高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式课件 新人教A版必修5.ppt

3 4基本不等式 1 2 3 1 重要不等式当a b是任意实数时 有a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 名师点拨1 公式中a b的取值是任意的 a和b代表的是实数 它们既可以是具体的数字 也可以是比较复杂的代数式 因此其应用范围比较广泛 今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化 使之可以利用该公式来证明 2 公式中a2 b2 2ab常变形为ab 或a2 b2 2ab 4ab或2 a2 b2 a b 2等形式 要注意灵活掌握 1 2 3 2 基本不等式当a 0 b 0时 有 当且仅当a b时 等号成立 名师点拨基本不等式的常见变形 1 2 3 3 基本不等式与最值已知x y都是正数 1 若x y s 和为定值 则当x y时 积xy取得最大值 2 若xy p 积为定值 则当x y时 和x y取得最小值 1 2 3 练一练已知x 0 y 0 1 如果xy 4 则x y的最小值是 2 如果x y 4 则xy的最大值是 解析 1 x 0 y 0 xy 4 x y 2 4 当且仅当x y 2时 等号成立 x y的最小值为4 2 当x y 4时 xy 4 当且仅当x y 2时 等号成立 xy的最大值为4 答案 44 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一利用基本不等式证明不等式1 两个不等式都具有放缩的功能 因此利用不等式可将数式放大或缩小 即可用来判断大小关系 2 利用基本不等式证明不等式 1 利用基本不等式证明不等式时 可依据求不等式两端的结构 合理选择基本不等式及其变形不等式来证 如a2 b2 2ab a b r 可变形为 a 0 b 0 可变形为ab 等 同时要从整体上把握基本不等式 如a4 b4 2a2b2 a2b2 b2c2 2 ab bc 都是对 a2 b2 2ab a b r 的灵活应用 2 在证明条件不等式时 要注意 1 的代换 另外要特别注意等号成立的条件 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题1 1 已知a b c为不全相等的正实数 求证 a b c 2 已知a b c为正实数 且a b c 1 思路分析 1 左边是和式 右边是带根号的积式之和 所以用基本不等式 将和变积 并证得不等式 2 不等式右边数字为8 使我们联想到左边因式分别使用基本不等式 可得三个 2 连乘 可由此变形入手 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结1 利用基本不等式证明不等式 关键是所证不等式中必须有 和 式或 积 式 通过将 和 式转化为 积 式或将 积 式转化为 和 式 从而达到放缩的效果 2 注意多次运用基本不等式时等号能否取到 3 解题时要注意技巧 当不能直接利用不等式时 可将原不等式进行组合 构造 以满足能使用基本不等式的形式 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二利用基本不等式求最值1 利用基本不等式求最值的方法和注意点 对于基本不等式 1 若a b为定值s 则 即ab有最大值 2 若ab为定值p 则a b 即a b有最小值2 应用基本不等式可以求某些函数或代数式的最值 但要注意以下三点 1 a b一定为正数 2 a b与ab有一个为定值 才能求另一个的最值 3 等号必须能取到 以上三点可简记为 一正 二定 三相等 且三个条件缺一不可 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题2 1 若x 0 求f x 4x 的最小值 2 设02 求x 的最小值 4 已知x 0 y 0 且 1 求x y的最小值 思路分析 利用基本不等式求最值 当积或和不是定值时 通过变形使其和或积为定值 再利用基本不等式求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结1 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件 解题时应对照已知和欲求的式子进行适当的 拆项 添项 配凑 变形 等 以创设应用基本不等式的条件 2 等号取不到时 注意利用求函数最值的其他方法 如函数单调性 数形结合法 换元法 判别式法等 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练2 1 已知t 0 则函数的最小值为 2 已知x 0 y 0 且满足 则xy的最大值为 探究一 探究二 探究三 探究四 解析 1 依题意得 当且仅当t 1时 等号成立 即函数的最小值是 2 2 因为x 0 y 0 所以 当且仅当 即x y 2时 等号成立 即 1 解得xy 3 所以xy的最大值为3 答案 1 2 2 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三利用基本不等式解决实际问题在应用基本不等式解决实际问题时 应注意如下的思路和方法 1 先理解题意 设出变量 一般把要求最值的量定为函数 2 建立相应的函数关系 把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题 3 在定义域内 求出函数的最大值或最小值 4 根据实际背景写出答案 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题3某单位用2160万元购得一块空地 计划在该地块上建造一栋至少10层 每层2000平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为560 48x 单位 元 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建为多少层 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 思路分析 转化为求函数的最小值 探究一 探究二 探究三 探究四 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f x 则f x 560 48x 560 48x x 10 x n 所以f x 560 48x 560 2 2000 当且仅当48x 即x 15时 等号成立 因此 当x 15时 f x 取最小值f 15 2000 即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建为15层 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练3 阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室 在温室内 沿左 右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道 沿前侧内墙保留3m宽的空地 当矩形温室的边长各为多少时 蔬菜的种植面积最大 最大种植面积是多少 探究一 探究二 探究三 探究四 解 设矩形温室的一边长为xm 则另一边长为m 2 x 200 依题意得种植面积 当且仅当 4x 即x 20时 等号成立 即当矩形温室的一边长为20m 另一边长为40m时种植面积最大 最大种植面积是648m2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四易错辨析易错点不满足等号成立的条件致错典型例题4 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析 错解中在用基本不等式求最值时 没考虑到定理成立的条件 实际上不论x取何值 总有因此本题不能用基本不等式求解 正解 设t 则y t t 可以证明y t 在 上为增函数 则即ymin 此时t 则x 0 12345 1 已知00 x 1 x 当且仅当x 1 x 即x 时 等号成立 答案 b 12345 2 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2 形状为直角三角形的框架 在下列四种长度的铁丝中 选用最合理 够用且浪费最少 的是 a 6 5mb 6 8mc 7md 7 2m解析 设两直角边分别为a b 直角三角形框架的周长为l 则ab 2 由于要求够用且浪费最少 故选c 答案 c 12345 3 已知函数f x 4x x 0 a 0 在x 3时取得最小值 则a 解析 由基本不等式 得4x 2 4 当且仅当4x 即x 时 等号成立 即 3 a 36 答案 36 12345 4 设x 3y 2 0 则函数z 3x 27y 3的最小值是 解析 x 3y