高等数学武大社教案08第八章常微分方程.docx

第八章 常微分方程一、教学目标1.熟悉微分方程的基本概念及其求解方程的基本思路；2.掌握可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程、常系数齐次线性微分方程的求解方法；3.了解高阶线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程的解法.二、课时分配本章节4共个小节，共安排8个学时.三、教学重点1.可分离变量的微分方程；2.一阶线性微分方程的解法；3.可降阶的二阶微分方程；4.二阶常系数齐次线性微分方程.四、教学难点1.伯努利方程；2.齐次方程；3.二阶常系数非齐次线性微分方程.五、教学内容第一节 微分方程的基本概念一、微分方程的引例【例1】一曲线通过原点，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程.【解】设所求曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义及已知条件，得y=x2.两边积分，得y=1/3x3+C.式中，C为任意常数.由于所求曲线过原点，即将y|x=0=0代入式，得C=0，所以所求曲线方程为y=1/3x3.二、微分方程的基本概念1. 微分方程和微分方程的阶定义1 若在一个方程中涉及的函数是未知的,自变量仅有一个,且在方程中含有未知函数的导数(或微分),则称这样的方程为常微分方程,简称微分方程.定义2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.一般地,设x为自变量，y为未知函数，n阶微分方程有如下形式：Fx,y,y,y,yn=02.微分方程的解与通解定义3 某个函数代入微分方程后,能成为自变量的恒等式,则称这个函数满足微分方程，满足微分方程的函数称为微分方程的解.因此求满足微分方程的未知函数,也就是求微分方程的解.若微分方程的解中所含独立的任意常数的个数等于这个方程的阶数，则称此解为方程的通解. 当通解中各任意常数都取定值时所得的解，称为方程的特解. 用来确定通解中任意常数的附加条件，称为初始条件.一个微分方程与初始条件构成的问题，称为初值问题，求解初值问题，就是求方程的特解.【例3】验证函数y=C1e-x+C2xe-x是微分方程y+2y+y=0的通解，并求出满足初始条件y|x=0=4，y|x=0=-2的特解.【解】容易求得y=C1e-x+C2xe-x的一阶导数和二阶导数为y=C2-C1e-x-C2xe-xy=C1-2C2e-x+C2xe-x代入方程中，得C1-2C2e-x+C2xe-x+2C2-C1e-x-C2xe-x+C1e-x+C2xe-x=C1-2C2+2C2-C1+C1e-x+(C2-2C2+C2)xe-x0因此，y=C1e-x+C2xe-x是原微分方程的解.又因为其中含有两个独立的任意常数，因而是方程的通解.将初始条件y|x=0=4， y|x=0=-2代入，可得C1=4，C2-C1=-2从而解出C1=4，C2=2因此，满足初始条件的特解为y=4e-x+2xe-x第二节 一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程在一阶微分方程中，形如dydx=f(x)g(y)的方程，称为可分离变量的方程.其中，函数f(x)和g(y)都是连续函数,g(y)0.将方程变为dyg(y)=f(x)dx的形式,即方程各边都只含有一个变量及它的微分,这样变量就“分离”开了，再对式两边分别积分，得1g(y) dy=fxdx+C若设G(y)及F(x)依次为1/g(y)及f(x)的原函数，于是有Gy=Fx+C可以证明，G(y)=F(x)+C就是两个方程的通解.值得说明的是，对方程求解时，总假设g(y)0.如果g(y)=0，则可由方程求得其一个解为y=y0，且可能它不包含在方程的通解之中.综上所述，求解可分离变量的微分方程的步骤如下：(1) 分离变量；(2) 两边积分.【例1】求方程dydx=-xy的通解.【解】分离变量，得ydy=-xdx两边积分，得ydy=(-x)dx+C112y2=-12x2+C1所以通解为x2+y2=C(2C1=C)其中,C为任意常数.二、一阶线性微分方程如果一阶微分方程可化为y+Pxy=Q(x) (8-11)的形式，即方程关于未知函数及其导数是线性的，而P(x)和Q(x)是已知连续函数，则称此方程为一阶线性微分方程.【例4】求方程1+x2y-2xy=(1+x2)2的通解.【解】原方程可化为y-2x1+x2y=1+x2所以原方程是线性非齐次的，即Px=-2x1+x2,Qx=1+x2对应齐次方程y-2x1+x2y=0，分离变量，得dydx=2x1+x2dx两边积分，得lny=ln(1+x2)+lnC所以齐次方程通解为y=C(1+x2)设y=C(x)(1+x2)，代入原方程，得Cx1+x2+2xCx-2x1+x2Cx1+x2=1+x2整理得Cx1+x2=1+x2Cx=1Cx=x+C由此得到原方程的通解为y=(x+C)(1+x2).第三节 可降阶的高阶微分方程一、y=f(x)类型的方程这种类型的方程特点是其左端为未知函数y的高阶导数，而右端不含y，两边积分得y=f(x)dx+C1再积分，得方程通解y=f(x)dxdx+C1x+C2其中，C1,C2为任意常数.【例1】求方程y=x+sinx满足初始条件y|x=0=1，y|x=0=2的解.