线性代数历年考研试题之选择题

线性代数历年考研试题精解二、选择题1.(1987,)设为阶方阵,且的行列式,而是的伴随矩阵,则等于（ C ）(A). (B). (C). (D).【考点】伴随矩阵的性质.解 .2.(1987,)假设是阶方阵,其秩,那么在的个行向量中（ ）(A) 必有个行向量线性无关.(B) 任意个行向量线性无关.(C) 任意个行向量都构成最大线性无关向量组.(D) 任何一个行向量都可以由其他个行向量线性表出.【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组.解 的行秩的行向量组的最大无关组含个行向量.选(A).3.(1988,)维向量组线性无关的充分必要条件是（ D ）(A) 存在一组不全为零的数,使.(B)中任意两个向量都线性无关.(C)中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.(D)中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.【考点】向量组线性相关的性质.解 “向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是(D).对(A):“存在”改为“任意”就正确.对(B):如中任意两个向量都线性无关,但线性相关.对(C):中不能由线性表示,但线性相关.4.(1989,)设是阶方阵,且的行列式,则中（ ）(A)必有一列元素全为零. (B)必有两列元素对应成比例.(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合.(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.【考点】向量组线性相关的判别定理.解 的列(或行)秩的列(或行)向量组线性相关.选(C).5.(1989)设和均为矩阵,则必有（ ）(A). (B).(C). (D).【考点】矩阵的性质.解 .选(C).6.(1989)设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（ ）(A). (B). (C). (D).【考点】齐次线性方程组解的理论.解 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是.选(B).7.(1990,)已知是非齐次线性方程组的两个不同的解,是对应齐次线性方程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解（一般解）必是（ ）(A). (B).(C). (D).【考点】非齐次线性方程组解的结构.解 线性无关且为对应齐次线性方程组的解,故是对应齐次线性方程组的基础解系;又,故为的一个特解;由非齐次线性方程组解的结构,知选(B).对(A):为的解.对(C):为的解,且为的解.对(D):不一定线性无关.8.(1990,)向量组线性无关的充分条件是（ ）(A)均不为零向量.(B)任意两个向量的分量不成比例.(C)中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示.(D)中有一部分向量线性无关.【考点】向量组线性无关的性质.解 向量组线性无关的充分必要条件是中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示.选(C).对(A):如均不为零向量,但线性相关.对(B):如中任意两个向量的分量不成比例,但线性相关.对(D):如中线性无关.9.(1990)设是阶可逆矩阵,是的伴随矩阵,则（ ）(A). (B). (C). (D).参考1.(1987,). 选(A).10.(1991,)设阶方阵满足关系式,其中是阶单位阵,则必有（ ）(A). (B). (C). (D).【考点】可逆矩阵的判别定理之推论.解 由知是的逆矩阵.选(D).11.(1991)设为阶可逆矩阵,是的一个特征值,则的伴随矩阵的特征值之一是（ ）(A). (B). (C). (D).【考点】特征值的性质.解 选(B).12.(1991)设为阶方阵,满足等式,则必有（ ）(A)或. (B). (C)或. (D).【考点】矩阵的性质.解 选(C).13.(1991)设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是（ ）(A)若仅有零解,则有唯一解.(B)若有非零解,则有无穷多个解.(C)若有无穷多个解,则仅有零解.(D)若有无穷多个解,则有非零解.【考点】非齐次线性方程组解的理论.解 选(D).有无穷多个解有非零解.对(A):如仅有零解,但无解.对(B):如有非零解,但无解.