四川省宜宾市2018-19学年高中数学第十八周期末复习题一.docx

四川省宜宾市一中2018-2019学年高中数学第十八周期末复习题一一选择题（每小题5分，共12小题）1已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，48，用系统抽样方法（按等距离规则），从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（）A 16 B 22 C 29 D 33【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.【详解】样本间隔为4818=6，则抽到的号码为5+6（k1）=6k1，当k=2时，号码为11，当k=3时，号码为17，当k=4时，号码为23，当k=5时，号码为29，故选：C【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题2过点P1,1作直线l与两坐标轴的正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样的直线l有（ ）A 1条 B 2条 C 3条 D 0条【答案】A【解析】【分析】设直线的截距式方程，根据直线过点P1,1，可得1a+1b=1，根据面积公式，得ab2=2，联立方程组，求解后即可判断.【详解】根据题意设方程xa+yb=1a0,b0 ，已知直线过过点P1,1，可得1a+1b=1 ，根据直线与坐标轴围成的三角形面积为2，可知ab2=2，联立解得a=2,b=2 ，即满足条件的直线方程为x2+y2=1故选A.【点睛】本题考查了求直线的截距式方程，考查了直线方程形式的灵活应用，当题目中涉及直线与坐标轴的两个截距，求直线时，可选用截距式进行求解.3根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A 2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B 2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C 2008年我国实际利用外资同比增速最大D 2010年以来我国实际利用外资同比增速最大【答案】C【解析】【分析】根据图形逐一判断每一个选项的正误.【详解】对于选项A, 2000年以来我国实际利用外资规模,基本上是逐年上升的，利用外资规模与年份正相关，所以选项A是错误的；对于选项B,2010年以来我国实际利用外资规模,2012年比2011年少，所以选项B是错误的；对于选项C, 2008年我国实际利用外资同比增速最大,从折线图可以看出，所以选项C是正确的；对于选项D,208年以来我国实际利用外资同比增速最大,所以选项D是错误的.故答案为：C.【点睛】本题主要考查相关关系和学生对图表信息的提取分析能力，意在考查学生对这些知识的掌握水平.4已知圆C:x2+y2=4，直线l:y=x+b当实数b0,6时，圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为A 23 B 22 C 12 D 13【答案】A【解析】【分析】由已知求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式分别求出满足圆上有一点和三点到直线l的距离为1的b值，由测度比为长度比得答案【详解】圆C的圆心坐标为O（0，0），半径为2，直线l为：xy+b=0由b2=3，即b=32时，圆上恰有一个点到直线距离为1，由b2=1，即b=2时，圆上恰有3个点到直线距离为1当b（2，32）时，圆上恰有2个点到直线l的距离为1，故概率为32-26=23故选：A【考点】圆、几何概型【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比5已知直线y=mx+2m+1与直线x+2y-4=0的交点位于第一象限，则实数m的取值范围是( )A m12 B m12C -6m2 D -16m0x0，解得即可【详解】联立y=mx+2m+1x+2y-4=0，解得x=2-4m2m+1y=1+6m2m+1,直线y=kx+2k+1与直线y=12x+2的交点位于第一象限，x=2-4m2m+10y=1+6m2m+10，解得-16m12故选：D【点睛】本题考查了直线的交点、不等式的解法，属于基础题考查了点在不同象限的点坐标的特点，第一象限横纵坐标都大于0，第二象限横坐标大于0纵坐标小于0，第三象限横纵坐标都小于0，第四象限横坐标大于0纵坐标小于0.6有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A i6 B i7 C i8 D i9【答案】B【解析】【分析】运行流程图，结合选项确定空白的判断框内可以填入的的内容即可.【详解】程序运行过程如下：首先初始化数据：N=0,i=1，此时N的值不大于1000，应执行：N=N+3i=3，i=i+1=2；此时N的值不大于1000，应执行：N=N+3i=12，i=i+1=3；此时N的值不大于1000，应执行：N=N+3i=39，i=i+1=4；此时N的值不大于1000，应执行：N=N+3i=120，i=i+1=5；此时N的值不大于1000，应执行：N=N+3i=363，i=i+1=6；此时N的值不大于1000，应执行：N=N+3i=1092，i=i+1=7；此时N的值大于1000，应跳出循环，即i=6时程序不跳出循环，i=7时程序跳出循环，结合选项可知空白的判断框内可以填入的是i0.由于过P可以做圆的两条切线，故P点在圆外.将P点的坐标代入圆的方程，变为关于k的一元二次不等式，解这个不等式可求得k的取值范围.【详解】由于过P可以做圆的两条切线，故P点在圆外.将P点的坐标代入圆的方程得，1+4+k+4+k20，即k2+k+90，由于其判别式为负数，故恒成立. 