高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5 (2).ppt

1 1 2余弦定理 1 了解余弦定理的推导过程 掌握余弦定理及其推论 2 能利用余弦定理解三角形 并判断三角形的形状 余弦定理 归纳总结1 余弦定理的每个等式中包含四个不同的量 它们分别是三角形的三边和一个角 知道其中的三个量 便可求得第四个量 即 知三求一 2 余弦定理适用的题型 1 已知三边求三角 用余弦定理 有解时只有一解 2 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他的角 用余弦定理 必有一解 3 余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律 是解三角形的重要工具 做一做1 在 abc中 a 4 b 4 c 30 则c2等于 答案 a 做一做2 在 abc中 a 2 b 5 c 6 则cosb等于 答案 a 1 确定三角形中内角的范围 若a为锐角 则cosa 0 有b2 c2 a2 0 即b2 c2 a2 若a为直角 则cosa 0 有b2 c2 a2 0 即b2 c2 a2 若a为钝角 则cosab2 c2 知识拓展a2 b2 c2 abc为直角三角形 a2 b2 c2 abc为钝角三角形 a20 即只能得到角a为锐角 但是不能保证角b c也为锐角 所以不能得到 abc为锐角三角形 2 利用正弦定理 余弦定理求角的区别剖析如表所示 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 已知两边及夹角解三角形 例1 在 abc中 已知a 2 b 分析思路一 可先用余弦定理求边c 再用正弦定理求角a 最后用三角形内角和定理求出角b 思路二 可先用余弦定理求边c 再用余弦定理的推论求角a 最后用三角形内角和定理求出角b 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 0 a b a 角a为锐角 a 30 b 180 a c 135 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 又0 a 180 a 30 b 180 a c 135 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思已知两边及其夹角解三角形 此时有唯一解 的步骤 方法一 1 利用余弦定理求出第三边 2 利用正弦定理求出另外一个角 3 利用三角形内角和定理求出第三个角 方法二 1 利用余弦定理求出第三边 2 利用余弦定理的推论求出另外一个角 3 利用三角形内角和定理求出第三个角 此时方法一中 2 通常需要分类讨论 因此建议应用方法二解三角形 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 0 a 180 a 45 故c 180 a b 180 45 60 75 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 b a c a a最小 即a为锐角 因此a 45 故c 180 a b 180 45 60 75 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 已知三边解三角形 分析利用余弦定理的推论求出两个角 利用三角形的内角和定理求出第三个角 解由余弦定理的推论 a b 0 a 60 b 45 c 180 a b 180 60 45 75 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思已知三边解三角形的步骤 1 分别用余弦定理的推论求出两个角 2 用三角形内角和定理求出第三个角 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练2 在 abc中 已知bc 7 ac 8 ab 9 试求ac边上的中线长 解由余弦定理和已知条件 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 已知两边及一边的对角解三角形 例3 在 abc中 已知b 3 c 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解法二 利用余弦定理 由余弦定理 得b2 a2 c2 2accosb 即a2 9a 18 0 解得a 6或a 3 反思当已知两边和其中一边的对角解三角形时 若用余弦定理先求第三边 可根据求出值的正 负 利用边为正值确定无解 一解 还是两解 极易判断 不易漏解 若用正弦定理先求另一边的对角时 需要根据角 边的大小和正弦值的情况判断解的情况 以免漏解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练3 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c a 1b 2c 2或 1 解析 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa 得c2 c 2 0 解得c 2或c 1 舍去 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 判定三角形的形状 例4 在 abc中 若b2sin2c c2sin2b 2bccosbcosc 试判断 abc的形状 分析思路一 利用正弦定理将已知等式化为角的关系 思路二 利用余弦定理将已知等式化为边的关系 r2sin2bsin2c r2sinbsinccosbcosc sinbsinc 0 sinbsinc cosbcosc cosbcosc sinbsinc 0 即cos b c 0 b c 90 a 90 abc为直角三角形 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解法二将已知等式变为b2 1 cos2c c2 1 cos2b 2bccosbcosc 由余弦定理 得 整理得b2 c2 a2 故 abc为直角三角形 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思判定三角形的形状 主要看其是不是等边三角形 等腰三角形 直角三角形 钝角三角形或锐角三角形等 要注意 等腰直角三角形 与 等腰三角形或直角三角形 的区别 依据边角关系判断时 主要有两条途径 1 利用正弦定理转化为内角三角函数间的关系 通过三角恒等变形 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 这时要注意使用 a b c 这个结论 也可利用正弦定理完全转化为边的关系 再通过变形 从而判断三角形的形状 2 利用余弦定理转化为边之间的关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练4 在 abc中 若 a ccosb sinb b ccosa sina 判断 abc的形状 解法一由正弦定理及余弦定理 整理得 a2 b2 c2 b2 a2 b2 c2 a2 故a2 b2 c2 0或a2 b2 故 abc为等腰三角形或直角三角形 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解法二由正弦定理 知原等式可化为 sina sinccosb sinb sinb sinccosa sina 整理得sinccosbsinb sinccosasina sinc 0 sin2b sin2a 2a 2b或2b 2a abc为等腰三角形或直角三角形 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 易错辨析易错点 忽略三角形各边满足的条件致错 例5 在钝角三角形abc中 a 1 b 2 c t 且c是最大角 求t的取值范围 错解 abc是钝角三角形 且c是最大角 c 90 错因分析错解忽略了两边之和大于第三边 即a b c这个隐含条件 导