对(C):有无穷多个解,则有非零解.14.(1992,)要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为（ ）(A). (B). (C). (D).【考点】齐次线性方程组解向量的定义.解 选(A).【注意】只需验证.15.(1992)设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解的充分条件是（ ）(A)的列向量线性无关. (B)的列向量线性相关.(C)的行向量线性无关. (D)的行向量线性相关.【考点】齐次线性方程组解的理论,矩阵的秩及向量组的线性相关性.解 仅有零解的列秩的列向量线性无关.选(A).16.(1992)设均为阶可逆矩阵,则等于（ ）(A). (B). (C). (D).【考点】逆矩阵的性质.解 选(C).或.17.(1992)设均为维向量,那么,下列结论正确的是（ ）(A)若，则线性相关.(B)若对任意一组不全为零的数,都有,则线性无关.(C)若线性相关,则对任意一组不全为零的数,都有.(D)若,则线性无关.【考点】向量组线性相(无)关的定义.解 选(B).由线性相关定义的逆否命题可得.18.(1993,)已知为3阶非零矩阵,且满足,则（ ）(A)时的秩必为1. (B)时的秩必为2.(C)时的秩必为1. (D)时的秩必为2.【考点】矩阵的秩及其性质.解 .当时,1或2,则(A)和(B)都错;当时,.选(C).【注】(1).(2),则的列向量组为的解向量.19.(1993)阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（ ）(A)充分必要条件. (B)充分而非必要条件.(C)必要而非充分条件. (D)既非充分也非必要条件.【考点】矩阵能对角化的判别定理(充分条件).解 选(B).20.(1993)若都是四维列向量,且4阶行列式,则4阶行列式等于（ ）(A). (B). (C). (D).【考点】矩阵的运算及行列式的性质.解 选(C).21.(1993)设是非奇异矩阵的一个特征值,则矩阵有一特征值等于（ ）(A). (B). (C). (D).【考点】特征值的性质.解 有一特征值,则有一特征值.选(B).22.(1994,)已知向量组线性无关,则向量组（ ）(A)线性无关.(B)线性无关.(C)线性无关.(D)线性无关.【考点】判别向量组线性相(无)关的方法.解 对(A):,则线性相关.对(B):,则线性相关.对(D):,则线性相关.故选(C).或对(A):,所以,则线性相关.同理可讨论(B),(C),(D).【注意】判别向量组线性相(无)关的常见方法如下.(1)用定义:一般对抽象的向量组.理论根据:维向量组线性相(无)关齐次线性方程组有非零解(只有零解).(2)用向量组的秩:对具体的向量组直接求秩;对抽象的向量组用矩阵的秩的性质推导出来.理论根据:向量组线性相(无)关.(3)用相关理论推导.(4)特殊情形:若向量组可由线性表示,且线性无关时,设,则向量组线性相(无)关.23.(1994)设是矩阵,是阶可逆矩阵,矩阵的秩为,矩阵的秩为,则( )(A). (B). (C). (D)与的关系依而定.【考点】矩阵秩的性质.解 .选(C).【注】设为可逆矩阵,则.24.(1994)设都是阶非零矩阵,且,则和的秩( )(A)必有一个等于零. (B)都小于. (C)一个小于,一个等于. (D)都等于.【考点】矩阵秩的性质.解 ;又,则.选(B).25.(1994)设有向量组,则该向量组的最大线性无关组是( )(A). (B). (C). (D).【考点】具体向量组的最大线性无关组的求法.解 ,则向量组的最大线性无关组是.选(B).【注意】(1)初等行变换保持矩阵的行向量组等价,保持矩阵的列向量组的线性相关性不变;(2)初等列变换保持矩阵的列向量组等价,保持矩阵的行向量组的线性相关性不变.26.(1995,)设则必有（ ）(A). (B). (C). (D).【考点】初等变换与初等矩阵的关系.解 可将的第一行加到第三行,再将的第一行与第二行交换得到.故选(C).【注】在矩阵的左(右)边乘以一个初等矩阵,相当于对矩阵作相应的初等行(列)变换.27.(1995,)设矩阵的秩为为阶单位矩阵,下述结论中正确的是( )(A)的任意个列向量必线性无关.(B)的任意一个阶子式不等于零.(C)若矩阵满足,则.(D)通过初等行变换,必可以化为的形式.【考点】向量组线性无关的判别,矩阵秩的定义及矩阵的行阶梯形和标准形.解 选(C).由,则齐次线性方程组只有零解,即的列向量全为零,故.28.(1995)设维行向量,矩阵,其中为阶单位矩阵,则等于( )(A)0. (B). (C). (D).【考点】矩阵的运算.解 选(C).29.(1996,)四阶行列式的值等于（ ）(A). (B).