概率第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布 第一节二维随机变量及其分布第二节边缘分布第四节相互独立的随机变量 一 二维随机变量及其分布函数 二 二维离散型随机变量 三 二维连续型随机变量 第一节二维随机变量及其分布 图示 一 二维随机变量及其分布函数 1 定义 实例1炮弹的弹着点的位置 X Y 就是一个二维随机变量 二维随机变量 X Y 的性质不仅与X Y有关 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 实例2考查某一地区学前儿童的发育情况 则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量 H W 说明 2 二维随机变量的分布函数 1 分布函数的定义 的概率 2 分布函数的性质 且有 若二维随机变量 X Y 所取的可能值是有限对或无限可列多对 则称 X Y 为二维离散型随机变量 二 二维离散型随机变量 1 定义 2 二维离散型随机变量的分布律 二维随机变量 X Y 的分布律也可表示为 问题 如何求 X Y 的分布律 1 分别确定X Y的可能取值 2 求每个 方法一 利用概率的乘法公式计算 方法二 直接利用古典概率计算 解 且由乘法公式得 例1 X Y 0 1 2 且X Y 2 则 X Y 的可能取值 解 抽取两支都是绿笔 抽取一支绿笔 一支红笔 例2从一个装有3支蓝色 2支红色 3支绿色圆珠笔的盒子里 随机抽取两支 若X Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数 求 X Y 的分布律 故所求分布律为 1 定义 三 二维连续型随机变量 2 性质 表示介于f x y 和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1 3 说明 例4 4 求X和Y的边缘分布函数 1 求常数c 2 求联合分布函数 3 求 解 3 将 X Y 看作是平面上随机点的坐标 即有 1 均匀分布 定义设D是平面上的有界区域 其面积为S 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 则称 X Y 在D上服从均匀分布 四 两个常用的分布 2 二维正态分布 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 二维正态分布的图形 二 二维离散型随机变量的边缘分布律 三 二维连续型随机变量的边缘分布 一 边缘分布函数 第二节边缘分布 一 边缘分布函数 同理 二 离散型随机变量的边缘分布律 例1已知下列联合分布律求其边缘分布律 解 比较发现 两者有完全相同的边缘分布 而联合分布却是不相同的 注意 联合分布 边缘分布 例3 2 1 三 连续型随机变量的边缘分布 同理可得Y的边缘分布函数 Y的边缘概率密度 解 例2 X Y 在区域D上服从均匀分布 书例3 2 2 例3 2 3 解 由于 于是 则有 即 同理可得 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 一 随机变量的相互独立性 二 二维随机变量的推广 第四节相互独立的随机变量 一 随机变量的相互独立性 1 定义 这里是利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念 2 说明 1 若离散型随机变量 X Y 的联合分布律为 注 问题 1 如何判断两个随机变量是否相互独立 2 如何由相互独立的随机变量的边缘分布求它们的联合分布 注意 联合分布 边缘分布 例3 4 1 例3 4 2 因为X与Y相互独立 解 所以 求随机变量 X Y 的分布律 注意 联合分布律 边缘分布律 解 由于X与Y相互独立 例2 解 例3 1 由分布律的性质知 特别有 又 2 因为X与Y相互独立 所以有 3 多维随机变量的相互独立性 即 设相互独立 若均为离散型r v 则它们的联合分布律为 若均为连续型r v 则它们的联合概率密度函数为 一 重点与难点 二 主要内容 三 典型例题 第三章多维随机变量及其分布习题课 一 重点与难点 1 重点 二维随机变量的分布 联合分布 边缘分布 随机变量的独立性 2 难点 二维连续型随机变量的分布 定义 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度 边缘分布 条件分布 两个随机变量的函数的分布 随机变量的相互独立性 定义 性质 二维随机变量 推广 二 主要内容 二维随机变量 1 定义 二维随机变量的分布函数 且有 2 性质 3 n维随机变量的概念 二维随机变量 X Y 的分布律也可表示为 二维离散型随机变量的分布律 离散型随机变量 X Y 的分布函数为 二维连续型随机变量的概率密度 1 定义 2 性质 表示介于f x y 和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1 3 说明 4 两个常用的分布 设D是平面上的有界区域 其面积为S 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 则称 X Y 在D上服从均匀分布 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 边缘分布函数 为随机变量 X Y 关于Y的边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布 随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为 联合分布 边缘分布 连续型随机变量的边缘分布 同理得Y的边缘概率密度 随机变量的相互独立性 说明 1 若离散型随机变量 X Y 的联合分布律为 二维随机变量的推广 其它依次类推 5 随机变量相互独立的定义的推广 三 典型例题 例1 解 把两封信随机地投入已经编好