高中数学复习單元：圓錐曲線.doc

高中數學複習 單元：圓錐曲線主題：拋物線定義範例一： 1.以F ( 4 ,1 )為焦點, L：2 xy2 為準線的拋物線,試求( 1 )對稱軸方程式 ( 2 )正焦弦長 ( 3 )頂點坐標 2.設一拋物線的頂點為( 0 , 1 ) , (1 , 3 )為焦點,則( 1 )對稱軸方程式 ( 2 )正焦弦長 ( 3 )準線方程式 ( 4 )拋物線方程式 3.試求以L：xy30為準線,V (2 , 1 )為頂點的拋物線之焦點座標。 4. 一錐線5 ( x1 ) 25 ( y3 ) 2( x2 y3 ) 2 試求( 1 )對稱軸方程式 ( 2 )正焦弦長 ( 3 )頂點坐標類題：1.一拋物線以V ( 1 , 1 )為頂點, F ( 2 , 3 )試求( 1 )準線方程式 解答：x2 y20 ( 2 ) 拋物線方程式 解答：4 x 24 x yy 22 4 x3 8 y6 102.設一拋物線的準線為L：xy40 ,焦點在F ( 2 , 2 )求此拋物線的正焦弦長 解答：3.關於方程式所代表的錐線圖形為 ,下列敘述何者為真？ ( A ) 為拋物線 ( B ) ( 1 ,2 )為的焦點 ( C ) 3 xy1 90為的漸近線 ( D ) x3 y70 為的對稱軸 ( E ) ( 3 , 1 )為的頂點 解答：A D主題：標準式範例一： 1.頂點在V ( 3 ,1 ) ,對稱軸為y1 ,正焦弦長為4的拋物線方程式為？ 2.頂點在直線3 xy10上,軸平行座標軸,又過( 3 , 6 ) ( 3 ,2 )兩點的拋物線方程式為？ 3.過兩點( 2 , 3 ) (1 , 6 )且對稱軸為x1的拋物線方程式為？ 4.焦點為( 0 ,2 )準線平行於x軸,正焦弦長為8 的拋物線方程式為？ 5.對稱軸平行於x軸,又過( 1 , 2 ) , ( 4 , 4 ) , (1 , 0 )三點的拋物線方程式為？類題：1.一拋物線過點(7 ,6 ) ,準線L與y軸平行又與拋物線的交點為( 3 , 2 ) ,求此拋物線方程式？ 解答：( y2 ) 28 ( x1 ) , ( y2 ) 23 2 ( x5 )2.對稱軸平行於y軸,又過( 0 , 1 ) , ( 2 ,1 ) , ( 3 , 0 )的拋物線方程式？ 解答：範例二： 1.關於拋物線 x 24 x2 y20 ,試回答下列問題 ( 1 )頂點 ( 2 )焦點 ( 3 )正焦弦長 ( 4 )準線方程式 2.關於拋物線4 y 22 x8 y70 ,試回答下列問題 ( 1 )頂點 ( 2 )焦點 ( 3 )正焦弦長 ( 4 )準線方程式範例三： 在只有皮尺沒有梯子的情形下,想要測出一拋物線形拱門的高度,已知此拋物線以過最高點的鉛線為對稱軸,線甲乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為6公尺,且距底部公尺高處其寬為5公尺,利用這些數據可推算出拱門的高度為？ 類題：1.有一座拱橋,輪廓式一個拋物線,當水面離最高點2公尺時,水面寬4公尺,則當水面下降1公尺後,水面寬為？ 解答：2.阿山家在一條東西向馬路北方D點處,為了不同的目的,他走到馬路的路線有三條： 向南走a公尺到A點,繼續向南走a公尺到達馬路； 向東南走b公尺到B點,繼續向南走b公尺到達馬路；向東走c公尺到C點,繼續向南走c公尺到達馬路；根據上述資料,下列選項何者為真？