信号与系统 石油大学 第二章 连续系统的时域分析

Chapter2 连续系统的时域分析 Time DomainAnalysisofContinuousSystems page2 第二章连续系统的时域分析 本章将研究LTI连续系统的时域分析方法 即对于给定的激励 根据描述系统响应与激励之间关系的微分方程求得其响应的方法 由于分析是在时间域内进行的 称为时域分析 是学习各种变换域分析的基础 本章将在用经典法求解微分方程的基础上 讨论零输入响应 特别是零状态响应的求解 引入系统的冲激响应之后 零状态响应等于冲激响应与激励的卷积积分 最后介绍卷积积分的性质 page3 第二章连续系统的时域分析 2 1LTI连续系统的响应 经典解0 与0 值零输入响应零状态响应全响应 2 2冲激响应与阶跃响应 冲激响应定义及求解阶跃响应定义 求解 二者关系 系统属性 page4 2 1LTI连续系统的响应 2 1LTI连续系统的响应 一 微分方程的经典解 一般来说 如果单输入 单输出系统的激励为 响应为 则描述LTI系统的数学模型是阶常系数线性微分方程 page5 该方程的全解由齐次解和特解组成 即 homogenoussolution particularsolution 特征根 特征方程的根 2 1LTI连续系统的响应 page6 2 1LTI连续系统的响应 齐次解的形式由特征根决定 教材P41表2 1 或 其中 page7 2 1LTI连续系统的响应 特解的形式与激励函数的形式有关 教材P41表2 2 重根 等于重根 不等于特征根 等于特征根 或 其中 所有的特征根 均不等于 page8 2 1LTI连续系统的响应 选定特解的形式后 将它代回到原微分方程 可求出各待定系数 从而可求出特解 明确求出特解后 可将方程的全解表示为齐次解和特解之和 假设 特征根均为单根 page9 2 1LTI连续系统的响应 例2 1 1描述某LTI系统的微分方程为 求输入时的全解 解 1 求齐次解的形式 特征方程 查表得 2 求特解的形式 查表得 page10 3 求特解 2 1LTI连续系统的响应 4 求全解 代入初始条件 可得 page11 2 1LTI连续系统的响应 思考 齐次解的形式取决于 特解的形式取决于 可见 齐次解的形式仅仅依赖于系统本身的特性 而与激励的函数形式无关 称为系统的自由响应或固有响应 特征方程的根称为系统的 固有频率 它决定了系统自由响应的形式 特解的形式由激励信号确定 称为强迫响应 注意 自由 强迫响应的系数与激励 系统有关 page12 2 1LTI连续系统的响应 例2 1 2描述某LTI系统的微分方程为 求输入时的全解 2 求特解的形式 查表得 page13 2 1LTI连续系统的响应 3 求特解 代入微分方程 并整理后得 page14 2 1LTI连续系统的响应 4 求全解 代入初始条件 可得 page15 2 1LTI连续系统的响应 分析 自由响应 强迫响应 思考 当时 两部分的取值分别有何特点 通常 当输入信号是阶跃函数或有始周期信号 且所有特征根的实部均为负时 系统的响应可分为暂态响应和稳态响应两部分 齐次解中的各项均按指数衰减 与强迫响应中的衰减项一起构成暂态响应 其余部分为稳态响应 通常也由阶跃函数或周期函数组成 对不满足前述条件的系统 不这样区分 page16 2 1LTI连续系统的响应 二 关于和时刻的初始值 难点 在用经典法解微分方程时 一般输入是在时刻接入的 因此方程的解适用于 前面例题中为确定解的待定系数所需的一组初始值是指时刻的值 此时激励已开始发生作用 这些初始值分别记做 在时刻 激励尚未接入 因而响应及其各阶导数的对应值反映了系统的历史情况而与激励无关 但这些时刻的值为求值提供了重要基础 因为值在实际系统中容易求得 page17 2 1LTI连续系统的响应 关键 如何从 例2 1 3描述某LTI系统的微分方程为 已知求 式 c