另外二元二次方程是圆的方程，要满足D2+E2-4F0，即k2+22-4k20，即k20.而判断一个点和一个圆的位置关系，可将点的坐标代入圆的方程，根据所得的结果来进行判断.8过点P(-3,0)作直线2x+(+1)y+2=0(R)的垂线，垂足为M，已知点N(3,2)，则当变化时，|MN|的取值范围是()A 0,5+5 B 5-5,5+5 C 5,5+5 D 5-5,5【答案】B【解析】【分析】化已知直线为(2x+y)+(y+2)=0，即有2x+y=0且y+2=0，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值【详解】解：直线2x+(+1)y+2=0(R)，即(2x+y)+(y+2)=0，由y+2=02x+y=0，求得y=-2x=1，直线经过定点Q(1,-2)由PQM为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，可得圆心为PQ的中点H(-1,-1)，半径为r=12|PQ|=5，则N(2,3)与M的最大值为NH+r=(2+1)2+(3+1)2+5=5+5，则N(2,3)与M的最小值为NH-r=(2+1)2+(3+1)2-5=5-5，故MN的范围为：5-5,5+5，故选：B【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题9如图：正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是（）A 线段 B 圆弧C 椭圆的一部分 D 抛物线的一部分【答案】A【解析】如图，过做，垂足为，连接.因为平面，平面，故.又因，故平面，而平面，所以.因为，故平面，则为直角三角形且，而，故，故，故为的角平分线，故为定点，又，故的轨迹为过且垂直于的线段.选A.点睛：题设中给出了，我们需要把这种垂直关系转化为平面中的的某种几何性质，故在平面中作，通过空间中垂直关系的转化得到为定点，从而在一条定线段上.10如图，若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到点A的距离之比为正常数，且动点P的轨迹是抛物线，则二面角A-BC-D平面角的余弦值为（ ）A B 1-2 C 1 D 1-12【答案】B【解析】如图所示，作AAAC=A，取AA的中点Q，作QQ平面BCD于点Q，连结AQ，QQ平面BCD，BC平面BCD，则BCQQ，且AAQQ=Q，据此有BC平面AQQ，结合线面垂直的定义可知：BCAQ，则QAQ为二面角A-BC-D的平面角，由几何关系可知，点Q为抛物线的顶点，结合题意可知：QQQA=QQQA=，则：cosQAQ=QQQA=1-2，即二面角A-BC-D平面角的余弦值为1-2，本题选择B选项.点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角11如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=1，BC=3，点M在棱CC1上，且MD1MA，则当MAD1的面积最小时，棱CC1的长为（）A 322 B 102 C 2 D 2【答案】A【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，D0,0,0，设M0,1,t,D10,0,z,A3,0,0,zt0,z0， MD1=0,-1,z-t,AM=-3,1,t，MD1MA,MD1AM=-1+tz-t=0，即z-t=1t，SAMD1=12AMMD1=1212+32+t212+z-t2=1242+t21+z-t2=1242+t21+1t2=125+t2+4t2125+2t24t2=32，当且仅当t=2,z=322时取等号，所以CC1=z=322 ，故选A【方法点晴】本题主要考查空间向量垂直的坐标表示以及立体几何中的最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是转化为点到直线距离、到平面的距离以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.12已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且F1F2=3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1e2的最大值是（ ）A 3 B 433 C 2 D 233【答案】D【解析】【分析】设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长a2，焦距2c，根据椭圆及双曲线的定义可以用a1,a2表示出PF1,PF2,在F1PF2中根据余弦定理可得到1e12+3e22=4,利用基本不等式可得结论.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义PF1+PF2=2a1,PF1-PF2=2a2，PF1=a1+a2,PF2=a1-a2，设F1F2=2c,F1PF2=3，则在PF1F2中由余弦定理得4c2=a1+a22+a1-a22-2a1+a2a1-a2cos3，化简a12+3a22=4c2，该式变成1e12+3e22=4，1e12+3e22=423e1e2，1e1e2233，1e1e2的最大值是233，故选D.【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义以及椭圆与双曲线的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出a,c，从而求出e;构造a,c的齐次式，求出e;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.13与两平行直线：l1：3x-y+9=0, l2：3x-y-3=0等距离的直线方程为_ .