(C). (D).【考点】行列式的计算.解 选(D).将行列式按第一行展开.30.(1996,)设阶矩阵非奇异,是的伴随矩阵,则( )(A). (B).(C). (D).【考点】矩阵运算的性质.解 选(C).31.(1996,)设有任意两个维向量组和,若存在两组不全为的数和,使,则( )(A)和都线性相关.(B)和都线性无关.(C)线性无关.(D)线性相关.【考点】向量组线性相(无)关的定义.解 由,得,所以线性相关.选(D).32.(1997)设,则三条直线（其中）交于一点的充分必要条件（ ）(A)线性相关. (B)线性无关.(C)秩秩. (D)线性相关，线性无关.【考点】齐次线性方程组解的理论.解 三条直线交于一点的充分必要条件是线性方程组有惟一解33.(1997,)设向量组线性无关,则下列向量组中,线性无关的是( )(A) (B)(C)(D)解 参考22.(1994,).选(C).34.(1997)设为同阶可逆矩阵,则( )(A) (B)存在可逆阵,使(C)存在可逆阵,使 (D)存在可逆阵和,使【考点】矩阵等价,合同,相似的判别.解 为同阶可逆矩阵,则都与同阶的单位矩阵等价,从而等价.故选(D).【注意】两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等.如果不是同型矩阵,则必要性不成立.35.(1997)非齐次线性方程组中未知量个数为,方程个数为,系数矩阵的秩为,则( )(A)时,方程组有解.(B)时,方程组有惟一解.(C)时,方程组有惟一解.(D)时,方程组有无穷多解.【考点】线性方程组解的理论.解 选(A).36.(1998)设矩阵是满秩的，则直线与直线（ ）(A)相交于一点. (B)重合. (C)平行但不重合. (D)异面.【考点】空间两条直线位置的判别.解 设.由共面,则两直线共面.又,则不平行,即两直线不平行.选(A).37.(1998)设是任一阶方阵,是其伴随矩阵,又为常数,且,则必有（ ）(A). (B). (C). (D).【考点】伴随矩阵的定义.解 (由伴随矩阵的定义得到).选(B).或由看出.38.(1998)齐次线性方程组的系数矩阵记为.若存在三阶矩阵使得,则( )(A)且. (B)且.(C)且. (D)且.【考点】矩阵的性质,齐次线性方程组解的理论.解 有非零解.若,由得,矛盾.故选(C).39.(1998)设阶矩阵,如果矩阵的秩为,则必为( )(A)1. (B). (C). (D).【考点】含参数的矩阵的秩的讨论.解 或.当时,显然.故选(B).40.(1998)若向量组线性无关;线性相关,则( )(A)必可由线性表示. (B)必不可由线性表示(C)必可由线性表示. (D)必不可由线性表示.【考点】向量组线性相(无)关的性质.解 线性无关,有线性无关;又线性相关,得必可由线性表示,也必可由线性表示.选(C).41.(1999)设是矩阵,是矩阵,则（ ）(A)当时,必有行列式. (B)当时,必有行列式.(C)当时,必有行列式. (D)当时,必有行列式.【考点】矩阵秩的性质.解 .选(B).42.(1999)记行列式为,则方程的根的个数为（ ）(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.【考点】行列式的计算.解 .选(B).43.(1999,)设向量可由向量组线性表示,但不能由向量组():线性表示,记向量组():,则( )(A)不能由()线性表示,也不能由()线性表示.(B)不能由()线性表示,但可由()线性表示.(C)可由()线性表示,也可由()线性表示.(D)可由()线性表示,但不可由()线性表示.【考点】向量组的线性表示的定义及其判别.解 方法一: 若可由()线性表示,则与不能由线性表示,矛盾,则不能由()线性表示.故(C),(D)错.且,由不能由线性表示,则.所以,则可由线性表示.故选(B).方法二:可由向量组线性表示.若可由线性表示,则可由向量组线性表示,矛盾.故(C),(D)错.可由向量组线性表示,则存在一组数,使得,其中.若,则可由向量组线性表示,矛盾.可由线性表示.故(A)错.选(B).44.(1999)设为阶矩阵,且与相似,为阶单位矩阵,则( )(A).(B)与有相同的特征值和特征向量.(C)与都相似于一个对角矩阵.(D)对任意常数,与相似.【考点】矩阵相似的性质.解 选(D).与相似,存在可逆矩阵,使得,则,即与相似.对(A):.对(B):与相似,则与有相同的特征值,但特征向量不一定相同.对(C):与不一定能对角化.45.(2000)维列向量组线性无关,则维列向量组线性无关的充分必要条件为（ ）(A)向量组可由向量组线性表示.(B)向量组可由向量组线性表示.(C)向量组与向量组等价.(D)矩阵与矩阵等价.【考点】向量组线性相(无)关的判别.解 选(D).(A)是充分非必要条件.