page18 2 1LTI连续系统的响应 对式 c 等号两端从到进行积分 可得 可设中包含项 page19 2 1LTI连续系统的响应 对式 b 等号两端从到进行积分 可得 式中所含项的系数对应 更高阶导数的情况可依此类推 page20 2 1LTI连续系统的响应 冲激函数匹配法计算值的步骤 将输入代入原微分方程 如等号右端含有冲激函数及其导数 根据微分方程等号两端各奇异函数的系数相等的原则 判断方程左端的最高阶导数应含导数的最高阶次 2 对表示成及其各阶导数的线性组合形式 从到进行积分 逐次求出 4 分别对等式两端从到积分 3 将代入原微分方程 根据方程两端各奇异函数系数相等的原则 求得待定系数 page21 2 1LTI连续系统的响应 三 零输入响应 LTI系统的全响应也可分解为零输入响应和零状态响应 零输入响应 当激励为零 仅由系统的初始状态所引起的响应 通常表示为 在零输入条件下 微分方程式右端为零 转化为齐次方程 可利用P41表2 1求解出的形式 page22 2 1LTI连续系统的响应 例2 1 4描述某LTI系统的微分方程为 已知 求系统的零输入响应 代入初始状态的值 可得 解 应满足 page23 2 1LTI连续系统的响应 四 零状态响应 零状态响应 当系统的初始状态为零 仅由输入所引起的响应 通常表示为 4 求解 确定齐次形式解的待定系数 2 根据 确定 3 确定齐次形式解的形式 page24 2 1LTI连续系统的响应 例2 1 5描述某LTI系统的微分方程为 同例2 1 4 已知 求系统的零状态响应 解 1 系统的零状态响应可分解为 2 确定 当时 有 page25 2 1LTI连续系统的响应 3 确定齐次形式解的形式 特征方程 4 求解 确定齐次形式解中的待定系数 page26 2 1LTI连续系统的响应 代入初始条件 可得 通过前面的例题可见 当方程的右端含有激励的各阶导数时 零状态响应或其导数在处可能跃变 系统的典型输入为 在求零状态响应的时候比较麻烦 实际上 利用LTI系统的线性和微分特性 可简化计算 page27 2 1LTI连续系统的响应 例2 1 6描述某LTI系统的微分方程为 已知 求系统的零状态响应 解 设当时 微分方程所对应的零状态响应为 显然有 满足的微分方程和初始条件为 page28 2 1LTI连续系统的响应 显然 由于中不含项 所以有 由齐次形式解和特解组成 即 设特解为 齐次方程对应的特征方程为 代入初始条件 可得 page29 2 1LTI连续系统的响应 整理后 最终可得 page30 2 1LTI连续系统的响应 五 全响应 系统的全响应可以分为自由响应 齐次解 和强迫响应 特解 也可分为零输入响应和零状态响应 它们的关系是 以特征根均为单根为例 page31 2 1LTI连续系统的响应 根据前面的分析 两种分解方式有明显区别 虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解 但二者系数各不相同 仅由时刻的初始状态所决定 而要由时刻的初始状态和激励信号共同来确定 分析 零输入响应显然为零 原因 初始状态也为零 结论 自由响应包括零输入响应和零状态响应的一部分 思考 当时刻的状态为零时 零输入响应有何特点 自由响应又有何特点 在激励的作用下 自由响应通常不为零 page32 2 1LTI连续系统的响应 例2 1 7描述某LTI系统的微分方程为 已知 试求 求系统的零输入响应 零状态响应和全响应 将全响应分解为自由响应和强迫响应 解 1 先求零输入响应 page33 2 1LTI连续系统的响应 接下来求零状态响应 page34 2 1LTI连续系统的响应 代入和 可得 最后求全响应 2 page35 2 1LTI连续系统的响应 例2 1 8前例所述的系统 即满足 已知 求该系统的零输入响应和零状态响应 page36 2 1LTI连续系统的响应 