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论文势阱中粒子运动状态的研究 论文 定稿(定稿) 本科生毕业论文（设计）题目势阱中粒子运动状态的研究姓名董贤宝指导教师马堃院系信息工程学院专业物理学提交日期xx年5月7日目录中文摘要2外文摘要3引言41一维无限深势阱42一维半无限深势阱72.1模型172.2模型2103一维有限深势阱123.1势阱外133.2势阱内133.2.1偶宇称态143.2.2奇宇称态144总结15参考文献17致谢18势阱中粒子运动状态的研究06物理董贤宝指导教师马堃（黄山学院信息工程学院，黄山，安徽245041）摘要本文将对粒子在一维势阱中的行为进行系统的研究。 具体地，将针对不同位置的一维有限深、无限深势阱对应薛定谔方程的解法进行探讨，并对以上势阱中的粒子运动行为进行研究，总结出不同势阱对粒子运动行为的影响。 得知一维无限深势阱是一维半无限深势阱的特例，而一维半无限深势阱是一维有限深势阱的特例。 所以我们只要掌握了一维有限深势阱的情况，那么对于一维半无限深势阱和一维无限深势阱的情况，就很容易了解了。 关键词势阱，波函数，能量Potential wellin thestate ofparticle motionPhysics06Dongxianbao DirectorMa Kun(College ofInformation Engineering,Huangshan University,Anhui,China,245041)Abstract:The behavior of the particle whichin one-dimensional potential well hasbeen studiedin thispaper.Corresponds to the solutionof theSchrodinger equationgave beengiven.Then theinfection ofpotential welltothebehaviorof theparticlebeen summarizedat last.We knowthat onedimensional infinite potentialwell is one-dimensional semi-infinite well ofthespecial caseand one-dimensional semi-infinite one-dimensional potentialwellisa specialcase offinitepotentialwell.Once wehave onlya limitedgrasp ofthe one-dimensional potentialwellofthe situation.Then wecan clearlyunderstand one-dimensional semi-infinite welland theone-dimensional infinitewell case(Wave functionand energylevel formulas).Key Words:Potential well,Wave function,Energy引言量子力学最基本的任务就是求解薛定谔方程，而薛定谔方程的求解的难易主要取决与势函数的形式，目前可以精确求解的薛定谔方程很少，这主要是由于具体问题中的势函数所带来的计算困难。 目前，国内外初等量子力学教材中1-3，都普遍地将一维无限深势阱模型作为可以精确求解的一个例子。 然而，教材中多以单个模型势阱进行了讲解，没有扩展到一般的情况。 近年，在教学和科研方面，也有不少学者针对这一问题进行了研究4-10，xx年，刘敏等4通过作图研究了一维无限深势阱中引入势垒后的能级变化情况，随着双势阱的垒高不断增大，相邻的奇宇称能级与偶宇称能级逐渐接近，当势垒高度趋于无穷大时，二者相等，能级由原来的非简并变成了简并；xx年，梁麦林等5对无限深势阱中自旋为0和1/2的相对论粒子进行了研究，分别计算了坐标、动量以及速度算符的矩阵元；同年，徐建良等利用数值计算的方法，研究了一维对称双势阱的透射系数与势阱的深度、两势阱间距以及入射粒子能量之间的变化规律，并分析产生共振透射的条件；xx年，尹建武6用数值计算方法求出了一维有限深不对称方势阱中束缚粒子的能级和归一化波函数及其图示，所得结果在势阱深度趋于无穷大时与无限深势阱的结果一致；xx年，李柏林7使用Matlab软件求解了一维半无限深势阱问题，得到相应的能级表达式。 