高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆课件 理.ppt

理数课标版 第五节椭圆 1 椭圆的定义平面内到两个定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做 椭圆 这两个定点叫做椭圆的 焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a 0 c 0 且a c为常数 教材研读 1 若 a c 则集合p表示椭圆 2 若 a c 则集合p表示线段 3 若 a c 则集合p为空集 2 椭圆的标准方程和几何性质 3 点p x0 y0 和椭圆的位置关系 1 p x0 y0 在椭圆内 1 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆既是轴对称图形 又是中心对称图形 3 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 4 1 a b 0 与 1 a b 0 的焦距相同 1 已知f1 f2是椭圆 1的两个焦点 过点f2的直线交椭圆于a b两点 在 af1b中 若有两边之和是10 则第三边的长度为 a 6b 5c 4d 3答案a根据椭圆的定义 知 af1b的周长为4a 16 故所求的第三边的长度为16 10 6 2 椭圆x2 my2 1 m 0 的焦点在y轴上 长轴长是短轴长的2倍 则m等于 a b 2c 4d 答案d由x2 1 m 0 及题意知 2 2 2 1 解得m 故选d 3 2016课标全国 5 5分 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 则该椭圆的离心率为 a b c d 答案b如图 ob 为椭圆中心到l的距离 则 oa of af ob 即bc a 所以e 故选b 4 设e是椭圆 1的离心率 且e 则实数k的值是 答案或解析当k 4时 有e 解得k 当0 k 4时 有e 解得k 故实数k的值为或 5 已知椭圆的一个焦点为f 1 0 离心率为 则椭圆的标准方程为 答案 1解析设椭圆的标准方程为 1 a b 0 结合椭圆的一个焦点为f 1 0 离心率e 得解得故椭圆的标准方程为 1 考点一椭圆的定义及标准方程 考点突破 典例1 1 若直线x 2y 2 0经过椭圆的一个焦点和一个顶点 则该椭圆的标准方程为 a y2 1b 1c y2 1或 1d 以上答案都不对 2 已知两圆c1 x 4 2 y2 169 c2 x 4 2 y2 9 动圆在圆c1内部且和圆c1相内切 和圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 a 1b 1c 1d 1 3 f1 f2是椭圆 1的两个焦点 a为椭圆上一点 且 af1f2 45 则 af1f2的面积为 a 7b c d 答案 1 c 2 d 3 c解析 1 直线与坐标轴的交点分别为 0 1 2 0 由题意知当焦点在x轴上时 c 2 b 1 所以a2 5 所求椭圆的标准方程为 y2 1 当焦点在y轴上时 b 2 c 1 所以a2 5 所求椭圆的标准方程为 1 2 设圆m的半径为r 则 mc1 mc2 13 r 3 r 16 又 c1c2 8 16 动圆圆心m的轨迹是以c1 c2为焦点的椭圆 且2a 16 2c 8 则a 8 c 4 b2 48 故所求的轨迹方程为 1 3 由题意得a 3 b c f1f2 2 af1 af2 6 af2 2 af1 2 f1f2 2 2 af1 f1f2 cos45 af1 2 4 af1 8 6 af1 2 af1 2 4 af1 8 af1 2 方法技巧 1 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a f1f2 这一条件 2 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦点所在位置 然后根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 那么要考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设成mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 1 1已知椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 离心率为 过f2的直线l交c于a b两点 若 af1b的周长为4 则c的方程为 a 1b y2 1c 1d 1答案a由题意及椭圆的定义知4a 4 则a 又 c 1 b2 2 c的方程为 1 选a 1 2 2014安徽 14 5分 设f1 f2分别是椭圆e x2 1 00 又 af1 3 f1b 由 3得b 代入x2 1得 1 又c2 1 b2 b2 故椭圆e的方程为x2 y2 1 1 3已知f1 