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1 2 3导数的四则运算法则 一 函数和 或差 的求导法则 设f x g x 是可导的 则 f x g x f x g x 即两个函数的和 或差 的导数 等于这两个函数的导数的和 或差 即 证明 令y f x g x 则 即 同理可证 这个法则可以推广到任意有限个函数 即 二 函数积的求导法则 设f x g x 是可导的函数 则 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘以第二个函数 加上第一个函数乘以第二个函数的导数 即 证 因为v x 在点x处可导 所以它在点x处连续 于是当 x 0时 v x x v x 从而 推论 常数与函数的积的导数 等于常数乘函数的导数 即 三 函数的商的求导法则 设f x g x 是可导的函数 g x 0 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除以分母的平方 即 例1 求多项式函数f x 的导数 解 f x 例2 求y xsinx的导数 解 y x sinx x sinx x sinx sinx xcosx 例3 求y sin2x的导数 解 y 2sinxcosx 2 cosx cosx sinx sinx 2cos2x 例4 求y tanx的导数 解 y 例5 求y cosx的导数 解法一 y cosx cosx cosx 解法二 y cosx 例6 求y 的导数 解 练习题 1 函数y sin2x的导数为 A y cos2x B y 2cos2x C y 2 sin2x cos2x D y sin2x B 2 下列曲线在点x 0处没有切线的是 A y x3 sinx B y x2 cosx C y x 1 D y D 3 若f x 与g x 是定义在R上的两个可导函数 且f x g x 满足f x g x 则f x 与g x 满足 A f x g x B f x g x 为常数函数 C f x g x 0 D f x g x 为常数函数 B 4 曲线y x3 x2 l在点P 1 1 处的切线方程为 y x 2 5 曲线y sinx在点P 处的切线的倾斜角为 6 函数y sinx cosx 1 的导数为 y cos2x cosx 7 已知抛物线y x2 bx c在点 1 2 处与直线y x 1相切 求b c的值 8 若直线y kx与曲线y x3 3x2 2x相切 试求k的值 解 y x3 3x2 2x y 3x2 6x 2 y x 0 2 又 直线与曲线均过原点 当直线y kx与曲线y x3 3x2 2x相切于原点时 k 2 若直线与曲线切于点 x0 y0 x0 0 则k 又点 x0 y0 也在曲线y x3 3x2 2x上 y0 x03 3x02 2x0 又 y 3x2 6x 2 k 3x02 6x0 2 x0
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