为焦点 x 1为准线的抛物线上 其轨迹方程为y2 4x x 0 这是根据抛物线的定义来求解 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 解法二由题意 动点p到定点f 1 0 的距离比到y轴的距离大1 由于点f 1 0 到y轴的距离为1 故当x 0时 直线y 0 x 0 上的点适合条件 当x 0时 可以看作是点p到点f 1 0 与到直线x 1的距离相等 故点p在以点f为焦点 x 1为准线的抛物线上 其轨迹方程为y2 4x x 0 反思求解圆锥曲线的轨迹方程的方法 1 代数法 建立坐标系 设点 找限制条件 代入等量关系 化简整理 2 几何法 利用曲线的定义求待定系数 题型一 题型二 题型三 变式训练2 若抛物线y2 2px p 0 上有一点m 其横坐标为 9 它到焦点的距离为10 求抛物线方程和点m的坐标 题型一 题型二 题型三 例3 一辆卡车高为3m 宽为1 6m 欲通过断面为抛物线型的隧道 已知隧道的拱口宽恰好是其拱高的4倍 若拱口宽为am 求使卡车通过的a的最小整数值 分析建立坐标系 求出抛物线方程 用抛物线的知识解答 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思用数学知识解答应用题 首先要建立数学模型 然后再利用相关知识求解 在建立抛物线的标准方程时 以抛物线的顶点为坐标原点 对称轴为一条坐标轴建立平面直角坐标系 这样可使得标准方程不仅具有对称性 而且曲线过原点 方程不含常数项 形式更为简单 便于应用 题型一 题型二 题型三 变式训练3 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分 灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直 灯泡位于抛物线焦点处 已知灯口的直径是24cm 灯深是10cm 求灯泡与反射镜顶点 即截得抛物线顶点 间的距离 解 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴 抛物线的顶点为坐标原点 建立直角坐标系xoy 如图 因为灯口直径 ab 24cm 灯深 op 10cm 所以点a