(1) (A)是充分条件:.(2) (A)是非必要条件:如线性无关,线性无关,但不能由线性表示.(B)是既非必要也非充分条件.(1) (B)是非必要条件:如线性无关,线性无关,但不能由线性表示.(2) (B)是非充分条件:如线性无关,.可由线性表示,但线性相关.(C)是充分非必要条件.(1) (C)是充分条件:.(2) (C)是非必要条件:如线性无关,线性无关,但不能由线性表示,则与不等价.(D)是充分必要条件.向量组线性无关.46.(2000,)设是四元非齐次线性方程组的三个解向量,且秩()=3,表示任意常数,则线性方程组的通解( )(A). (B). (C). (D).【考点】线性方程组解的性质及非齐次线性方程组解的结构.解 选(C).的基础解系含个解向量.可取.47.(2000)设为阶实矩阵,是的转置矩阵,则对于线性方程组():和():,必有( )(A)()的解是()的解, ()的解也是()的解.(B)()的解是()的解,但()的解不是()的解.(C)()的解不是()的解, ()的解也不是()的解.(D)()的解是()的解, 但()的解不是()的解.【考点】与解的关系.解 选(A).【注意】与同解.事实上(1),即的解是的解;(2),即的解是的解.48.(2001)设,则与（ ）(A)合同且相似. (B)合同但不相似. (C)不合同但相似. (D)不合同且不相似.【考点】实对称矩阵的对角化.解 选(A).为实对称矩阵且的特征值为.【注意】实对称矩阵既正交合同也正交相似于对角矩阵.49.(2001,)设,其中可逆,则( )(A). (B). (C). (D).【考点】初等矩阵与初等变换的关系及乘积矩阵的求逆.解 选(C).由的第二列与第三列交换,再将第一列与第四列交换得到,则.50.(2001)设是阶矩阵,是维列向量.若秩=秩(),则线性方程组( )(A)必有无穷多解. (B)必有惟一解.(C)仅有零解. (D)必有非零解.【考点】线性方程组解的理论.解 秩=秩(),则必有非零解.选(D).51.(2002)设有三张不同平面的方程，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（ ）【考点】线性方程组解的理论.解 方程组有无穷多解.选(B).【注意】(1)三张不同平面相交于一点有惟一解;(2)三张不同平面相交于直线有无穷多解;(3)三张不同平面无交点无解.52.(2002)设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数，必有（ ）(A)线性无关. (B)线性相关.(C)线性无关. (D)线性相关.【考点】向量组线性相(无)关与线性表示之间的关系.解 令,则线性无关,(B)错;线性相关,(C)错.令,若线性相关,则能由线性表示,(D)错.选(A).53.(2002)设是矩阵,是矩阵,则线性方程组( )(A)当时仅有零解. (B)当时必有非零解.(C)当时仅有零解. (D)当时必有非零解.【考点】矩阵的秩的性质与齐次线性方程组解的理论.解 ,又为阶方阵.选(D).【注意】(1);(2).54.(2002)设是阶实对称矩阵,是阶可逆矩阵.已知维列向量是的属于特征值的特征向量,则矩阵属于特征值的特征向量是( )(A). (B). (C). (D).【考点】矩阵的运算及矩阵的特征值与特征向量的定义.解 ,从后式看出要利用前式,必须消去,即在的前面乘以.选(B).或.【注意】在做选择题及填空题时,要有意识地培养“只求目的,不择手段”.55.(2002)设为阶矩阵,分别为对应的伴随矩阵,分块矩阵,则的伴随矩阵( )(A). (B)(C) (D)【考点】伴随矩阵的性质.解 方法一:根据验证.选(D).(此方法在解决这类问题时一般较麻烦).方法二:若易求得,由最简便.显然.56.(2003,)设向量组: 可由向量组:线性表示,则（ ）(A)当时,向量组必线性相关. (B)当时,向量组必线性相关.(C)当时,向量组必线性相关. (D)当时,向量组必线性相关.【考点】向量组线性表示与向量组秩的关系.解 .选(D).57.(2003)设有齐次线性方程组和,其中均为矩阵,现有4个命题:若的解均是的解,则秩()秩().若秩()秩(),则的解均是的解.若与同解,则秩()秩().若秩()秩(),则与同解.以上命题正确的是（ ）(A) (B) (C) (D)【考点】线性方程组解的理论.解 若的解均是的解,则的基础解系必是的基础解系的一部分,故的基础解系所含解向量个数必小于的基础解系所含解向量个数,即.则对,从而也对.选(B).或直观地判别结论.若的解均是的解,则所含限制条件不少于所含限制条件,从而所含独立方程个数必不少于所含独立方程个数,故.对.【注意】(1)线性方程组所含独立方程个数;(2)线性方程组所含独立方程个数.此题的后面解法又是“