f2是椭圆c 1 a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且 若 pf1f2的面积为9 则b 答案3解析 pf1 pf2 2a pf1 2 pf2 2 f1f2 2 4c2 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 4c2 2 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 2b2 pf1 pf2 2b2 b2 9 b 3 考点二椭圆的几何性质典例2 1 已知椭圆 1 a b 0 的一个焦点是圆x2 y2 6x 8 0的圆心 且短轴长为8 则椭圆的左顶点为 a 3 0 b 4 0 c 10 0 d 5 0 2 2016课标全国 11 5分 已知o为坐标原点 f是椭圆c 1 a b 0 的左焦点 a b分别为c的左 右顶点 p为c上一点 且pf x轴 过点a的直线l与线段pf交于点m 与y轴交于点e 若直线bm经过oe的中点 则c的离心率为 a b c d 答案 1 d 2 a解析 1 圆的标准方程为 x 3 2 y2 1 圆心坐标为 3 0 c 3 又b 4 a 5 椭圆的焦点在x轴上 椭圆的左顶点为 5 0 2 由题意知过点a的直线l的斜率存在且不为0 故可设直线l的方程为y k x a 当x c时 y k a c 当x 0时 y ka 所以m c k a c e 0 ka 如图 设oe的中点为n 则n 由于b m n三点共线 所以kbn kbm 即 所以 即a 3c 所以e 故选a 方法技巧求椭圆离心率的常用方法 1 直接求出a c 利用定义求解 2 构造a c的齐次式 解出e 由已知条件得出关于a c的二元齐次方程 然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解 3 通过特殊值或特殊位置求出离心率 2 1 2016福建泉州质检 已知椭圆 1的长轴在x轴上 焦距为4 则m等于 a 8b 7c 6d 5答案a 椭圆 1的长轴在x轴上 解得6 m 10 焦距为4 c2 m 2 10 m 4 解得m 8 2 2已知f1 f2分别是椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点 若椭圆c上存在点p 使得线段pf1的中垂线恰好经过焦点f2 则椭圆c的离心率的取值范围是 a b c d 答案c如图所示 线段pf1的中垂线经过f2 pf2 f1f2 2c 即椭圆上存在一点p 使得 pf2 2c a c 2c 又0 e 1 e 考点三直线与椭圆的位置关系典例3 2016天津 19 14分 设椭圆 1 a 的右焦点为f 右顶点为a 已知 其中o为原点 e为椭圆的离心率 1 求椭圆的方程 2 设过点a的直线l与椭圆交于点b b不在x轴上 垂直于l的直线与l交于点m 与y轴交于点h 若bf hf 且 moa mao 求直线l的斜率的取值范围 解析 1 设f c 0 由 即 可得a2 c2 3c2 又a2 c2 b2 3 所以c2 1 因此a2 4 所以 椭圆的方程为 1 2 设直线l的斜率为k k 0 则直线l的方程为y k x 2 设b xb yb 由方程组消去y 整理得 4k2 3 x2 16k2x 16k2 12 0 解得x 2或x 由题意得xb 从而yb 由 1 知 f 1 0 设h 0 yh 有 1 yh 由bf hf 得 0 所以 0 解得yh 因此直线mh的方程为y x 设m xm ym 由方程组消去y 解得xm 在 mao中 moa mao ma mo 即 xm 2 2 化简得xm 1 即 1 解得k 或k 所以 直线l的斜率的取值范围为 方法技巧 1 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题常常用 点差法 解决 2 设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 ab k为直线斜率 k 0 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 3 1 2016贵州贵阳适应性考试 已知椭圆g 1 a b 0 的两焦点分别为f1 f2 其离心率为 椭圆g上一点m满足 0 且 mf1f2的面积为1 1 求椭圆g的方程 2 过椭圆g长轴上的点p t 0 的直线l与圆o x2 y2 1相切于点q p与q不重合 交椭圆g于a b两点 若 aq bp 求实数t的值 解析 1 由 0得mf1 mf2 所以 mf1 2 mf2 2 f1f2 2 4 a2 b2 由椭圆的定义得 mf1 mf2 2a 即 mf1 2 mf2 2 2 mf1 mf2 4a2 联立 可得 mf1 mf2 2b2 所以 mf1 mf2 b2 则b2 1 由e 得 解得a2 4 所以椭圆g的方程为 y2 1 2 由题可知线段ab与pq的中点重合 显然t 0 直线l的斜率存在且不为零 所以设直线