( A ) c2 a ( B ) abc ( C ) ba ( D ) A B C D四點共圓 ( E ) A B C 三點剛好在以D點為焦點的拋物線上 解答：A B 3.探照燈的外殼式拋物線,繞它的對稱軸旋轉一周所成的曲面,已知燈口處是的直線4 8公分,燈的深度是3 6公分,則焦距是多少公分？ 解答：4公分4.設A ( 1 , 0 ) B ( b , 0 )為座標平面上兩點,其中b1 ,若拋物線y 24 x上有一點P使得ABP為正三角形,則b？ 解答：5主題：極值範例： 1.設拋物線y 21 6 x與直線4 x3 y2 40距離最近之點的座標為？ 2.設a0 , P ( a 2 , 2 a )為y 24 x上之點, P與焦點連線交拋物線於另一點Q , 而R表( 3 , 0 ) ,則PRQ 之面積為？又當a？時, PRQ面積最小？ 3.設L為通過拋物線之交點的直線,求 1 的焦點F 至L之距離類題：1.在第一象限中,拋物線y4x 2上距離原點最近的點為？最近距離為？ 解答：2.參數方程式xt2 , yt 24 t所表的曲線為( A )一個二次曲線 ( B )具有對稱中心 ( C )曲線有界 ( D )具有兩個對稱軸 ( E )只有一個對稱軸 解答：A E3.拋物線y 24 x 上之動點P ,直線L：yx5 上之動點Q ,若P Q距離最小求P , Q座標 解答：P ( 1 , 2 ) Q (1 , 4 )4.拋物線yx 23 x1圖形上有相異兩點A、B對稱於直線xy0求AB兩點距離？ 解答：5.已知過二拋物線yx 2a x3 與 y2 x 23 xb之兩交點直線方程式為x3 y10 ,則數對 ( a , b )？ 解答：1 ,76.有兩拋物線關於直線xy0成對稱,已知其中一個方程式為yx 24 x3 ,求另一個方程式 解答：xy 24 y3主題：橢圓定義式範例一： 1.已知平面上一橢圓的兩焦點為(6,0) ,(0,8),2a=12試求(1) 中心 (2) 短軸長 (3) 對稱軸 2.設一橢圓試求(1) 焦點 (2) 中心 (3) 長、短軸長 (4) 正焦弦長 (5) 對稱軸方程式 3.設試依下列條件判別的圖形為？ (1) k=10 (2) k=5 (3) k=4類題：1.下列哪些選項中的資訊當作已知條件時,可以在座標平面上求出橢圓方程式？(A)橢圓的四個頂點 (B)橢圓的兩個焦點坐標及橢圓上一點的座標 (C)橢圓的長短軸長度 (D)橢圓的兩焦點座標及長軸長度 (E)橢圓中心座標及長短軸長度的比值 解答：ABD2.關於橢圓,下列何者為眞？(A) (0,0)是的中心 (B)(1,2)與(-1,-2)為的焦點 (C)的短軸長為4 (D)對稱直線x=y (E)對稱於(1,2)與(-1,-2)的連線 解答：ABCE3.橢圓的長軸兩端點為(5,-5) , (-1,3),兩焦點間的距離為8,則(1) 焦點座標 (2) 短軸頂點 (3) 正焦弦長 解答：(1) (2) (3)4.方程式的圖形是一個橢圓則k的範圍為？解答：k105.設試分別求出k值使為(1)橢圓 (2)線段(3)沒有圖形 解答：(1)k5 (2)k=5 (3)k5範例二： 座標平面上有一橢圓,已知在(8,4),(9,11),(15,5)和(16,12)這四個點中有兩個是焦點,另外兩個是頂點,則此橢圓的半長軸長度等於？主題：標準式範例一： 試依下列各條件,求以原點為中心的橢圓方程式： (1)長軸長為20,一焦點是(0,6) (2)長軸長為20,正焦弦長是3,焦點在x軸上 (3)長軸長是短軸長的5倍,焦點在x軸上,且經過點(7,2)類題：1.