高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课件3 新人教A版选修11.ppt

1 2 2充要条件 阅读教材 根据下面的知识结构阅读教材 并识记充要条件的概念 初步掌握充要条件的判断与证明方法 知识链接 1 充分与必要条件 指的是若p q 则称p为q的充分条件 q为p的必要条件 2 充分条件与必要条件的判断方法 1 定义法 看p q成立还是q p成立 2 集合法 看a b还是b a 主题 充要条件的概念 自主认知 1 已知p 整数a是6的倍数 q 整数a是2和3的倍数 请判断 p是q的充分条件吗 p是q的必要条件吗 提示 p q 故p是q的充分条件 又q p 故p是q的必要条件 2 通过判断 你发现了什么 这种关系是否对任意一个 若p 则q 的命题只要具备上述命题的条件都成立 你能用数学语言概括出来吗 提示 可以发现p既是q的充分条件 又是q的必要条件 且这种关系对 若p 则q 的命题只要具备p q q p都成立 即p q 根据以上探究过程 试着完成充要条件的概念 一般地 如果 又有 就记作 此时我们说 p是q的充分必要条件 简称充要条件 显然 q也是p的充要条件 概括地说 如果p q 那么p与q互为充要条件 既有p q q p p q 合作探究 1 符号 的含义是什么 提示 符号 的含义是 等价于 例如 p q 可以理解为 p是q的充要条件 p等价于q q必须且只须p p q 的含义还可以理解为 p q 且q p 2 p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗 提示 不相同 两者都有p与q等价的含义 但是两种叙述方式中的条件与结论不同 p是q的充要条件 中 p 是条件 q 是结论 即p q为真 充分性成立 q p为真 必要性成立 而 q是p的充要条件 中的条件是 q 结论是 p 即q p为真 充分性成立 p q为真 必要性成立 3 若p不是q的充分条件 则q可能是p的必要条件吗 p可能是q的必要条件吗 提示 充分条件与必要条件是共存的 如果p不是q的充分条件 则q也不是p的必要条件 p可能是q的必要条件 过关小练 1 b 0是函数f x ax2 bx c为偶函数的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选c 若b 0 则f x ax2 c为偶函数 若f x 为偶函数 则有f x f x 得b 0 故b 0是函数f x ax2 bx c为偶函数的充要条件 2 x 1是x2 3x 2 0的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析 选a 因为x2 3x 2 0的解为x 1或x 2 所以x 1是x2 3x 2 0的充分不必要条件 3 m 5为无理数是m为无理数的 条件 解析 m 5为无理数 m为无理数 答案 充要 归纳总结 1 充要条件概念的两个关注点 1 两个条件 只有当 p q q p 这两个条件同时满足时 p与q才互为充要条件 2 两层含义 p与q互为充要条件有两层含义 p是q的充要条件 q是p的充要条件 2 常见的充分条件 必要条件的四种关系 1 p是q的充分不必要条件 即p q 但 2 p是q的必要不充分条件 即但q p 3 p是q的充要条件 即p q且q p 4 p是q的既不充分也不必要条件 即且 拓展延伸 等价命题的转化与充要条件由于p是q的充要条件和p与q等价是一致的 因而我们可以通过这一结论将我们所要证明判定的结论和利用的条件进行转化 即我们可以把命题p转化为命题q来证明判定 这就是数学上重要的转化思想 类型一 充分条件 必要条件的判断 典例1 1 2014 天津高考 设a b r 则 a b 是 a a b b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 2 在下列结论中 正确的有 x2 9是x3 27的必要不充分条件 在 abc中 ab2 ac2 bc2 是 abc为直角三角形 的充要条件 若a b r 则 a2 b2 0 是 a b全不为0 的充要条件 若a b r 则 a2 b2 0 是 a b不全为0 的充要条件 a b c d 解题指南 可根据充要条件的特点 分两个步骤进行判断 判断充分性 判断必要性 解析 1 选c 当bb a a b b 当b 0时 显然有a b a a b b 当b 0时 a b有 a b 所以a b a a b b 综上可知a b a a b b 2 选c 对于结论 由x39 但是x2 9 x3 x327 不一定有x3 27 故 正确 对于结论 由a2 b2 0 a b不全为0 反之 由a b不全为0 a2 b2 0 故 正确 于是我们根据选择题的特点就知应选择c 规律总结 1 判断充分条件 必要条件及充要条件的四种方法 