【答案】3x-y+3=0【解析】【分析】设所求直线方程为3x-y+c=0，利用平行直线间的距离公式得到c值.【详解】设与直线l1：3x-y+9=0, l2：3x-y-3=0等距离的直线l的方程为3x-y+c=0，则|9c|=|-3c|，解得c=3，直线l的方程为3x-y+3=0【点睛】本题考查的重点是两条平行直线间的距离，解题的关键是利用两条平行直线间的距离公式14已知袋中装有大小相同、质地均匀的2个红球和3个白球，从中一次摸出2个，恰有1个是红球的概率为_【答案】35【解析】【分析】利用列举法能求出“从中一次摸出2个，恰有1个是红球的”的所有情况，然后再根据古典概型求出概率【详解】设2个红球编号为x,y，3个白球编号为a,b,c，任取2个，所有可能为：x,y,x,a,x,b,x,c,y,a,y,b,y,c,a,b,a,c,b,c基本事件共有10个，恰有1个是红球的有6个，所以，所求概率为：P=610=35.【点睛】本题主要考查古典概率等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，列出所有的基本事件，求出满足要求的基本事件是解决本题的关键.15已知点为椭圆的左右焦点，点为抛物线与椭圆的一公共点，若，则。16.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，中心为O， BF=12BC， A1E=14A1A，则四面体OEBF的体积为【解析】如图所示，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则O(12,12,12),B(1,1,0),E(1,0,34),F(12,1,0)，则OE=14+14+116=34,OB=32,BE=54，所以cosBOE=916+34-251623432=-39，所以sinBOE=789，所以SOEB=123432789=2616，设平面OEB的一个法向量为n=(x,y,z)，由nOE=12x-12y+14z=0nOB=12x+12y-12z=0，取z=1，得n=(14,34,1)，又BE=(-12,0,0)，所以F到平面OEB的距离h=nBFn=18268=2652，所以四面体OEBF的体积为V=13SOEBh=1326162652=196。17（1）过点P(2,4)向圆O:x2+y2=4作切线，求切线的方程； （2）点P在圆x2+y2+4x-6y+12=0上，点Q在直线4x+3y=21上，求|PQ|的最小值.【答案】（1）x=2或3x-4y+10=0；（2）|PQ|的最小值为3.【解析】试题分析：求圆的切线问题分两类，一类是过圆上一点(x0,y0) 求圆x2+y2=r2 的切线方程，可以直接写出（x0x+y0y=r2）,另一类是过圆外一点求圆的切线方程，由于此点在圆外，因此切线有两条，为什么有时会求出一条？事实上，另一条的斜率不存在，所以要补上；解决圆的切线方程最简单的方法就是利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程解出斜率，但要关注斜率不存在的情形就可以了.求圆上一点到直线上一点距离的最小值，一般化为求圆心到直线的距离减去圆的半径.试题解析：设切线方程为y-4=k(x-2)，即kx-y-2k+4=0，则4-2kk2+1=2k=34 ，切线方程为34x-y-234+4=0，即3x-4y+10=0.又过点P(2,4)垂直x轴的直线x=2也与圆相切，故所求切线方程为x=2或3x-4y+10=0；把圆的方程化为(x+2)2+(y-3)2=1，圆心(-2,3)，半径为1，圆心到直线4x+3y-21=0的距离为d=-8+9-2142+32=205=4 ，PQ的最小值为4-1=3.【点睛】求圆的切线问题分两类，一类是过圆上一点求圆的切线方程，可以直接写出（）,另一类是过圆外一点求圆的切线方程，解决圆的切线方程最简单的方法就是利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程解出斜率，但要关注斜率不存在的情形就可以了， 由于此点在圆外，因此切线有两条，为什么有时会求出一条？事实上，另一条的斜率不存在，所以要补上；求圆上一点到直线上一点距离的最值，一般化为求圆心到直线的距离加上半径或减去圆的半径.18某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份201220132014201520162017年份代码t123456年产量y（万吨）6.66.777.17.27.4（1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程y=bt+a；（2）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量附：对于一组数据t1,y1，t2,y2，tn,yn，其回归直线y=bt+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=i=1nti-tyi-yi=1nti-t2，a=y-bt（参考数据：i=16ti-tyi-y=2.8，计算结果保留小数点后两位）【答案】（1）y=0.16t+6.44（2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨【解析】【分析】（1）先求得t,y，然后利用线性回归方程的计算公式计算得到b,a的值，从而求得线性回归方程.（2）将t=8代入（1）求得的回归直线方程，来求2019年产量的预测值.