橢圓兩焦點(4,0),(-4,0),一頂點(5,0),則此橢圓的方程式為？ 解答：2. 以原點為中心,焦點在y軸上,(3,0)與(0,-5)是其中兩個頂點的橢圓方程式為？ 解答：3. 以原點為中心,且長軸長度是短軸長度的3倍,又通過點(3,0)的橢圓方程式為？ 解答：範例二： 試求滿足下列各條件的橢圓方程式 (1)焦點為(-1,1),(7,1),長軸的兩端點為(-2,1),(8,1) (2)長軸在直線x=5上,短軸在y=1上,短軸為長軸的倍,且中心到焦點的距離為12 (3)中心為原點,軸是座標軸,通過類題：試求滿足下列各條件的橢圓方程式 (1)中心為(3,5),長軸平行x軸且長為12,短軸長為8 解答： (2)長軸上的頂點為(0,1),(0,21),焦點為(0,2),(0,20) 解答： (3)一焦點為(0,4),短軸在x=2上,長軸長為10 解答： (4)長軸上的頂點為(1,2),(9,2),而短軸長為4 解答： (5)中心為原點,軸是座標軸,且過(2,3),(-1,4) 解答： (6)長軸在x=1上,短軸在y+2=0上,長軸是短軸的2倍又圖形過原點 解答： (7)設F1(4,2),F2(-2,2)為兩個定點,則滿足之P點軌跡方程式 解答：範例二： 1.設橢圓之一焦點為(-2,3),一頂點坐標為(7,3),短軸長為6,且已知中心介於(-2,3)與(7,3) 之間,求此橢圓方程式 2.橢圓兩焦點分別為(3,2),(-1,2)且過點(3,5)求此橢圓方程式類題：1.長軸的頂點為(-8,0),短軸的頂點為(-4,3)之橢圓方程式為？ 解答：2.橢圓的頂點為(5,-1),(-5,-1),一焦點為(3,-1),則方程式為？ 解答：範例三： 設橢圓過點(3,2)且與共焦點,則此橢圓方程式為？類題：1.與共焦點且短軸長為6之橢圓方程式為？ 解答：2.與共焦點且正焦弦長為的橢圓方程式為？ 解答：範例四： 橢圓,則試求：(1)中心 (2)焦點 (3)頂點 (4)對稱軸 (5)正焦弦長 (6)正焦弦的端點座標 (7)橢圓面積類題：1.已知一橢圓的長軸平行x軸,中心為(1,2)且過點(4,6),試問下列哪些點一定會在橢圓上？ (A)(-2,-2) (B)(-2,6) (C)(4,-2) (D)(5,6) (E)(3,4) 解答：ABC2.試求橢圓之二正焦弦四個頂點所圍成之矩形面積？ 解答：範例五： ,(1)若表一橢圓則的範圍？ (2)若表長軸在x軸上之橢圓則的範圍？ (3)若表沒有圖形,則的範圍？類題：1.設方程式,表長軸在y軸上之橢圓,則t的範圍為？ 解答：3t42.若方程式表一長軸平行x軸之橢圓,求k的範圍？ 解答：-7k-1 ,k53.表一橢圓,求t的範圍？ 解答：t3範例六： 1.設點P為橢圓：在第一象限上之一點,A為焦點且滿足POA=60 0,則P點坐標為？ 2.設的兩焦點,若P為橢圓上一點,且F1PF2600,則F1PF2的面積為？ 此時P的座標為？類題：若橢圓的兩焦點分別為F1(-2,1),F2(6,1),弦AB過F1,已知ABF2的周長為20,則橢圓的方程式為？ 解答：主題：極值範例一： 橢圓4x2+9y2=36試求(1)內接長方形的最大面積 (2)內接長方形的最大周長 (3)內接正方形面積 (4)內接正方形周長類題：橢圓 試求(1)正焦弦為？ 解答：(2) 內接長方形的最大面積 解答：12(3) 內接正方形面積 解答：範例二： 設P(x,y)為橢圓x2+4y2=4上之一點,試求P到直線3x+4y=12的最短距離與最長距離為？類題：1.