高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理课件.ppt

4 6正弦定理 余弦定理 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 正弦定理 余弦定理在 abc中 若角a b c所对的边分别是a b c r为 abc外接圆半径 则 知识梳理 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 2rsinb 2rsinc sina sinb sinc 2 在 abc中 已知a b和a时 解的情况如下 3 三角形常用面积公式 1 三角形内角和定理在 abc中 a b c 2 三角形中的三角函数关系 1 sin a b sinc 2 cos a b cosc 3 三角形中的射影定理在 abc中 a bcosc ccosb b acosc ccosa c bcosa acosb 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 2 在 abc中 若sina sinb 则a b 3 在 abc的六个元素中 已知任意三个元素可求其他元素 4 当b2 c2 a2 0时 三角形abc为锐角三角形 6 在三角形中 已知两边和一角就能求三角形的面积 考点自测 1 2016 天津 在 abc中 若ab bc 3 c 120 则ac等于a 1b 2c 3d 4 答案 解析 由余弦定理得ab2 ac2 bc2 2ac bc cosc 即13 ac2 9 2ac 3 cos120 化简得ac2 3ac 4 0 解得ac 1或ac 4 舍去 故选a 2sinb sinc 1 cosa 1 cos b c cos b c 1 b c为三角形的内角 b c 又sin2b sin2c sin2a b2 c2 a2 综上 abc为等腰直角三角形 答案 解析 2 在 abc中 若sinb sinc cos2 且sin2b sin2c sin2a 则 abc是a 等边三角形b 直角三角形c 等腰三角形d 等腰直角三角形 答案 解析 3 2017 浙江五校高三第二次联考 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 且满足 b a sina b c sinb sinc 则c等于 由已知 得 b a a b c b c ba a2 b2 c2 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一利用正弦定理 余弦定理解三角形 例1 2016 四川 在 abc中 角a b c所对的边分别是a b c 且 证明 则a ksina b ksinb c ksinc sinasinb sinacosb cosasinb sin a b 在 abc中 由a b c 有sin a b sin c sinc 所以sinasinb sinc 变形可得 解答 由 1 知 sinasinb sinacosb cosasinb 应用正弦 余弦定理的解题技巧 思维升华 3 已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解 4 灵活利用式子的特点转化 如出现a2 b2 c2 ab形式用余弦定理 等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理 跟踪训练1 边化角 答案 解析 2 在 abc中 内角a b c的对边长分别为a b c 已知a2 c2 b 且sin a c 2cosasinc 则b等于a 6b 4c 2d 1 答案 解析 角化边 由题意 得sinacosc cosasinc 2cosasinc 即sinacosc 3cosasinc 整理得2 a2 c2 b2 又a2 c2 b 联立 得b 2 故选c 题型二和三角形面积有关的问题 例2 2016 浙江 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知b c 2acosb 1 证明 a 2b 证明 由正弦定理得sinb sinc 2sinacosb 故2sinacosb sinb sin a b sinb sinacosb cosasinb 于是sinb sin a b 又a b 0 故0 a b 所以b a b 或b a b 因此a 舍去 或a 2b 所以a 2b 解答 由sinb 0 得sinc cosb 思维升华 2 与面积有关的问题 一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 跟踪训练2 答案 解析 c2 a b 2 6 c2 a2 b2 2ab 6 由 得 ab 6 0 即ab 6 题型三正弦定理 余弦定理的简单应用 命题点1判断三角形的形状 例3 1 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若 cosa 则 abc为a 钝角三角形b 直角三角形c 锐角三角形d 等边三角形 答案 解析 所以sinc0 所以cosb 0 即b为钝角 所以 abc为钝角三角形 2 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 不确定 由正弦定理得sinbcosc sinccosb sin2a sin b c sin2a 即sin a sin2a sina sin2a a 0 sina 0 sina 1 答案 解析 引申探究1 例3 2 中 若将条件变为2sinacosb sinc 判断 abc的形状 解答 2sinacosb sinc sin a b 2sinacosb sinacosb cosbsina sin a b 0 又a b为 abc的内角 a b abc为等腰三角形 2 例3 2 中 若将条件变为a2 b2 c2 ab 