【详解】（1）由题意可知：t=1+2+3+4+5+66=3.5，y=6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.46=7，i=16ti-t2=-2.52+-1.52+-0.52+0.52+1.52+2.52=17.5，b=i=1nti-tyi-yi=1nt1-t2=2.817.5=0.16，又a=y-bt=7-0.163.5=6.44，y关于t的线性回归方程为y=0.16t+6.44（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码t=8，此时y=0.168+6.44=7.72，所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，并考查了利用回归直线方程来预测的知识.求解回归直线方程，只需要将题目所给的数据，代入回归直线方程的计算公式，即可求解出来.属于基础题.主要是运算不要出错，并且，回归直线方程值y=bx+a，不是y=ax+b，这一点要特别注意.19如图，在三棱台ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E平面ABC，AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，ACB=90（）证明：B1C平面A1DE；（）求二面角ABB1C的余弦值【答案】（1）见解析； （2）14.【解析】【分析】（）先证明B1B平面A1DE，BC平面A1DE，再证平面B1BC平面A1DE，即证B1C平面A1DE. （）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，利用向量法求求二面角ABB1C的余弦值【详解】（）证明：因为A1B1AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1A1D又BB1平面A1DE，A1D平面A1DE，所以B1B平面A1DE，因为DE是ABC的中位线，所以DEBC，同理可证，BC平面A1DE因为BB1BC=B，所以平面B1BC平面A1DE，又B1C平面B1BC，所以B1C平面A1DE（）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，设BC=a，则A（0，a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），B1=（0，0，3a），则AB1=（0，a，3a），AB=（a，2a，0）设平面ABB1的一个法向量m=（x1，y1，z1），则mAB1=0mAB=0，即ay1+3az1=0ax1+2ay1=0，取z1=1，得m=（23，-3，1）同理，设平面BB1C的一个法向量n=（x，y，z），又CB1=（0，-a，3a），BC=（-a，0，0），由nCB1=0nBC=0，得-ax=0-ay+3az=0，取z=1，得n=（0，-3，-1），所以cosm,n=mn|m|n|=14，故二面角ABB1C的余弦值为：14【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题202018年“五一”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔辆就抽取一辆的抽样方法抽取名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：后得到如图的频率分布直方图（）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值（）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率【答案】（）众数的估计值是，中位数的估计值是；（）【解析】试题分析：（）这是一道频率分布直方图的识图问题，一般的，一组数据的众数其估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标，据此再结合本题的频率分布直方图即可估计出所求的众数；（）由图先算出车速在和的车辆数，再列出基本事件的总数及符合条件的事件的个数，即可求得所需的概率试题解析：（）众数的估计值为最高矩形的中点横坐标，即众数的估计值等于设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：，解得即中位数的估计值为（）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），车速在的车辆数为 ：（辆）设车速在的车辆设为a，b，车速在的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b） （a，c）（a，d）（a，e）（a，f）；（b，c）（b，d）（b，e）（a，f）；（c，d）（c，e）（c，f）；（d，e）（d，f）（e，f）共15种其中车速在的车辆恰有一辆的事件有：共8种 所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为考点：1、频率分布直方图；2、众数；3、古典概型21已知抛物线E:x2=2pyp0的焦点为F，A2,y0是E上一点，且AF=2.（1）求E的方程；（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y=x-3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.【答案】（1）E的方程为x2=4y；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义利用AF=2.可求p=2，进而求得E的方程；（2）证明：设Bx1,y1，Mx2,y2.由题意，可设直线BM的方程为y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0.由MPx轴及点P在直线y=x-3上，得Px2,x2-3，则由A，P，B三点共线，得x2-4x2-2=kx1+b-1x1-2， 整理，得k-1x1x2-2k-4x1+b+1x2-2b-6=0.结合韦达定理可得2-x12k