高中数学 第3章 导数应用 1.2 函数的极值课件 北师大版选修22.ppt

1函数的单调性与极值1 2函数的极值 课前预习学案 横看成岭侧成峰 远近高低各不同 说的是庐山的高低起伏 错落有致 在群山之中 各个山峰的顶端 虽然不一定是群山的最高处 但它却是其附近的最高点 同样 各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处 但它却是附近的最低点 那么 在数学上 如何来刻画这种现象呢 1 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在 的函数值都 的函数值 称点x0为函数y f x 的极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 2 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在 的函数值都 的函数值 称点x0为函数y f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 3 与 统称为极值 与 统称为极值点 1 函数极值的有关概念 任何一点 不大于x0点 任何一点 不小于x0点 极大值 极小值 极大值点 极小值点 1 函数的极值是一个局部性的概念 是仅对某一点的左右两侧的领域而言的 2 极值点是函数定义域内的点 而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 3 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在区间上的单调函数没有极值 4 极大值与极小值没有必然的大小关系 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值 也可能没有 在某一点的极小值可能大于另一点的极大值 即极小值不一定比极大值小 极大值也不一定比极小值大 如图所示 1 如果函数y f x 在区间 a x0 上是 在区间 x0 b 上是 则x0是极大值点 f x0 是极大值 2 如果函数y f x 在区间 a x0 上是 在区间 x0 b 上是 则x0是极小值点 f x0 是极小值 2 函数极值的判断 增加的 减少的 减少的 增加的 函数的导数与极值的关系 1 对于可导函数 极值点必为导数为零的点 但反之 导数为零的点不一定是极值点 如f x x3在x 0处导数为零 但不是极值点 2 导数不存在的点也有可能是极值点 如f x x 在x 0处不可导 但该点为极值点 综合 1 2 可得 函数的极值点只能是不可导点或导数为零的点 1 关于函数的极值 有下列说法 导数为零的点一定是极值点 极值点的导数一定为零 极大值一定大于极小值 f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内不是单调函数 f x 在 x0 x x0 x 上可导且f x0 0 x0左侧f x 0 右侧f x 0那么x0是极大值点 f x 在区间 x0 x x0 x 上可导 f x0 0 x0左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是函数的极小值 其中正确说法是 a b c d 解析 根据极值的概念逐一判断可知 错误 正确 故选d 答案 d 2 函数y 1 3x x3有 a 极小值 1 极大值1b 极小值 2 极大值3c 极小值 2 极大值2d 极小值 1 极大值3解析 y 3 3x2 令y 3 3x2 0 得x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下 3 已知函数f x x3 ax2 bx在x 1处有极值为 1 则f 2 等于 解析 由题意得f 1 0 f 1 1 f x 3x2 2ax b 即f 1 3 2a b 0 f 1 1 a b 1 得a 1 b 1 f 2 8 4a 2b 2 答案 2 课堂互动讲义 求下列函数的极值 1 f x x4 2x2 2 f x x2e x 求函数的极值 边听边记 1 函数f x 的定义域为r f x 4x3 4x 4x x 1 x 1 令f x 0 得x 0或x 1或x 1 列表 求可导函数y f x 极值点的步骤 1 确定函数的定义域 2 求出导数f x 3 解方程f x 0 4 对于方程f x 0的每一个解x0 分析f x 在x0左 右两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 若f x 在x0两侧的符号 左正右负 则x0为极大值点 若f x 在x0两侧的符号 左负右正 则x0为极小值点 若f x 在x0两侧的符号相同 则x0不是极值点 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 求a b的值 思路导引 解答本题可先求f x 利用x 1时有极值0这一条件建立关于a b的方程组 解方程组可得a b的值 最后将a b代入原函数验证极值情况 已知函数的极值求参数值 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 7分当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 9分 对于可导函数f x 通过极值点与导数的关系可知极值点必为f x 0的根 而要明确是极大值点 还是极小值点必须考察极值点附近两侧的导数的符号 同时本题从逆向思维出发 实现了问题由已知向未知的转化 在转化过程中 利用了列表 直观易于得到极值 2 已知函数f x x5 ax3 bx 1 仅当x 1 x 1时取得极值 且极大值比极小值大4 1 求a b的值 2 求f x 的极大值和极小值 解析 1 f x x5 ax3 bx 1的定义域为r f x 5x4 3ax2 b x 1时有极值 5 3a b 0 b 3a 5 设a为实数 函数f x x3 x2 x a 1 求f x 的极值 2 当a在什么范围内取值时 曲线y f x 与x轴仅有一个交点 思路导引 1 中利用求极值的步骤进行 2 结合第 1 问的结论利用数形结合加以分析 函数极值的应用 利用极值判断方程根的问题 实际上是利用连续函数的一个原理 即若连续函数f x 在区间 a b 内 有f a f b 0 则f x 与x轴至少有一个交点 具体解题时应结合图形作全面分析 若函数f x x x c 2在x 2处有极大值 则常数c 错解 f x x c 2 x 2 x c x c 3x c 由f x 在x 2处有极大值 f 2 0 即 2 c 6 c 0 解得c 2或c 6 答案 2或6 错因 上述解答时没考虑极值点与导数的关系 可导函数f x0 0是x0为极值点的必要不充分条件 若x0为极大值点 则f x 在x0附近左正右负 若x0为极小值点 则f x 在x0附近左负右正 x