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考研数学知识体系总结：一 函数极限及连续1函数概念如何判断两个函数相等：定义域 对应法则都相同2函数的几何性质：奇偶性 f（-x）=f（x）为偶函数，f（-x）=-f（x）为奇函数。周期性f（x+t）=f（x）为以t为周期的周期函数。有界性 y= f（x）在数集X上有定义即 x属于X，有| f（x）|m，则有上界。3常见初等函数幂指对三反4隐函数 分段函数 反函数5 极限的性质唯一性 保号性 有界性6 极限存在的判别法则夹逼定理 g(x)f(x)h(x) 且g(x)， h(x)极限等于A 则f（x）极限等于A。单调有界数列必有极限 （归纳法）7计算极限的方法等价无穷小： 当x0，且x0，则 xsinxtanxarcsinxarctanx; xln(1+x)(ex-1); (1-cosx)x*x/2; (1+x)n-1nx; loga(1+x)x/lna;a的x次方xlna;(1+x)的1/n次方1/nx(n为正整数）；注： 是乘方洛必达法则泰勒公式两个重要极限：多项式：8连续闭区间上左极限等于右极限等于函数值9间断点（1）第一类间断点：左右界限存在不相等，跳跃；左右极限存在且相等，可去（2）第二类间断点：无穷间断地；震荡间断点10无穷大无穷小的比较11闭区间上连续函数的性质 最大值最小值 零点定理 介值定理 二导数与微分1导数定义式：题中已知在某点处导数，用定义式做2求导法则 3复合函数 隐函数求导4高阶导数：莱布尼兹公式： 5函数的微分公式： 三微分中值定理（1）罗尔定理罗尔（Rolle）定理 如果函数f（x）在 闭区间a,b上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点(ab),使得函数f（x）在该点的导数等于零， 即f（）=0（2）拉格朗日拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f(x)在闭区间上连续, 在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点，使等式 成立.（3）柯西中值柯西（Cauchy）中值定理 如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式 成立.（4）洛必达法则基本型 0/0 / 型（5）泰勒公式: Taylor中值定理：如果函数在的某区间内具有直到阶的导数，则当时，可表示为的一个多项式和一个余项之和：6函数的单调性与极值 f（x）一阶导数0 函数单调增加 f（x）一阶导数0 函数单调减少 左增右减的点是极大值点 左减右增的点是极小值点 7函数图像的凹凸性及拐点：f（x）二阶导数=0 是驻点，f（x）二阶导数0 图像为凹 极小值 f（x）二阶导数0 图像为凸极大值 只有当驻点左右凹凸性改变了 才是拐点8函数的渐近线斜渐近线： 水平 垂直 9图像描述10 最大值最小值 极值点与端点值比较 最大的为最大值 最小的为最小值四不定积分1不定积分公式 2积分方法:（1）第一类换元定理1 设具有原函数，可导，则第一换元法是复合函数求导法则的逆运算，也是微分运算的逆运算，目的是将凑成中间变量的微分，转化成对中间变量的积分。（2）第二类换元 第二换元法中的三角代换及根式代换 1：被积函数中含有（）,可令（并约定）则；可将原积分化作三角有理函数的积分分部积分2被积函数中含有可令 并约定，则； ；可将原积分化为三角有理函数的积分，3不定积分的性质 1 2 3 被积分函数中含有 ，当时，可令，并约定，则，当时，可令，则，可将原积分化为三角有理函数的积分。（3）分部积分法是另一个基本的不定积分法，它是由乘积的微分公式得 此公式就是分部积分公式。若求较难，而求较易，可用分部积分公式。使用分部积分法的关键是正确选择和。五定积分1定积分性质：性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和， 性质4 如果在区间a，b上 f (x)1，则 性质5 如果在区间a，b上，f (x)0，则 性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在外a，b上的最大值及最小值，则 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续， 则在积分区间a, b上至少存在一个点x ， 使下式成立： f (x)dx = f (x )(b-a)2反常积分（1）无穷限的反常积分 （2）无界函数的反常积分（瑕积分） 3变上限积分求导：当在上变动时，对应于每一个值，积分就有一个确定的值，因此是变上限的一个函数，记作，称函数为变上限的定积分4奇偶函数的积分性质5周期函数的积分性质6 牛顿莱布尼茨公式：设函数在闭区间上连续，如果是的任意一个原函数，则，以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿莱布尼茨公式六多元函数微分法及应用（一）偏导和全微分1二元连续函数性质（1） 二元连续函数和差积仍为连续函数（2） 二元连续函数复合函数也是连续函数（3） 在闭区间d上的连续函数，在区域d是必有最大值最小值（4） 在闭区间d上的连续函数，在区域d上必取得介于最大值最小值间的任何值2偏导数：函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数3全微分：如果二元函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处的两个偏导数存在且连续，称 为函数z = f (x , y) 在点 (x0 , y0)的全微分，4多元复合函数的导数： 设函数，则 这个公式称为求复合函数偏导的链式法则。5隐函数微分法6高阶偏导：，7二阶连续偏导：对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微可导。但对二元函数，可微与偏导存在并不等价，即：可微偏导存在，反之未必。（二）多元函数微分方法的应用1无条件极值：2条件极值拉格朗日函数3计算方法：（三）二重积分1几何意义：二重积分的值等于以区域d为底，一曲面z=f(x,y)为顶的曲顶直柱体的体积。2性质：(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. (3).如果把积分区域()分成两个子域(1)与(2),即()=(1)+(2),那末: (4).如果在()上有f(x,y)g(x,y),那末: (5).设f(x,y)在闭域()上连续,则在()上至少存在一点(,),使 其中是区域()的面积.3计算: (1) 交换积分次序(2) 交换直角坐标与极坐标：(3) 二重积分的对称性：奇偶性(4) 分段二重积分七 无穷级数（一）数项级数1正项级数比较判别法：定理1(比较判别法) 两个正项级数和,且,则若级数收敛,则级数也收敛;若级数发散,则级数也发散.极限比较判别法：设和都是正项级数,若,则级数和的敛散性相同.比值判别法：设为正项级数,且存在某正整数及常数若对一切,成立不等式,则级数收敛.若对一切,成立不等式,则级数发散.2调和级数3 P级数4绝对收敛和条件收敛（二）幂级数1收敛半径和区间：2性质：3收敛域求法:(1) 缺项(2) 不缺项函数展 幂级数泰勒级数八常微分方程和差分方程1一阶微分方程（1） 可分离变量：分离变量，两边求积分，根据已知求出常数c（2） 齐次微分方程：设 U=y/x（3） 一阶线性微分方程：（4） 一阶线性微分方程解的结构：非齐次通解=齐次通解+非齐次特解2二阶常系数微分方程（1） 是二阶线性齐次方程也是该方程的解.特征方程 有两个相异实根r1 r2因此方程的通解为特征方程有两个相等实根r1 =r2因此原方程的通解为特征方程有一对共轭复根，因此原方程的通解为（2）