本文将对粒子在一维势阱中的行为进行系统的研究，具体地将针对不同位置的一维有限深、无限深势阱对应薛定谔方程的解法进行研究，并对以上势阱中的粒子运动行为进行研究，总结出不同势阱对粒子运动行为的影响。 从研究结果发现，对于无限深势阱中的粒子是无法越出势阱的，即粒子在势阱外的概率为0。 对与半无限深势阱中粒子也只能越出一边。 其运动情况具有一定规律性。 一一维无限深势阱质量为m的粒子在一维无限深势阱(如图1)，其势能函数可以表示为00(),xaU xxaxa?= （7）下面我们将分区间讨论在各个区间内的薛定谔方程的解1在0xa时，薛定谔方程为221022dEUm dx=?+? （8）由于在0xa处，00U=所以有22122dEm dx=? （9）两边作变换，得21222mEddx=?令12mEk=? （10）从而可得方程 (9)的通解为0UXa0图2一维半无限深势阱20tantansin1tankakkakkaykka=?=+在根据边界条件1 (0)0=得 (0)sin0A=即0=则，上式可进一步简化为1()sinxAkx= （11）2在xa时，0UU=于是有222022dEUm dx=?+? （12）作变换得202222()0dmU?Edx?=令022(m U)E=? （13）则2xBe?=xa （14）由波函数的连续性条件，可知()1(lnsin)coslnxx a=x a=kxe?=即cot()kka?= （15）令ka=，a= （16）将 （16）式代入 （15）式得到cot?= （17）同时结合 （10）、 （13）和 （16）式得到和满足的超越代数方程组22xx22(m U)EE a+?=? （18）到这里我们知道式 （17）与 （18）是与满足的超越代数方程组，可用数值计算求解，或用图解法近似的求解。 我们这里采用图解法来求解根据式 （15）得到tankak=? （19）为了使图解法变得简洁一点我们再次对式 （19）进行变形20tansin1tankakkakka=+ （20）式中002mUk=? （20）式也是超越方程，画出yk?图如下图所示，图中直线0yk k=与曲线sinyka=在ka的第二和四象限的交点1P，2P，3P，所对应的1k，2k，3k，值，按222kEm=?，即可算出相应的能级E-sinyka=0yk k=4P2P3P1P1k2k3k4k0kk0ya2a3a一维半无限深势阱模型1能级图解图2.2模型2质量为m的粒子在一维半无限深势阱(如图3)，其势能函数可以表示为0000xUUxaax?= （21）下面我们将分区间讨论在各个区间内的薛定谔方程的解1在xa （22）令102(m E)U?=? （23）得到11xAe= （24）2在0ax?时，波函数()x0=，则2 (0)0=，即22sin0cos00AkBk?+?=所以有20B=所以波函数可写成22sinAkx= （29）由波函数的连续性条件，并求导得到1212sincosaaAeAkaA eAkka?=?= （30）解得cotkka=? （31）令a=，ka= （32）将 （32）式代入 （31）得cot?= （33）同时结合 （23）、 （26）和 （32）式得了和满足的超越代数方程组2212022(m E)EU+?= （34）到这里我们发现模型2情况同模型1是一样的，下面分析也同模型2。 由 （31）式得tankak=?为了使图解法变得简洁一点我们再次对式 （31）进行变形20tansin1tankakkakka=+ （35）式中002mUk=?， （35）式也是超越方程，画出yk?图如下图所示，图中直线0yk k=与曲线sinyka=在ka的第二和四象限的交点1P，2P，3P，所对应的1k，2k，3k，值，按222kEm=?，即可算出相应的能级E0三一维有限深势阱质量为m的粒子在一维有限深势阱(如图4)，其势能函数可以表示为0U0UX2a?2a图4一维有限深势阱2P3P1P1k2k3k4k0kkya2a3a一维半无限深势阱模型2能级图解图sinyka=0yk k=4P002()2xaU xUxa?=? （37）其中a为势阱宽度，0U为势阱高度。 