【解】对方程两端积分，得y=12x2-cosx+C1将初始条件y|x=0=2代入，得C1=3,即y=12x2-cosx+3再次对方程两端积分，可得y=16x3-sinx+3x+C2将初始条件y|x=0=1代入，得C2=1.所以原方程解为y=16x3-sinx+3x+1二、y=f(x,y)类型的方程若二阶微分方程中不显含未知函数y，则可以通过变量代换，降为一阶微分方程求解.将y看作未知函数p(x)，即令y=p(x)，则y=dp/dx，代入原方程得到关于x和未知函数p(x)的一阶微分方程dpdx=f(x,p)设其通解为p=(x，C1)或y=(x，C1),积分得原方程通解y=(x,C1)dx+C2【例4】求微分方程y-3y2=0满足初始条件y(0)=0,y(0)=1的特解.【解】令y=p(x),y=p,代入原方程，方程降阶为p-3p2=0，即dpp2=3dx两边积分，得-1p=3x+C1.由y(0)=p(0)=-1得C1=1.代入后得一阶方程y=-13x+1，即dy=-dx3x+1再对上式两边积分，得y=-13ln3x+1+C2.又由y(0)=0,得C2=0，所以原方程的特解为y=-13ln3x+1三、y=f(y,y)类型的方程若二阶微分方程中不显含自变量x，此时可将y看作未知函数p(y)，即令y=p(y)，两边对x求导得y=dpdydydx=pdpdy代入原方程得到关于y和未知函数p(y)的一阶微分方程pdpdy=f(y,p)设其通解为p=y,C1或dydx=y,C1这是关于x和未知函数y(x)的可分离变量的一阶微分方程，若(y，C1)0，分离变量dyy,C1=dx积分得原方程的通解dyy,C1=x+C2其中，C1,C2是任意常数.【例5】解方程y=ey，y|x=0=0，y|x=0=2.【解】这是一个不显含x的二阶可降阶微分方程.令dydx=p，于是d2ydx2=pdpdy，代入原方程将原方程化成pdpdy=ey即pdp=eydy12p2=ey+C1以条件y|x=0=0，y|x=0=2代入得C1=0.于是有dydx=2ey/2由初始条件yx=0=2知，应有dydx=2ey/2，从而e-y/2dy=2dx-2e-y2=2x+C2以条件y|x=0=0代入得C2=2，因此有-2e-y2=2x-2即y=ln2x-22这就是所要求的特解.第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程通解的结构y+py+qy=f(x)(p,q为常数)的微分方程，称为二阶常系数线性微分方程.定理1 (齐次线性方程解的叠加性)若函数y1，y2是齐次线性方程的两个解，则函数y=C1y1+C2y2(C1，C2为任意常数)也是方程的解.定理2 (齐次线性方程通解的结构)若函数y1,y2是方程的两个线性无关的特解,则y=C1y1+C2y2(C1，C2为任意常数)是方程的通解.由此可见,求二阶常系数齐次线性方程通解的关键是求它的两个线性无关的特解.定理3 (非齐次线性方程通解的结构)设y*是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,Y是对应的齐次方程的通解,则y=Y+y*是非齐次方程的通解.定理4 (线性非齐次方程解的叠加性)设二阶常系数非齐次线性方程的右端f(x)是几个函数之和.二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法设二阶常系数齐次线性微分方程为y+py+qy=0由于方程左端是未知函数y及y，y的线性代数和，所以函数y必须满足求一、二阶导数后函数形式不变，最多相差常系数，代入左端整理后才可能为零.因此，我们猜测y=erx可能是方程的解，其中常数r需要待定，它表示了该解的特征.将y=erx，y=rerx，y=r2erx代入方程(8-19)中，得(r2+pr+q)erx=0.由于erx0，所以r2+pr+q=0.若函数y=erx是方程的解，则r必须满足方程，称方程为微分方程.【例1】求微分方程y-y-2y=0的通解.【解】微分方程的特征方程为r2-r-2=0即(r+1)(r-2)=0其根为r1=-1，r2=2，故通解为y=C1e-x+C2e2x三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法1. f(x)=Pm(x)ex型其中，Pm(x)为m次多项式Pm(x)=a0xm+a1xm-1+am-1x+am，为常数.这时，微分方程为y+py+qy=Pm(x)ex.根据方程两端的特征，可以猜想方程有形如y*=Q(x)ex的特解，其中Q(x)是需待定的多项式.将y*的一阶、二阶导数y*，y*及y*代入方程中，得Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)=Pm(x).式的左端应是m次多项式.2. f(x)=expm(x)cosx或f(x)=expm(x)sinx型设方程y+py+qy=expm(x)cosx，或y+py+qy=expm(x)sinx.其中，p，q，0均为常数，pm(x)为m次多项式，可以证明(从略)方程具有形如y*=xkexQm(x)cosx+Rm(x)sinx.的特解，其中Qm(x)，Rm(x)为待定m次多项式，而k的取值根据i是否为特征方程r2+pr+q=0的根而取1或0.【例4】求微分方程y+5y+4y=3-2x的特解.【解】与所给方程对应的齐次方程为y