設x,y皆為實數,且則2xy的最大值為？ 解答：152.已知橢圓則 (1)設A(2,-4) ,B(4,0),若P為橢圓上任一點,則PAB的面積最小值為？最大值為？ 解答：小： (2)設直線L:x+2y+10=0,則上之點到直線L距離最近之點為？最近距離？ 解答： 則上之點到直線L距離最遠之點為？最遠距離？ 解答：3.橢圓上任一點到直線x-y-4=0的最大距離為M,最小距離為m,則M-m=？ 解答：範例三： 已知橢圓上另一點,使得ABC面積為最大,則(x0,y0)=? , ABC面積為？類題：1.設橢圓與座標軸正向交點為A,B;P為第一象限內橢圓上的一點,O為原點 (1)試求四邊形PBOA的最大面積？ 解答： (2)當四邊形PBOA的面積為最大時,P點的座標為？ 解答：P2.設(p,0)為橢圓的長軸上一定點,且若點(a,b)為橢圓上距離(p,0)最近之點,則a=? (以p表示) 解答主題：雙曲線定義範例一： 雙曲線 ,求(1)焦點 (2)中心 (3)對稱軸 (4)頂點座標 (5)正焦弦長 範例二：判定下列各方程式所表示的圖形： 主題：標準式範例一： 試依下列各條件,求雙曲線方程式 (1)兩焦點座標為(3,0),(-3,0),一頂點座標為(1,0). (2)二頂點座標為(2,3),(2,-1),一焦點座標為(0,-4). (3)中心(3,4)貫軸在y=4上,正焦弦長為18,二焦點間距離為12.類題：試依下列各條件,求雙曲線方程式(1)共軛軸在y=1上,焦點為(3,6),且過(3,5). 解答：(2)雙曲線中心在原點,貫軸在x軸上,過此雙曲線的一頂點至兩個焦點的距離分別為9與1. 解答： (3)兩頂點分別為(5,3),(13,3),一焦點(15,3) 解答：範例二： 試依下列各條件,求雙曲線方程式 (1)與橢圓共焦點,貫軸長為2. (2)二焦點(-2,-2),(-2,8),一漸近線斜率為類題：1.過共頂點,且貫軸與長軸一致的雙曲線方程式為？ 解答：2.中心(2,-1),貫軸平行y軸,貫軸長為6,貫軸與漸近線夾角600的雙曲線方程式為？ 解答：3.若橢圓共焦點,則k的值為？ 解答：-9範例三： 1.漸近線為y3x,一頂點為(2,0)的雙曲線方程式為？ 2.漸近線為3x+2y=0及3x-2y=0,焦點為(0,3) 的雙曲線方程式為？類題：1.設雙曲線的漸近線為,則(1)若雙曲線的焦點為(5,0),求方程式 解答：(2)若雙曲線過(1,1),求方程式 解答：9x2-16y2=-72.兩焦點為(-5,2),(1,2),且過點(1,-6)的雙曲線方程式為？ 解答：3.兩漸近線x+2y-5=0,x-2y+3=0,一焦點為(1,7) 解答：範例四： 雙曲線試求(1)中心 (2)對稱軸方程式 (3)頂點座標 (4)焦點座標 (5)正焦弦長範例五： 方程式的圖形為一雙曲線,求k的範圍？類題：1.設方程式則(1)若表橢圓,則k的範圍為？ 解答： (2)若表一雙曲線,則k的範圍為？ 解答：-5k52.設k為一實數,若方程式y2-2ky-kx2-4x+6=0的圖形為貫軸與x軸平行的雙曲線,則k的範圍為？ 解答：主題：漸近線的性質範例一： 求方程式x2-9y2-12x-36y-9=0的漸近線方程式為？共軛雙曲線為？類題：已知雙曲線G的漸近線為3x-2y+1=0及3x+2y-7=0,又知G的共軛雙曲線通過點(3,0),則G方程式為？ 解答：9x2-4y2-18x+16y+13=0範例二： 一等軸雙曲線的一條漸近線為x-y=0,中心座標為(1,1),且雙曲線通過點(3,0),試求 (1)另一條漸近線為？ (2)對稱軸 (3)焦點類題：設有一等軸雙曲線之中心為(0,-1),又經過(2,-1),已知其一漸近線方程式為x-2y-2=0,則 (1)另一漸近線方程式 解答：2x+y+1=0 (2)此雙曲線方程式 解答：(x-2y-2)(2x+y+1)=8範例三： 1.雙曲線上任一點到兩漸近線之距離乘積？ 2.若一雙曲線的中心為原點,貫軸在x軸上,為其上一點,又知P至其二漸近線距離乘積為,求此雙曲線 3.雙曲線(3x-4y+10)(5x+12y+26)=10上任一點到兩漸近線之距離乘積？類題：兩焦點為(2,-4),(2,6),貫軸長為6隻雙曲線上任一點到兩漸近線的距離乘積為？ 解答：主題：共軛雙曲線範例： 試求下列各雙曲線的共軛雙曲線 (1) (2)(x-2y+3)(2x+y-2)=5 (3)類題：1.x2-4y2+12x+16y+16=0與x2-4y2+12x+16y+k=0互為共軛雙曲線求k？ 解答：242.一雙曲線的兩焦點分別為(3,2),(-1,4)求其共軛雙曲線的兩焦點？ 解答：(2,5)(0,1)主題：軌跡範例一： 1.兩定圓若動圓C恆與C1,C2兩圓均外切或均內切時,試求 動圓C的圓心軌跡方程式？ 2.給定圓C：x2+(y+2)2=4,及點A(0,4),若圓C恆過A,並與圓C相切,則動圓C的圓心軌跡方 程式為？主題：圓錐曲線與直線範例一： 1.求拋物線yx 2 與直線yx2的交點座標為？ 2.直線L：ym x與拋物線 ：yx 2x1 ,有相異兩個交點P , Q ,此兩交點連線段之中點為M , 則 ( 1 ) m的範圍？ ( 2 ) M的軌跡方程式？類題：1.若直線L:x-my=4與橢圓有交點,求m的範圍？解答：2.若直線y=kx-1與雙曲線x2-2y2-2x-6=0相交於兩點,求實數k的範圍？解答：範例二： 1.直線yxk與拋物線y 24 x相交之弦長為8 ,求k？ 2. 橢圓相交於相異兩點A,B,(1)求A,B兩點的距離 (2)線段AB的中點座標類題：若m0 ,且直線ym x1 與拋物線y 24 x截得一弦,弦長為8 ,則m？ 解答：1範例三： 設一直線L過 P ( 2 , 1 2 )並與拋物線yx 2交於M、N兩點,若P是的中點時, L的方程式？類題：1.橢圓的所有弦中以點(2,1)為中點的弦方程式為？又弦長為？ 解答：x2y40,2.雙曲線3x2-4y2=12上一弦之中點為(-1,2),求此弦所在直線方程式？ 解答：3x+8y-13=0主題：切線範例一： 1.若拋物線yx 24 x3與直線y2 xk相切,試求k之值,並求切點？ 2.已知直線,則切點座標為？ 3.設A,B,C為橢圓的切線與過A,B的兩切線皆互相垂直,若已知 則(1)求過C的切線 (2)A,B的座標 類題：1.求平行於x+2y+5=0且與x2-y2-4x+6y+7=0相切之切線方程式 解答：x+2y-2=0,x+2y-14=02.試求與x+2y+4=0垂直且與7x2-4y2-14x-21=0相切之切線方程式 解答：2x-y+1=0,2x-y-5=0範例二： 1.求過拋物線x 28 y上一點 P (4 , 2 )的切線方程式 2.試求過點(2,-1)與雙曲線x2-4y2+2x+3y-1=0相切的直線方程式類題：求拋物線y4 xx 2在點( 3 , 3 )的切線與兩座標軸所為成三角形面積？ 解答：範例三： 試求過點(3,2)與橢圓4x2+y2=8相切的直線方程式？ 1. 試求過點(0,4)與橢圓相切的直線