下面我们将分区间讨论在各个区间内的薛定谔方程的解3.1在势阱外，即2xa，定态波动方程为20222()0dmU?Edx?= （38）令02(m U)E=? （39）则方程 (34)有如下指数形式的解xe?考虑到束缚边界条件0x处，()x0于是波函数应取如下形式2()x2xxAexaBexa?=? （40）上式中常数A和B待定，当0U（无限深势阱），即则上式0=3.2在势阱内，即2xa，薛定谔方程为22220dmEdx+=? （41）令2kmE=? （42）则方程 (40)有如下形式的解sinkx，coskx或ikxe但考虑到势阱具有空间的反射不变性()()UxU x?=，则必有确定的宇称，因此只能取sinkx或coskx形式。 下面作如下的讨论3.2.1偶宇称态()xcoskx?，2xa （43）则由连续性可有()()22lncoslnxx a=x a=kxe?= （44）解得sincosxxkxekkxe?=? （45）显然有()tan2kka= （46）令2ka=，2a= （47）tan= （48）此外按照 （39）、 （42）与 （47），得到与满足的超越代数方程组有222022mU a+=? （49）3.2.1奇宇称态()sinxkx?，()2xa （50）与偶宇称类似，利用()ln的连续条件有()()22lnsinlnxx a=x a=kxe?= （51）可求得()cot2kka?= （52）同理令2ka=，2a= （53）代入上 （52）式有cot?= （54）将 （54）联立 （49），可确定参数和，从而确定能量本征值。 在一维有限深势阱下，无论20U a的值多小，方程 （48）和 （49）至少有一个根，换言之至少存在一个束缚态（基态），其宇称为偶，当20U a增大，使2222022mU a+=?时， （55）则将出现偶宇称第一激发态。 当20U a继续增大，还将一次出现更高的激发能级。 但奇宇称与上述情况不一样。 只当22220224mU a+=? （56）即22202U am? （57）只在上述情况下才可能出现最低的奇宇称能级。 四总结以上对一维无限深势阱、一维半无限深势阱和一维有限深势阱中粒子运动状态进行了简单的探讨。 得到如下结论 1、在无限深势阱中，粒子被“束缚”在势阱内，无法越出势阱，即势阱外波函数为零。 粒子在一维无限深势阱中的能量为22222nEnma=?，1,2,3n=?并且能量是分立取的； 2、在一维半无限深势阱中，我们分了模型1和模型2来分析的。 通过分析可知我们所采用的模型1和模型2其量子行为是相同的。 3、从一维半无限深势阱能级图解图中，我们发现当k，即0U时，一维半无限深势阱就会变成一维无限深势阱，且1P，2P，3P，分别与a重合，相应的，2，a3，重合，从而可得到更加一般性的结论，即anP与nannka=，22222nEnma=?，1,2,3n=?，由于在结论2中势阱宽度为a，将a换成2a。 即一维无限深势阱的势阱宽度相同。 则能级公式变为22228nnEma=?，1,2,3n=?。 从而可以看出，一维半无限深势阱便自然过渡到一维无限深势阱能级公式。 说明一维无限深势阱是一维半无限深势阱在两边势壁无限高无限高，阱宽相同的特例。 4、一维有限深势阱的波函数4.1在势阱外2()x2xxAexaBexa?=?一维有限深势阱两边势阱高度都为0U，式中常数A和B待定，当一边0U，即则上式有一个0=。 4.2在势阱内()xsinkx?或()xcoskx? 5、一维半无限深势阱的波函数5.1在势阱外模型1xBe?=模型2xAe=5.2在势阱内模型1和模型2sinAkx=从以上分析可知，一维半无限深势阱只是一维有限深势阱的特例；上面我们总结了一维无限深势阱势是一维半无限深势阱的特例。 所以我们只要掌握了一维有限深势阱的情况。 那么对于一维半无限深势阱和一维无限深势阱的情况（波函数和能级公式），就很容易了。 参考文献1曾谨言.量子力学导论(第二版)M.北京:北京大学出版社,1998,57-60.2汪德新.量子力学M.武汉:湖北科学技术出版社,2000,187-1913苏汝铿.量子力学M,上海:复旦大学出版社,1997,37-404刘敏,韩广兵,孙艳等.双阱势能级研究J.原子与分子物理学报.xx,23 (6):1159-11615梁麦林,张福林,袁兵.无穷深势阱中相对论粒子的矩阵元及其经典近