解 零状态响应的求解与前例完全相同 即 结果为 page37 2 2冲激响应和阶跃响应 2 2冲激响应和阶跃响应 一 冲激响应 一个LTI系统 当其初始状态为零 输入为单位冲激函数时所引起的响应 称为单位冲激响应 简称为冲激响应 用表示 即冲激响应是激励为时的零状态响应 page38 2 2冲激响应和阶跃响应 例2 2 1设描述二阶LTI系统的微分方程为 求该系统的冲激响应 在时 相当于零输入响应 代入初始条件 最终得 解 当时 系统的冲激响应满足 page39 2 2冲激响应和阶跃响应 推广到一般情况 若系统微分方程右端只含 即 根据冲激函数匹配法 显然有 则有 page40 2 2冲激响应和阶跃响应 若系统微分方程右端还含有的导数项时 即 2 例2 2 2求如下系统的冲激响应 解 根据前例结果 有 page41 2 2冲激响应和阶跃响应 二 阶跃响应 一个LTI系统 当其初始状态为零 输入为单位阶跃函数时所引起的响应 称为单位阶跃响应 简称为阶跃响应 用表示 即阶跃响应是激励为时的零状态响应 page42 2 2冲激响应和阶跃响应 若系统微分方程右端只含 即 根据冲激函数匹配法 显然有 则有 page43 2 2冲激响应和阶跃响应 若系统微分方程右端还含有的导数项时 即 2 思考 与之间的关系 page44 2 2冲激响应和阶跃响应 例2 2 3如图所示系统 求其阶跃响应 解 输入 中间信号 输出间关系为 可先求解 page45 2 2冲激响应和阶跃响应 代入初始条件可得 page46 2 2冲激响应和阶跃响应 思考 冲激响应 阶跃响应 page47 2 3卷积积分 2 3卷积积分 卷积在本章中占有重要地位 这里要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多冲激函数之和 积分 利用冲激响应和LTI系统的线性时不变性质 可求解出LTI系统对任意激励的零状态响应 page48 2 3卷积积分 把分解为一系列宽度为的窄脉冲 其中第个窄脉冲的强度为 脉冲的位置向右移动了 即有 本身的强度为1 page49 2 3卷积积分 当 时 有 可分解成无穷多个冲激函数 page50 2 3卷积积分 一般而言 若有两个函数和 定义 若为因果信号 若为因果信号 若二者皆为因果信号 page51 设有如图所示的函数和 试求 二 卷积的图示求解法 图解法 2 3卷积积分 page52 2 3卷积积分 page53 2 3卷积积分 第二步 将沿轴平移得 page54 2 3卷积积分 第三步 按取值的不同进行讨论 计算积分 page55 2 3卷积积分 例2 3 1求下图所示函数和的卷积 解 1 画出和的波形 page56 2 3卷积积分 2 在轴上 对平移个时间单位 3 按取值的不同进行讨论 计算积分 page57 2 3卷积积分 page58 2 3卷积积分 page59 2 3卷积积分 page60 2 3卷积积分 page61 2 3卷积积分 练习求下图所示函数和的卷积 解 1 画出和的波形 page62 2 在轴上 对平移个时间单位 2 3卷积积分 3 按取值的不同进行讨论 计算积分 page63 2 3卷积积分 page64 2 3卷积积分 page65 2 3卷积积分 page66 2 3卷积积分 从非零区间的位置 宽度和图形形状分析两个门函数卷积结果有何特点 思考 page67 2 3卷积积分 结论 1 非零区间宽度为两个时限信号宽度之和 其非零区间起点为两个时限信号非零区间起点之和 非零区间终点为两个时限信号非零区间终点之和 2 若两个门函数的宽度相同 则卷积波形为三角形 若二者宽度不相同 则卷积波形为梯形 解释 page68 2 3卷积积分 起点 page69 2 3卷积积分 例2 3 2设 求卷积积分 1 2 解 1 三 解析法 2 page70 2 3卷积积分 一般而言 