高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数课件.ppt

2 5指数与指数函数 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 我们规定正数的正分数指数幂的意义是 a 0 m n n 且n 1 于是 在条件a 0 m n n 且n 1下 根式都可以写成分数指数幂的形式 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿 我们规定 a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 有理数指数幂的运算性质 aras ar s ab r 其中a 0 b 0 r s q 1 分数指数幂 知识梳理 0 没有意义 ar s ars arbr 2 指数函数的图象与性质 0 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 1 指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ax a 0 且a 1 的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 1 2 指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 底数a b c d与1之间的大小关系为c d 1 a b 由此我们可得到以下规律 在第一象限内 指数函数y ax a 0 且a 1 的图象越高 底数越大 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 4 函数y a x是r上的增函数 5 函数 a 1 的值域是 0 6 函数y 2x 1是指数函数 考点自测 1 2016 临安中学期末 已知函数f x ax 2 2的图象恒过定点a 则a的坐标为a 0 1 b 2 3 c 3 2 d 2 2 由a0 1知 当x 2 0 即x 2时 f 2 3 即图象必过定点 2 3 答案 解析 则a b c的大小关系是a c a bb a b cc b a cd c b a 答案 解析 c b a 2 答案 解析 x 0 x 0 3 x 3 0 23 x 23 8 0 8 23 x 8 函数y 8 23 x的值域为 0 8 答案 解析 4 函数y 8 23 x x 0 的值域是 0 8 题型分类深度剖析 题型一指数幂的运算 例1化简下列各式 解答 解答 1 指数幂的运算首先将根式 分数指数幂统一为分数指数幂 以便利用法则计算 还应注意 必须同底数幂相乘 指数才能相加 运算的先后顺序 2 当底数是负数时 先确定符号 再把底数化为正数 3 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 思维升华 跟踪训练1 答案 解析 题型二指数函数的图象及应用 例2 1 已知实数a b满足等式2017a 2018b 下列五个关系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的关系式有a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 解析 如图 观察易知 a b的关系为a b 0或0 b a或a b 0 2 已知函数f x 2x 1 af c f b 则下列结论中 一定成立的是a a0c 2 a 2cd 2a 2c 2 答案 解析 作出函数f x 2x 1 的图象 如图 af c f b 结合图象知 00 0f c 1 2a 2c 1 2a 2c 2 故选d 1 已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点 判断所给的图象是否过这些点 若不满足则排除 2 对于有关指数型函数的图象问题 一般是从最基本的指数函数的图象入手 通过平移 伸缩 对称变换而得到 特别地 当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论 3 有关指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应的指数型函数图象 数形结合求解 思维升华 跟踪训练2 1 2017 湖州调研 已知函数f x ax b的图象如图所示 则函数g x ax b的图象可能是 答案 解析 由f x 的单调性知01 x 1时 a1 b 1 0 b 1 对照图象知g x 的图象可能是a 2 若曲线 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b的取值范围是 答案 解析 1 1 曲线 y 2x 1与直线y b的图象如图所示 由图象可知 如果 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b应满足的条件是b 1 1 题型三指数函数的性质及应用 命题点1指数函数单调性的应用 例3 1 2016 绍兴模拟 下列各式比较大小正确的是a 1 72 5 1 73b 0 6 1 0 62c 0 8 0 1 1 250 2d 1 70 3 0 93 1 选项b中 y 0 6x是减函数 0 6 1 0 62 答案 解析 3 1 答案 解析 a 3 又a 0 3 a 0 0 a 1 综上 a的取值范围为 3 1 命题点2复合函数的单调性 例4 1 已知函数f x 2 m为常数 若f x 在区间 2 上是增函数 则m的取值范围是 答案 解析 4 而y 2t为r上的增函数 所以要使函数f x 2在 2 上单调递增 1 又u x2 2x 1的增区间为 1 f x 的减区间为 1 答案 解析 引申探究函数f x 的单调增区间是 设t 2x 则y t2 2t的单调增区间为 1 令2x 1 得x 0 函数f x 的单调增区间是 0 答案 解析 0 命题点3函数的值域 或最值 答案 解析 2 如果函数y a2x 2ax 1 a 0 且a 1 在区间 1 1 上的最大值是14 