且2cosasinb sinc 判断 abc的形状 解答 又由2cosasinb sinc得sin b a 0 a b 故 abc为等边三角形 命题点2求解几何计算问题例4 2015 课标全国 如图 在 abc中 d是bc上的点 ad平分 bac abd面积是 adc面积的2倍 解答 因为s abd 2s adc bad cad 所以ab 2ac 解答 在 abd和 adc中 由余弦定理 知ab2 ad2 bd2 2ad bdcos adb ac2 ad2 dc2 2ad dccos adc 故ab2 2ac2 3ad2 bd2 2dc2 6 又由 1 知ab 2ac 所以解得ac 1 命题点3解三角形的实际应用例5 1 如图 从气球a上测得正前方的河流的两岸b c的俯角分别为75 30 此时气球的高ad是60m 则河流的宽度bc等于 答案 解析 如图 在rt acd中 cad 90 30 60 ad 60m 在rt abd中 bad 90 75 15 2 2016 三明模拟 在200m高的山顶上 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30 60 则塔高是 m 答案 解析 如图 在rt cdb中 cd 200m bcd 90 60 30 在 abc中 abc bcd 30 acb 60 30 30 bac 120 1 判断三角形形状的方法 化边 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 化角 通过三角恒等变换 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 2 求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 思维升华 跟踪训练3 1 在 abc中 内角a b c所对的边长分别是a b c 若c acosb 2a b cosa 则 abc的形状为a 等腰三角形b 直角三角形c 等腰直角三角形d 等腰或直角三角形 答案 解析 c acosb 2a b cosa c a b 由正弦定理得sinc sinacosb 2sinacosa sinbcosa sinacosb cosasinb sinacosb 2sinacosa sinbcosa cosa sinb sina 0 cosa 0或sinb sina abc为等腰或直角三角形 2 2015 课标全国 在平面四边形abcd中 a b c 75 bc 2 则ab的取值范围是 答案 解析 如图所示 延长ba与cd相交于点e 过点c作cf ad交ab于点f 则bf ab be 在等腰三角形cbf中 fcb 30 cf bc 2 在等腰三角形ecb中 ceb 30 ecb 75 二审结论会转换 审题路线图系列 1 求cosa的值 审题路线图 规范解答 返回 根据余弦定理 返回 课时训练 a 135 b 105 c 45 d 75 答案 解析 a 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 余姚模拟 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 且sin2b sin2c 则 abc的形状为a 等腰三角形b 锐角三角形c 直角三角形d 等腰直角三角形 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由bcosc ccosb asina 得sinbcosc sinccosb sin2a sin b c sin2a 即sina sin2a 在三角形中sina 0 sina 1 a 90 由sin2b sin2c 知b c 综上可知 abc为等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 在 abc中 已知b 40 c 20 c 60 则此三角形的解的情况是a 有一解b 有两解c 无解d 有解但解的个数不确定 答案 解析 角b不存在 即满足条件的三角形不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即a2 c2 b2 ac 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 如图 一艘船上午9 30在a处测得灯塔s在它的北偏东30 处 之后它继续沿正北方向匀速航行 上午10 00到达b处 此时又测得灯塔s在它的北偏东75 处 且与它相距8nmile 此船的航速是 nmile h 答案 解析 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设航速为vnmile h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由余弦定理得a2 16 b2 c2 2bccosa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 则 b c 2 64 即b c 8 当且仅当b c 4时等号成立 abc周长 a b c 4 b c 12 即最大值为12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求sin a b 的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 海宁模拟 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 满足bcosc bsinc a c 0 1 求角b的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由已知条件得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13