两个函数的卷积是否存在 收敛 与函数的形状有关 若二者均为有始的可积函数 那么二者的卷积一定存在 否则视具体情况而定 例如 而不存在 可用图示法解释 page71 2 4卷积积分的性质 2 4卷积积分的性质 一 卷积的代数运算 1 交换律 令 则 上式 得证 证 page72 2 4卷积积分的性质 例2 4 1设 分别用定义求和 解 page73 2 4卷积积分的性质 物理意义分析 以因果信号为例 即和在所围的面积是相等的 page74 2 4卷积积分的性质 2 分配律 得证 证 page75 2 4卷积积分的性质 3 结合律 交换积分次序 令 得证 证 page76 2 4卷积积分的性质 或 page77 2 4卷积积分的性质 二 函数与冲激函数的卷积 结论 证 page78 2 4卷积积分的性质 推广1 证 page79 2 4卷积积分的性质 利用推广1的结论 可得 自己下去证明 推广3 page80 2 4卷积积分的性质 推广4 若设 则有 证 page81 2 4卷积积分的性质 推广4 若设 则有 证 多次运用结合律和交换律 多次运用结合律和交换律 page82 2 4卷积积分的性质 例2 4 2计算下列卷积积分 1 2 解 1 方法一 直接利用定义 方法二 利用推广4 page83 2 4卷积积分的性质 2 方法一 直接利用定义 page84 2 4卷积积分的性质 方法二 利用推广4 其中 原式 page85 2 4卷积积分的性质 例2 4 3图 a 画出了周期为的周期性单位冲激函数序列 可称为梳状函数 一般用表示 可写为 式中为整数 函数如图 b 所示 求 a b 解 page86 2 4卷积积分的性质 三 卷积的微分与积分 对任一函数 用符号分别表示其一阶导数 二阶导数 三阶导数 用符号分别表示其一次积分 二次积分 三次积分 page87 2 4卷积积分的性质 证 类似可证 类似可证 式 a 式 b 令 page88 2 4卷积积分的性质 推论 前提 式 c 证 对前页式 b 左边求导可得 式 c 右边得证 积分和求导交换次序 page89 2 4卷积积分的性质 对式 b 右边求导可得 式 c 左边得证 积分和求导交换次序 page90 2 4卷积积分的性质 但要注意前面的推导必须满足 推广到一般情况 积分和求导交换次序 page91 2 4卷积积分的性质 LTI系统的零状态响应等于激励与系统冲激响应的卷积积分 利用上面的结论可得 page92 2 4卷积积分的性质 例2 4 4求图示函数与的卷积 page93 2 4卷积积分的性质 解法一 图解法 1 画出和的波形 2 在轴上 对平移个时间单位 page94 3 按取值的不同进行讨论 计算积分 2 4卷积积分的性质 page95 2 4卷积积分的性质 page96 2 4卷积积分的性质 page97 2 4卷积积分的性质 page98 2 4卷积积分的性质 解法二 解析法 page99 2 4卷积积分的性质 自己下去整理 page100 2 4卷积积分的性质 解法三 利用性质 page101 2 4卷积积分的性质 注意 利用微积分性质时注意是否符合条件 page102 2 4卷积积分的性质 四 系统综合初步 有时 已知或计算出所要求构成的系统的冲激响应 要求用框图来构成系统 那么我们就要知道一些基本单元的冲激响应 page103 2 4卷积积分的性质 例2 4 5图 a 所示的复合系统由三个子系统构成 已知各子系统的冲激响应 如图 b 所示 1 求复合系统的冲激响应 画出它的波形 2 用积分器 加法器和延时器构成和的框图 a b page104 2 4卷积积分的性质 解 1 其中 自己下去整理 page105 2 4卷积积分的性质 2 用积分器 加法器和延时器构成和的框图 的模拟框图 的模拟框图 page106 2 4卷积积分的性质 五 相关函数 在信号分析问题中 有时要比较某个信号与另一延时的信