则a的值为 答案 解析 令ax t 则y a2x 2ax 1 t2 2t 1 t 1 2 2 所以ymax a 1 2 2 14 解得a 3 负值舍去 1 在利用指数函数性质解决相关综合问题时 要特别注意底数a的取值范围 并在必要时进行分类讨论 2 与指数函数有关的指数型函数的定义域 值域 最值 单调性 奇偶性的求解方法 要化归于指数函数来解 思维升华 跟踪训练3 1 已知函数f x 的值域是 8 1 则实数a的取值范围是a 3 b 3 0 c 3 1 d 3 答案 解析 当0 x 4时 f x 8 1 所以实数a的取值范围是 3 0 0 所以g x g 0 0 所以g x g 0 0 所以函数g x 的最小值是0 答案 解析 指数函数底数的讨论 现场纠错系列2 与指数函数 对数函数的单调性有关的问题 要对底数进行讨论 错解展示 现场纠错 纠错心得 解析令t x2 2x x 1 2 1 返回 答案2 2 解析令t x2 2x x 1 2 1 若a 1 函数f x at在 1 0 上为增函数 若0 a 1 函数f x at在 1 0 上为减函数 返回 课时训练 1 2016 宁波模拟 设2x 8y 1 9y 3x 9 则x y的值为a 18b 21c 24d 27 2x 8y 1 23 y 1 x 3y 3 9y 3x 9 32y x 9 2y 解得x 21 y 6 x y 27 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 函数f x 2 x 1 的图象是 x 1 0 f x 1 排除c d 又x 1时 f x min 1 排除a 故选b 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知a 40 2 b 0 40 2 c 0 40 8 则a a b cb a c bc c a bd b c a 答案 解析 由0 20 40 8 即b c 又a 40 2 40 1 b 0 40 2b 综上 a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知f x 3x b 2 x 4 b为常数 的图象经过点 2 1 则f x 的值域为a 9 81 b 3 9 c 1 9 d 1 由f x 过定点 2 1 可知b 2 因为f x 3x 2在 2 4 上是增函数 所以f x min f 2 1 f x max f 4 9 故选c 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2015 山东 若函数f x 是奇函数 则使f x 3成立的x的取值范围为a 1 b 1 0 c 0 1 d 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 f x 为奇函数 f x f x 当x 0时 2x 1 0 2x 1 3 2x 3 解得0 x 1 当x 0时 2x 1 0 2x 1 3 2x 3 无解 x的取值范围为 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 富阳模拟 已知g x ax 1 f x 对任意x1 2 2 存在x2 2 2 使g x1 f x2 成立 则a的取值范围是a 1 b 1 1 c 0 1 d 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意可得g x x 2 2 的值域为f x x 2 2 的值域的子集 经分析知f x x 2 2 的值域是 4 3 当a 0时 g x 1 符合题意 当a 0时 g x x 2 2 的值域是 2a 1 2a 1 当a 0时 g x x 2 2 的值域是 2a 1 2a 1 综上可得 1 a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 设函数f x 则使得f x 2成立的x的取值范围是 当x 1时 由ex 1 2 得x 1 ln2 x 1时恒成立 当x 1时 由x 2 得x 8 1 x 8 综上 符合题意的x的取值范围是 8 答案 解析 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0且a 1 的图象有两个公共点 则a的取值范围是 数形结合法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 0 t 1 y f x 是定义在r上的奇函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 当x 1 时 不等式 m2 m 4x 2x 0恒成立 则实数m的取值范围是 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求f x 的单调区间 解答 不论a取何值 t在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 因此f x 的单调递增区间是 0 单调递减区间是 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 所以g x x a应该有最小值 2 即g 0 2 从而a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 12 已知函数f x 1 若a 1 求f x 的单调区间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当a 1时 f x 令t x2 4x 3 由于t在 2 上单调递增 所以f x 在 2 上单调递减 在 2 上单调递增 即函数f x 的单调递增区间是 2 单调递减区间是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若f x 有最大值3 求a的值 解答 由于f x 有最大值3 所以g x 应有最小值 1 即当f x 有最大值3时 a的值为1 1 2 3 4 5 6 7