1 定义法 直接判断 若p 则q 以及 若q 则p 的真假 2 集合法 即利用集合的包含关系判断 3 等价法 即利用p q与q p的等价关系 一般地 对于条件和结论是否定形式的命题 一般运用等价法 4 传递法 充分条件和必要条件具有传递性 即由p1 p2 pn 可得p1 pn 充要条件也有传递性 2 从集合的角度判断充分条件 必要条件和充要条件 其中p a x p x 成立 q b x q x 成立 巩固训练 2015 湖南高考 设x r 则 x 1 是 x3 1 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选c 由题易知 x 1 可以推得 x3 1 x3 1 可以得到 x 1 所以 x 1 是 x3 1 的充要条件 补偿训练 1 a 2 是 直线ax 2y 0平行于直线y 1 x 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选c 当 a 2 时 直线 2x 2y 0平行于直线y 1 x 成立 若 直线ax 2y 0平行于直线y 1 x 则2 a 0 即 a 2 成立 故 a 2 是 直线ax 2y 0平行于直线y 1 x 的充要条件 2 k 1 是 函数y cos2kx sin2kx的最小正周期为 的充分不必要条件 a 3 是 直线ax 2y 3a 0与直线3x a 1 y a 7相互垂直 的必要不充分条件 函数y 的最小值为2 其中错误的为 将你认为错误的序号全都填上 解题指南 结合充分条件和必要条件逐一判断 解析 函数y cos2kx sin2kx cos2kx的最小正周期为 k 1 正确 当 a 3 时 直线3x 2y 9 0不与直线3x 2y 4相互垂直 直线ax 2y 3a 0与直线3x a 1 y a 7相互垂直 则 a 3 错误 函数令则当时y的最小值为错误 答案 类型二 充分不必要条件 必要不充分条件的应用 典例2 已知条件p a x x2 a 1 x a 0 条件q b x x2 3x 2 0 当a为何值时 1 p是q的充分不必要条件 2 p是q的必要不充分条件 3 p是q的充要条件 解题指南 先化简p q对应的集合 再结合p q的关系转化为集合a b间的关系 构建方程或不等式可解 解析 因为a x x2 a 1 x a 0 x x 1 x a 0 b x x2 3x 2 0 1 2 1 因为p是q的充分不必要条件 所以ab 而当a 1时 a 1 显然成立 当a 1 a 1 a 需12 所以有a 2时p是q的必要而不充分条件 3 因为p是q的充要条件 所以a b 故a 2 延伸探究 1 改变问法 本例条件不变 当a为何值时 q是p的充分不必要条件 解析 p a x x 1 x a 0 q b 1 2 若q是p的充分不必要条件 即q p 但pq 即p是q的必要不充分条件 故a的取值范围为a 2 2 变换条件 若把本例中b集合改为 b x x2 x 2 0 其他条件不变 则a为何值 解析 b x x2 x 2 0 2 1 此时 1 ab 得 2 a 1 2 ba 得 a 2 3 a b 得 a 2 规律总结 应用充分不必要 必要不充分及充要条件求参数值 范围 的一般步骤 1 根据已知将充分不必要 必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系 2 根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解 补偿训练 2015 厦门高二检测 设p q x a x a 1 0 若q是p的必要而不充分条件 则实数a的取值范围是 解析 p q a x a 1 依题意有 x a x a 1 得或答案 类型三 充要条件的证明 典例3 2015 兰州高二检测 已知x y都是非零实数 且x y 求证 的充要条件是xy 0 解题指南 先证充分性 xy 0 再证必要性 xy 0 证明 1 充分性 由xy 0 因为xy 0 且x y 所以 2 必要性 由 xy 0 因为即又因为x y 所以y x 0 所以xy 0 规律总结 1 充要条件证明的两个方面要证明充要条件 就是要证明两个 一个是充分条件 另一个是必要条件 要证明必要不充分条件 就是要证明 一个是必要条件 另一个是不充分条件 要证明充分不必要条件 就是要证明 一个是充分条件 另一个是不必要条件 2 充要条件证明的两个关注点 1 证明p是q的充要条件 首先要明确p是条件 q是结论 其次推证p q是证明充分性 推证q p是证明必要性 2 充要性的证明 一般有一种情形是比较简单易证的 因此在证明时 既可以先证明充分性 也可以先证明必要性 巩固训练 对于两个非零的平面向量a b 求证 a b a b 0 证明 1 必要性 设向量a与b的夹角为 因为a 0 b 0 a b 0 所以 a b cos 0 又因为